книги / Моделирование систем управления

Ill

5.2.1.Основные свойства равномерного распределения

Непрерывная случайная величина Ç имеет равномерное распределе­ ние в [a, b], если её функция плотности вероятности равна

[ 0 вне этого интервала.

Функция распределения вероятности для случайной величины Ç имеет вид

_ среднее квадратическое отклонение.

В частном случае, когда а = 0, b = 1,

Для того чтобы сформировать равномерно распределённую в интер­ вале [0, 1] величину, нужно взять бесконечную последовательность неза­ висимых случайных величин Z,, равновероятно принимающих значения О и 1, считать их двоичными знаками дроби Ç*, которая и будет случайным числом.

Поскольку разрядность машины ограничена, то сформировать бес­ конечную последовательность невозможно. Если в ЭВМ числа представ­

ляются двоичными разрядами, то количество не совпадающих между со­ бой чисел, каждое из которых можно записать в Æ-разрядную ячейку ма­ шины, равно 2*. Таким образом, приходится вместо непрерывной совокуп­ ности случайных чисел использовать в качестве исходной дискретную со­ вокупность чисел в количестве 2* с одинаковой вероятностью появления любого из них. Такое распределение называется квазиравномерным. Если

квелико, то различие между равномерным и квазиравномерным стирается.

5.2.2.Генераторы случайных чисел

Вкачестве генераторов случайных чисел чаще всего используют шумы в электронных лампах: если за некоторый промежуток времени Д/ уровень шума превысил заданный порог «а» чётное число раз, то записы­ вается 0, а если нечётное - 1. Пусть т таких генераторов работают парал­ лельно, работают всё время и засылают случайные нули и единицы во все двоичные разряды специальной ячейки.

Влюбой момент счёта можно обратиться к этой ячейке и взять от­ туда значения случайной величины, равномерно распределённой в интер­ вале [0,1].

Однако данный метод не свободен от недостатков.

Во-первых, трудно проверить качество вырабатываемых чисел. Из-за каких-либо неисправностей может возникнуть так называемый дрейф рас­ пределения (т.е. нули и единицы в каком-либо из разрядов станут появ­ ляться неодинаково часто).

Во-вторых, один из приёмов основан на проверке пары значений на­ пряжений Щ) в соседние моменты времени, значение Z, определяется по правилу:

1, если u(tf) >а; и(/м ) < а или u($t) <а; и(/м ) > а,

{.

5.2.3. Псевдослучайные числа

Поскольку качество используемых случайных чисел проверяется с помощью специальных тестов, можно не интересоваться, как эти числа получены, лишь бы они удовлетворяли принятой системе тестов. Можно даже попытаться вычислить их по заданной формуле. Но, конечно, это должна быть весьма хитрая формула.

Числа, имитирующие значения случайной величины, называются псевдослучайными. Под словом «имитирующие» подразумевается, что эти

числа удовлетворяют ряду тестов, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм был предложен Дж. Нейманом - это метод середи­

средние цифры этого числа yj = 0,5353, у2| = 0,28654609, у2 = 0,6546,

у\ = 0,42850116 , уз = 0,8501 и т.д.

Но этот алгоритм не оправдал себя. Причина кроется в возможности появления в ряду чисел у, повторяющихся групп чисел, а также в вырож­ дении процесса, когда во всех разрядах оказываются нули.

Большинство алгоритмов для получения псевдослучайных чисел имеют вид

Уж =^(П).

Какой должна быть функция F{x)l

Пример показывает, в чём состоит одна из основных трудностей при выборе F(x). Покажем, что функцию у = F(x) (рис. 5.1) нельзя использовать для получения псевдослучайных чисел по формуле у*+| = F(yk)-

Рассмотрим в единичном квадрате { 0 < * < 1, 0 < у < 1} точки с де­ картовыми координатами (уь у2), (уз, Уа), (Уз, Уб), . . . . Так как у2 = /fyi);

Уа = /ЧУз); 7б= то все эти точки расположены на кривой у = F[x). И это очень плохо, ибо настоящие случайные точки должны равномерно заполнять весь квадрат.

Из примера видно, что рассчитывать на успешное использование функции у = F(x) в формуле y*+i = F(yk) можно только тогда, когда ipaфик этой функции достаточно плотно заполняет весь квадрат. Таким свойством обладает, например, функция у = gx, где g - очень большое чис­ ло (рис. 5.2).

