книги / Прогнозирование теплового состояния изделий при эксплуатации в условиях воздействия солнечного излучения
..pdf
где |
S1 |
– |
площадь |
одного |
конечного |
элемента, |
S1 = ri (z j |
− zk )+ rj (zk − z j )+ rk (zi − z j ) |
2 . Соотношения (1.12) |
||||
более компактно записываются следующим образом: |
|
|||||
|
|
|
C1 = C11Ti + C12Tj + C13Tk , |
|
||
|
|
|
C2 = C21Ti |
+ C22Tj + C23Tk , |
(1.13) |
|
|
|
|
C3 = C31Ti + C32Tj + C33Tk , |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
C11 = (zj – zk)/(2S1), |
C12 = (zk – zi)/(2S1), |
C13 = (zi – zj)/(2S1), |
||||
C21 = (rk – rj)/(2S1), |
C22 = (ri – rk)/(2S1), |
C23 = (rj – ri)/(2S1), (1.13а) |
||||
C31 = (rj zk – rk zj)/(2S1), C32 = (rk zi – ri zk)/(2S1), C33 = (ri zj – rj zi)/(2S1).
Подставляя соотношения (1.13) в (1.10), получаем
T = C1 r + C2 z + C3 = (C11 Ti + C12 Tj + C13 Tk) r +
+ (C21 Ti + C22 Tj + C23 Tk) z + C31 Ti + C32 Tj + C33 Tk = (1.14) = α 1 Ti + α 2 Tj + α 3 Tk
или более компактную Т = {α}{T } ,
α1 где {α} = α2 ,α3
|
|
|
Тi |
|
|
{T } = |
|||||
Тj |
, |
||||
|
|
|
Тк |
|
|
α1 = C11 r + C21 z + C31; α2 = C12 r + C22 z + C32; |
|
α3 = C13 r + C23 z + C33. |
(1.15) |
Выражение (1.14) представляет зависимость температуры в элементе от узловых температур и неизвестных коэффициентов.
1.5.4. Исходные формулы для минимизации функционала
Минимизация функционала элемента J (е) , т.е. нахождение его минимума, приводит к матричному уравнению [9, 13]
21
δJ = |
∂ |
(e) |
δT = 0, |
(1.16) |
||
|
|
J |
|
|||
∂{Т |
} |
|
||||
где δ – символ варьирования.
В силу произвольности вариации δ{Т} выражение (1.16) принимает вид [9, 13]
∂ |
(е) |
= 0. |
(1.17) |
||
|
|
J |
|
||
∂{Т |
} |
|
|||
Матричное уравнение (1.17) представляет собой систему из трех дифференциальных уравнений для одного конечного элемента. Запишем эти дифференциальные уравнения:
∂J (е) / ∂Тi |
= 0, |
(1.18а) |
∂J (е) / ∂Тj |
= 0, |
(1.18б) |
∂J (е) / ∂Тk |
= 0. |
(1.18в) |
Подставив в (1.18) выражение функционала (1.9), получим эту систему уравнений в развернутом виде [20]
|
∂J (е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Т |
∂ |
|
|
|
|
|
∂Т |
|
|
|
∂Т |
∂ |
|
|
∂Т |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= 2π∫ λ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||
|
∂Т |
|
|
∂r |
∂Т |
|
|
|
∂z |
∂Т |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
∂r |
|
|
|
i |
|
∂z |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Т |
|
+ сρr |
∂Т ∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− Qr |
|
|
drdz + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Тi |
|
|
|
|
|
|
|
∂τ ∂Тi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+ 2π ∫ q |
|
∂Т |
rdS + 2π ∫ |
αк (Т − Тс ) |
∂Т |
|
rdS = 0; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
2 |
|
∂Тi |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Тi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂J (е) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∂Т |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂Т |
|
|
|
∂Т |
∂ |
|
|
|
∂Т |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= 2π |
λ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r ∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z ∂Т |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
∂r |
|
|
|
j |
|
|
∂z |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
∂Т ∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− Qr |
|
|
|
|
|
+ сρr |
|
|
|
|
drdz + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂Тj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂τ ∂Тj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2π ∫ q |
|
∂Т |
rdS + 2π ∫ |
αк (Т − Тс ) |
∂Т |
rdS = 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
2 |
∂Тj |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Тj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1.19а)
(1.19б)
22
∂J (е) |
|
|
|
|
|
∂Т |
|
∂ |
∂Т |
|
∂Т |
|
∂ |
|
|
∂Т |
|
|
|||||||
|
|
= 2π∫ λ |
r |
|
|
|
|
|
|
|
+ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||||
∂Т |
|
∂r |
|
∂Т |
|
∂z |
|
∂Т |
|
||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
∂r |
|
|
k |
|
∂z |
|
|
|||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂Т |
|
+ сρr ∂Т |
∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− Qr |
drdz + |
|
|
|
(1.19в) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂Тk |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂τ ∂Тk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ 2π ∫ q |
∂Т |
rdS + 2π ∫ αк (Т − Тс ) |
|
∂Т |
rdS = 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
S |
2 |
∂Тk |
|
|
|
|
|
|
|
S |
3 |
|
|
|
|
∂Тk |
|
|
|
|
|
||
Систему уравнений (1.19) можно записать в виде одного уравнения
∂J (е) |
|
|
|
|
|
∂Т |
|
∂ |
∂Т |
∂Т ∂ ∂Т |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= 2π∫ λ |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂{Тm } |
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
V |
|
|
∂{Тm } |
∂r |
∂z ∂{Тm } ∂z |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Т |
|
|
|
|
∂Т ∂Т |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− Qr |
|
|
|
|
|
+ сρr ∂τ |
|
|
|
drdz |
+ |
|
|
(1.20) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
∂{Т |
m } |
∂{Т |
m } |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ 2π ∫ q |
∂Т |
|
|
|
rdS + 2π ∫ αк (Т − Тс ) |
|
∂Т |
rdS = 0, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂{Тm } |
∂ {Тm } |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
m = i, j,k.
