книги / Моделирование систем управления

Также можно опустить и символ интегрирования, заменив соответст­ вующие члены уравнений ср7 их аналогами ф*, которые называются инте-

Выражения (3.20) имеют вид безразмерных степенных комплексов па­ раметров Р\ , ..., Р„:

я,- = р,2' •...•?/' -... р*" = idem,

где z\ , ..., Zp . . z, - действительные числа (целые, дробные, положительные, отрицательные или нуль).

Для рассматриваемого примера:

я, =— =LlR-'r' - l}R~lr li°U° = idem, 1 Rt

я, = — = U 'r'R -1= I?R~'tür'U ' = idem. iR

Число критериев подобия (KJ) для однородного уравнения на единицу меньше числа членов (ш) в этом уравнении, т.е. Kj = m-1.

Точки координатного пространства (хи ..., х„), служащего для отобра­ жения процессов:

Ф(1>=ф 0=P(A,.;RJ, Ф(2)= Фо = ^ ( Л ф(3)=, Ф о = т Qn)

и т. д., в которых критерии подобия численно равны для ф(1) и ф(2) (или ф(,) и ф(3) и т.п.), называются сходственными точками: только в этих точках про­ порциональны все сходственные параметры сопоставляемых подобных про­ цессов. При этом масштабные коэффициенты сходственных параметров по-

добных процессов подчиняются условиям (3.20); подобные процессы с ины­ ми масштабными соотношениями сходственных параметров не могут суще­ ствовать.

3.3.3. Определение критериев подобия процессов, описываемых уравнениями, которые содержат неоднородные функции

Если часть членов уравнения, описывающего рассматриваемый про­ цесс, представляет неоднородные функции, то масштабный коэффициент нельзя вынести за знак функции и преобразования, приведенные ранее, нель­ зя применить. В этих случаях у подобных процессов должны быть равны аргументы неоднородных функций.

Пример: Уравнения

U ~l± L

Следовательно, необходимо, потребовав равенства показателей степе­ ней экспоненциальных (неоднородных) функций, принять этот показатель

сматриваются различные формы математического описания одного и того же процесса.

Аналогично, если рассматриваются процессы, описываемые неодно­ родными функциями вида sin©,/, и sinco2h, то тождественность математиче­ ских описаний будет достигнута при условии, что

sin (©ifi) = sin (mffl ю2 Щh) = sin (rnmmt ш2 h) = sin (7Пз ©2 f2) = sin (co2 f2),

если 7nj= fftfo mf —1.

Таким образом, дополнительный критерий 7ГД0П = соГ.

3.3.4. Преобразование критериев подобия и критериальное описание подобных процессов

Критерии подобия процесса, представленные в какой-либо форме запи­ си, могут быть преобразованы в критерии подобия иной формы записи по­ средством перемножения или деления их, возведения в степень или умноже­ ния на любой постоянный коэффициент, т.е. если 7i|, Л2, пт - критерии, полно описывающие процесс, то и совокупность критериев:

также описывает тот же самый процесс. Критерии подобия можно рассмат­ ривать как обобщенные вторичные пере­ менные определенного класса процессов. При переходе к критериальному описа­ нию сокращается число переменных, что обеспечивает более высокий уровень

общности результатов исследования. Критериальное описание едино для

всех подобных процессов, что позволяет распространять количественные резуль­ таты на класс подобных процессов.

Пример. Зависимость 7ti = / (яг) едина для всех трех процессов:

*2(0» h(t) (рис. 3.2). Число переменных сокращается с пяти ii{t)=F{R,L,U,i,t)) до двух (я, =Дя2)):

— = ( l - e ’*i ).

п2

или

я2(1 -ех р я^) = 1.

3.3.5.Методика определения критериев подобия способом

интегральных аналогов

Пусть имеется уравнение процесса, содержащего л членов. Необходи­ мо разделить все члены уравнения на какой-либо из них, опустить символы связи (« + », « - », « = ») между членами уравнения, символы интегрирования

идифференцирования, а также неоднородные функции.

Кполученным в результате л-1 основным критериям подобия необхо­ димо добавить а дополнительных критериев - аргументов неоднородных функций, входящих в члены уравнения.

Общее число критериев подобия Kj = (л -1 ) + д. Число возможных

форм записи основных критериев равно л.

Таким образом, алгоритм определения критериев подобия будет сле­ дующим:

1. Записать исходное уравнение в виде (р0 = £ Ф, = 0.

»

2. Опустить символы связи « + », « - », « = » между членами уравнения.

3.Исключить неоднородные функции и определить дополнительный критерий (аргумент функции).

4.Опустить символы дифференцирования и интегрирования.

5.Заменить члены уравнения <р/э фj их аналогами ф, *, ф /.

6.Разделить ф, на какой-либо один из них и записать выражения для основных критериев.

7.Добавить к основным критериям дополнительный.

8.Преобразовать критерии в иную (более удобную) форму записи по­ средством их перемножения, деления, возведения в степень и т.д.

9.На основании критериев подобия записать масштабные соот­ ношения.

3.4. Вторая теорема подобия

Эта теорема, известная также под названием л-теоремы, гласит: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные из уча­ ствующих в процессе параметров.

л-Теорема позволяет произвести замену переменных, сократив их чис­ ло с т размерных величин до (т-к) безразмерных величии и тем самым пе­ рейти к записи уравнений процессов в критериальной форме. При этом уп­ рощается обработка аналитических и экспериментальных исследований.

Кроме того, переход к безразмерным соотношениям позволяет распро­ странять результаты аналитического или экспериментального исследований на ряд подобных явлений. При этом можно находить критериальные соотно­ шения, не имея математического описания процесса, а зная только все участ­ вующие в процессе величины и их размерности.