5.2.4. Метод сравнений (метод вычетов)

Наиболее распространенный алгоритм для получения псевдослучай­ ных чисел был предложен Лемером. В основе лежит функция у = gx, одна­ ко для удобства реализации на ЭВМ алгоритм строится несколько иначе. Определяется последовательность целых чисел тк, в которой начальное число т0 = 1 задано, а все последующие ти т2, ... вычисляются по одной и той же формуле:

Формула (5.1) означает, что число /и*ц равно остатку от целочислен­ ного деления, полученному при делении 511тк на 240. В теории сравнений (понятие из теории чисел) такой остаток называют наименьшим положи­ тельным вычетом по модулю 2 40.

Формулы (5.1) и (5.2) легко реализуются на ЭВМ, работающих с 40-разрядными числами, при помощи команды умножения с удвоенным количеством; надо использовать младшие разряды произведения.

Период последовательности т ^т и т2, ... совпадает с отрезком апе­ риодичности: P = L = 238. Он содержит все целые числа вида 4n + I, не превосходящие 240.

5»2.5. Контроль качества последовательности случайных чисел

Контроль проводится по трём основным категориям: - случайность; -равномерность;

- независимость (или некоррелированность).

Проверка случайности

Проверка случайности проводится методом серий. Рассматривается некая совокупность исследуемых элементов.

Все элементы разбиваются на два вида: первого (а); второго (Ь). Серией называется отрезок последовательности, состоящий из эле­

ментов одного и того же вида. Число элементов серии называется дли­ ной серии.

Пусть гxi - число серий элементов х длины i (здесь х = а или b); пх- число элементов х в исследуемой последовательности. Далее пусть

Rxk~ £ t'x i > Rk = Rak + Rbb

i-k

Тогда Rxk представляет собой число серий из элементов х длины не менее к. Rk- число серий длины не менее к любого вида в последователь­ ности. Ri - общее число серий в последовательности.

Доказано, что R\ при п -> оо имеет асимптотически нормальное рас-

/7 + 2 w /7-1 пределение с математическим ожиданием - - • и дисперсией — . Этот

факт и используется для проверки гипотезы случайности. С этой целью сопоставляют эмпирическое значение Rx и теоретическое значение R]f со­ ответствующее выбранному доверительному уровню.

При проверке случайности последовательности чисел можно к клас­ су элементов первого вида отнести элементы последовательности, не пре­ восходящие 0,5 (< 0,5), а к классу элементов второго вида - элементы, пре­ восходящие 0,5.

Наряду с проверкой случайности общей последовательности можно проводить проверку различных подпоследовательностей, например, под­ последовательности четырёх элементов общей последовательности или подпоследовательности элементов, номера которых кратны 3, и т.п.

Проверкаравномерности

Для проверки соответствия опытных данных заданному закону рас­ пределения можно оценить близость частот, с которыми данные попадают в некоторые интервалы, к вероятностям попадания в эти интервалы значе­ ний случайной величины, вычисленных в соответствии с заданным зако­ ном распределения.

Для статистической проверки гипотез равномерности может быть использован критерий %2.

Пусть п - количество наблюдений (случайных чисел). Разобьем от­ резок (в данном случае [0, 1]) на N равных частей и определим /я,-- коли­ чество наблюдений, попавших в z-й интервал. Обозначим р,- - вероятность попадания случайного числа в z-й интервал, пр{ - математическое ожида­ ние величины /и,- при гипотетическом распределении. В данном случае ги­

потетическое распределение равномерное (квазиравномерное), т.е. pt - — .

N

Тогда

-n PiŸ 1 tlPi

Число степеней свободы равно (N - 1).

Задавая доверительный уровень q из таблиц, определяют верхний уровень Xq2- Если %2 > Xq2 » то гипотеза не принимается, У? < Xq2 ~ гипотеза принимается. Но слишком малые х2 следует считать сигналом о наруше­ нии случайности исследуемой последовательности.

Проверка независимости

Независимость отдельных элементов последовательности проверяет­ ся при помощи вычисления выборочного коэффициента корреляции р, т.е.

£ ! ( * , г -« Х * / -я») D = Ü t! _____________

/=1

где JC, - элементы выборки; т - математическое ожидание случайной вели­ чины Xj.