Cистема уравнений (1.19) или (1.20) является исходной для минимизации функционала элемента.
1.5.5. Вычисление производных и интегралов
Для получения разрешающей системы уравнений для одного конечного элемента, следуя методу Ритца, необходимо подставить полученное выше выражение для температуры через узловые значения (1.14) в систему уравнений (1.19). Затем сначала найти значения всех производных и далее значения всех интегралов.
Рассмотрим уравнения (1.19). Вычислим следующие производные:
∂T / ∂r = C11Ti + C12Tj + C13Tk ;
(1.21)
∂T / ∂z = C21Ti + C22Tj + C23Tk ;
23
|
∂ |
∂T |
= C11; |
∂ |
∂T |
= C12 ; |
∂ |
∂T |
= C13 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂Ti |
∂r |
|
|
∂Tj |
∂r |
|
∂Tk |
∂r |
|
|||||
|
∂ |
∂T |
= C21; |
|
∂ |
∂T |
= C22 ; |
∂ |
∂T |
= C23. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂Ti |
∂z |
|
|
∂Tj |
∂z |
|
∂Tk |
∂z |
|
||||||
Используя выражение (1.14), получаем
∂T |
= |
∂ |
(α1Ti + α2Tj + α3Tk ) = α1; |
∂T |
= α2 ; |
∂T |
= α3. |
|
|
|
|
||||
∂Ti |
∂Ti |
∂Tj |
∂Tk |
||||
(1.22)
(1.23)
(1.24)
Объединив производные (1.24) в одно выражение, получаем
∂T |
= α1 |
(α2 ,α3 ). |
(1.25) |
|
∂Ti( j,k ) |
||||
|
|
|
Для решения дифференциального уравнения на каждом временном шаге используется его конечно-разностная аппроксимация по времени (явная или неявная).
При явной схеме решения задачи производная по времени представляется в виде
∂T |
|
Tτ+ ∆τ − Tτ |
|
Tk +1 − Tk |
|
|
|
|
|
|
= |
= |
= |
T − Т |
, |
(1.26) |
|||||
∂τ |
∆τ |
∆τ |
∆τ |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
где Tτ+ ∆τ ,Tk +1,T − температура на последующем временном шаге интегрирования; Tτ ,Tk ,Т − температура на предыдущем времен-
ном шаге.