3.4.1. Методика определения критериев подобия на основе анализа размерностей

Рассмотрим исходные положения данной методики.

1. Различают полные и неполные уравнения, описывающие иссле мый процесс.

Полное физическое уравнение учитывает все связи между входящими в него величинами Р\, Рти справедливо при изменении системы единиц измерения этих величин:

/( P i,P 2, . . . , / >w) = 0.

Неполное уравнение отражает только некоторые частные зависимости между переменными Ри Рг> Рз>справедливые в том случае, если переменные

Ра, ..., Ртполагаются постоянными коэффициентами применительно к неко­ торым частным случаям, например, / (Рь Р2, К \ , , К„) = 0.

Пример.

U ~ t

i= —*(1 - е 1 ) - полное уравнение;

R

времени цепи RL.

я-Теорема справедлива в общем виде только для процессов, описывае­ мых полными уравнениями; в противном случае соответствующие коэффи­ циенты следует рассматривать как некоторые дополнительные условия.

2.Системой единиц измерения называется совокупность определенным образом установленных единиц измерения, включающая основные и произ­ водные единицы измерения.

3.Основные единицы измерения в системе СИ:

-длина / (метр, м);

-масса т (килограмм, кг);

-время t (секунда, с);

-сила электрического тока i (ампер, А);

-количество вещества (моль, моль);

-термодинамическая температура 0 (кельвин, К)\

-сила света (канделла, кд).

Производные единицы выражаются через основные единицы, напри­ мер, размерность [F] = [А(\1[Ц][Т\~2.

4. Различают физические величины однородные, одноименные и без­ размерные. Однородные величины имеют одинаковые размерности и одина­ ковый физический смысл. Одноименные величины имеют одинаковую раз­ мерность и разный физический смысл (индуктивность и взаимоиндукция).

Безразмерные величины - такие величины, значения которых не зави­ сят от выбора системы единиц.

5. Различают независимые параметры (параметры с независимыми раз­ мерностями) и зависимые (параметры с зависимыми размерностями).

Группа независимых параметров - группа, в которой размерность ни одного из параметров не может быть образована из размерностей других па­ раметров группы.

6.Признаком зависимости параметров Р\, Р2, ... , Pк является сущест­ вование хотя бы одного отличного от нуля определителя порядка к, который образуется из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах этих параметров.

7.Для физического процесса, полностью характеризуемого числом m размерных параметров Ри ... , Pmi среди которых к параметров являются независимыми, существует m-к критериев подобия.

Количество строк полной матрицы ||Л||, составленной из показателей степеней в размерностях, равно числу параметров /я, а количество столбцов - числу основных единиц измерения q. Полная матрица ||Л|| размером т х q

имеет вид

Число к независимых параметров равно рангу к полной матрицы раз­ мерностей \\А\\, а число критериев подобия кп = т -к .

Ранг матрицы ||Л|| - это наибольший порядок отличного от нуля опре­

делителя, который составлен из элементов строк а , , р / , / = 1,т данной матрицы с сокращением порядка следования строк. Определитель - это квадратная матрица.

Очевидно, что число к независимых параметров не может быть больше числа q основных единиц измерения, следовательно, максимальный ранг матрицы ||Л|| не может быть больше q (к <q).

Число определителей порядка q, которые могут быть образованы из элементов матрицы ||Л||, равно числу сочетаний из т по q:

дг =с ч = ___—___

9 "

Например, для RLC-цет

Na =Ci = JL =35.

4! 3!

Если в процессе анализа найдется хотя бы один определитель порядка q9отличный от нуля, то ранг матрицы равен q. Если все Nq определителей (порядка q) равны нулю, fo необходимо проверить на неравенство нулю мат­ рицы порядка q-l. Количество матриц порядка q- 1 равно:

Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет найден отличный от ну­ ля определитель ранга (q - /).

Для примера (в цепи RLC) все определители 4-го порядка равны нулю, а среди определителей 3-го порядка имеются определители, не равные нулю, следовательно, ранг полной матрицы ||Л|| равен трем, число независимых па­

раметров к = 3, число критериев подобия кц = т - к = 7 - 3 = 4. Эту процеду­ ру можно упростить, если в начале проанализировать размерности парамет­ ров Ри...,Рт.

В общем случае признаком зависимости параметров является пропор­ циональность соответствующих строк матрицы ||Л|| либо возможность пред­

ставления какой-либо из ее строк в виде линейной комбинации других строк. / IV этап. Определение конкретного состава группы независимых пара­ метров Р\, ...,Р к и числа форм записи критериев подобия Fn.

Любой из числа определителей порядка к, отличный от нуля, позволяет автоматически найти одну из ipynn независимых параметров, если образую­ щие его элементы соотнести с соответствующими им параметрами.

Общее число возможных форм записи критериев подобия FK равно числу отличных от нуля определителей наибольшего порядка к.

В рассматриваемом примере имеется 35 частичных матриц (С* =35), каждая из которых соответствует' комбинации трех параметров. Из них 22 матрицы имеют ранг, равный трем, т.е. существуют 22 комбинации незави­ симых параметров, и, следовательно, для четырех критериев подобия (А„ = 4) возможны 22 формы записи (Fn= 22).

Vэтап. Определение выражений для критериев подобия п] у пт-к в какой-либо форме записи.

Для определения выражений критериев подобия в исходной зависимо­

/(£/, Л С, (г, I, /, со)) = 0.

Исходные формулы для определения выражений критериев подобия.

или, для конкретного случая,