Если р близко к 0, то случайные величины можно считать некоррели­ рованными, но это ещё не означает, что их можно считать независимыми.

5.3. Преобразование случайных величин

При решении различных задач приходится моделировать различные случайные величины. Значения любой случайной величины можно полу­ чить путём преобразования значений одной какой-либо (стандартной) слу­ чайной величины. Обычно роль такой величины играет случайная величи­ на у, равномерно распределённая в [0,1].

Назовём процесс нахождения какой-либо случайной величины Ç пу­ тём преобразования одного или нескольких значений у разыгрыванием случайной величины

5.3.1. Разыгрывание дискретной случайной величины

Р г -

го, что у окажется в некотором интервале, равна длине ин­ 0 -- тервала.

p{0 < Y < /> ,} = /> ,;

p {p i<y <Pi+Pi} =Pii

p{pt+P2 + - +Pb\<y<P\+pi+...+Pi} =ps.

В машине надо расположить подряд числа и вероятности

Порядок нумерации значений хх х2 ... хп в распределении Ç может быть произвольным, однако он должен быть фиксирован до розыгрыша.

Если все значения Ç равновероятны

то алгоритм разыгрывания можно упростить. В этом случае

или (рассматриваем выражение в скобках)' i -1 < уп < i .

Последнее неравенство равносильно утверждению, что целая часть уп равна /- 1 .

Обозначив через [Z] целую часть числа z, получим следующую фор­ мулу для разыгрывания равновероятных значений.

В качестве значений у выберем из таблицы случайных чисел 10 чи­ сел, умножим на 0,001.

у = 0,865; 0,159; 0,079; 0,566; 0,155; 0,664; 0,345; 0,655; 0,812; 0,332. Соответствующие значения = 1 + [6 у] равны: 6; 1; 1; 4; 1; 4; 3; 4;

5; 2. Этот опыт равносилен десяти броскам игральной кости.

5.3.2.Разыгрывание непрерывной случайной величины

Допустим, что нужно получить значения случайной величины распределённой в интервале [а, Ь] с плотностью р(х). Докажем, что значе­

ния £ можно находить из уравнения k

т.е., выбрав очередное значение у, надо решить это уравнение и найти оче­ редное Ç.

Рассмотрим функцию распределения вероятности

X

У - \p(x)dx.

а

Из свойств функции распределения вероятности у(д) = 0; y (à )= l.

У'(х) = р(х)> О,

ъ•

Итак, р{а! < Ç < b'} = \p{x)dx, а'

и это как раз и означает, что слу­ чайная величина Ç, являющаяся корнем уравнения, имеет плотность вероятностей р{х).

Пример. Случайная величина т| равномерно распределена в интер­ вале (а, Ь), и плотность вероятностей в этом интервале

р{х) = т ~ » а< х< Ь. о - а

Чтобы разыгрывать т|, составим уравнение

Т.<к

Ь— = ? . n b - a

b - а = У> ц = я + у (Ь -я ).

5.3.3. Метод Неймана для разыгрывания непрерывной случайной величины

Может оказаться, что разрешить уравнение (5.3) относительно £ трудно, например, в случаях, когда интеграл от р(х) не выражается через элементарные функции или когда плотность р(х) задана графически. Предположим, что случайная величина £ определена на конечном интер­ вале (а, Ь) и плотность вероятности её ограничена величиной М0 :

расположены под кривой р(х) (площадь В), то, очевидно, вероятность вы­ бора именно таких точек равна отношению соответствующих площа-

В

дей - j . Площадь В = 1, площадь А - ( Ь - д)М0. Тогда отношение равно

А

1

(Ь- а)М0

2. Если точка Г лежит под кривойу =р(х), т.е. попала в область В, то полагаем £ = т|', если же точка Г лежит над кривойу =р(х), то пару (у',у*) отбрасываем и выбираем новую пару значений (у',у").

Действительно, так как к\’ равномерно распределена в (а, Ь) , то вероятность того, что точка Г окажется в полосе (х, х + dx), пропорцио­ нальна dx♦

Так как у\” равномерно распределена в (0, Mo), то вероятность того,

М0 Следовательно, вероятность того, что значение Ç = г\' окажется в интервале

(х, х + dx), пропорциональнаp(x)dx. Таким образом, в нашем случае