Используя обозначение m = i(j, k) и подставляя производные (1.21)–(1.26) в уравнение (1.20), найдем производную от интеграла в квадратных скобках
∂J1(e) |
= 2π∫ λ (C11Ti + C12Tj + C13Tk )C1m + |
|
∂Ti( j,k ) |
||
V |
+ λ (C21Ti + C22Tj + C23Tk )C2m − Qαm +
24
|
|
cρ |
(α1Ti |
|
|
|
|
|
|
)αm − |
cρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dr dz |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
|
+ α2Tj |
+ α3Tk |
|
|
Тαm r |
|||||||||||||||||
|
∆τ |
∆τ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cρ |
|
|
|
|||
= |
2π∫ λC11C1m + λC21C2m − Qαm |
+ |
|
|
|
|
α1αm Ti |
||||||||||||||||||
∆τ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cρ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
+ |
λC12C1m + λC22C2m |
− Qαm + |
|
|
|
|
|
|
α2 |
αm Tj |
+ |
||||||||||||
|
|
|
∆τ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cρ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ λC13C1m + λC23C2m − Qαm + |
|
|
|
|
α3αm × |
||||||||||||||||||
|
|
|
∆τ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
×Tk |
− |
|
Тαm r dr |
dz. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∆τ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=
+
(1.27)
В уравнении (1.27) свободное от узловых температур слагаемое представляет собой тепловую нагрузку
|
|
|
|
|
F1 = −2π∫ |
cρ |
|
|
αm r dr dz. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
(1.28) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
∆τ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражения (1.17), (1.18) и (1.27) представим в виде |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
∂J1(e) |
|
∂J1(e) |
|
|
(e) |
|
|
|
|
(e) |
|
|
i |
|
|
|||
|
= |
= K |
|
{T m }= K |
|
= 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Tj |
(1.29) |
||||||||||
|
∂{T} |
∂Ti( j,k ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tk |
|
|
|
С использованием (1.27) и (1.29) общий член матрицы теплоемкости конечного элемента принимает вид
K |
(e) |
|
|
|
|
|
cρ |
|
|
|
= 2π |
|
λC1sC1m |
+ λC2sC2m + |
|
αs |
αm r dr dz. |
||
|
∆τ |
||||||||
|
|
|
V∫ |
|
|
|
|
|
Найдем произведение αsαm :
αsαm = (C1s r + C2s z + C3s )(C1m r + C2m z + C3m ) = = C1sC1m r2 + C2sC1m rz + C3sC3m r + C1sC2m rz +
+C2sC2m z2 + C3sC2m z + C1sC3m r + C2sC3m z + C3sC3m .
(1.30)
(1.31)
25
Подставляя (1.31) в (1.30), получим
|
(e) |
|
|
+ λC2sC2m |
+ |
K |
|
= 2π∫ λC1sC1m |
|||
|
|
V |
|
|
|
+(C1sC1m r2 + C2sC1mrz + C3sC1m r + C1sC2m rz +
+C2sC2m z2 + C3sC2m z + C1sC3m r +
+ C C z + C C ) cρ r dr dz.
2s 3m 3s 3m ∆τ
В выражении (1.32) введем следующие обозначения:
A1 = ∫r2dr dz; A2 = ∫ z2dr dz; A3 = ∫rz dr dz;
V V V
A4 = ∫r dr dz; A5 = ∫ z dr dz; A6 = ∫dr dz.
V V V
(1.32)
(1.33)
Выражения (1.33) будем интегрировать приближенно, используя координаты центра тяжести (rc , zc ) треугольного ко-
нечного элемента |
|
|
rc = (r[i] + r[ j] + r[k]) / 3,0; zc = (z[i] + z[ j] + z[k]) / 3,0. |
(1.34) |
|
Здесь r[i], r[j], r[k], z[i], z[j], z[k] – координаты узлов i, j, k. |
||
Учитывая (1.34), выражения (1.33) принимают вид |
|
|
A1 = rc2 S1; A2 = zc2 S1; |
|
|
A3 = rc zc S1; A4 |
= rc S1; |
(1.35) |
A5 = zc S1; A6 |
= S1, |
|
где S1 − половина площади одного треугольного конечного элемента.
С учетом (1.35) запишем матрицу теплоемкости треугольного конечного элемента для внутренних (неграничных) элементов на языке Object Pascal.
26
K1[s,m]:= 2× Pi × S1× λ ×
×(C[1, s]× C[1,m] + C[2, s]× C[2,m]) +
+(C[1, s]× C[1,m]× A1+ C[2, s]× C[2,m]× A2 +
+ (C[2, s]× C[1,m] + C[1, s]× C[2,m])× A3 + |
(1.36) |
+(C[3, s]× C[1,m] + C[1, s]×С[3,m]×
×A4 + (C[3, s]× C[2,m] + C[2, s]× C[3,m])×
×A5 + C[3, s]× C[3,m]× A6) / (a × DT ).
1.5.6. Учет граничных условий 3-го рода
Рассмотрим решение уравнения нестационарной теплопроводности при граничных условиях 3-го рода. Для этого найдем производную от 3-го интеграла уравнения (1.20). Используя
(1.14) и (1.25), получаем
|
∂J3(e) |
|
α1(2,3) |
− ∫ |
|
= |
|
|
|||||
|
∂Ti( j,k ) |
= 2π∫ αTc |
αTα1(2,3) dL |
|||
|
S |
|
S |
|
(1.37) |
|
= 2π∫αTcα1(2,3)dL − ∫α (α1Ti |
|
|
||||
+ α2Tj + α3Tk ) α1(2,3)dL. |
||||||
S
В последнем выражении два интеграла. Первый из них является дополнительным слагаемым к вектору тепловой нагрузки (для граничных элементов), вызванной теплообменом на поверхности изделия (при граничных условиях 3-го рода):
Fα = 2π∫αTcα1(2,3)dL = 2π∫αTcαm = |
(1.38) |
S |
|
= 2παTc ∫(C1m r + C2m z + C3m )dL. |
|
На алгоритмическом языке этот дополнительный член (1.38) к вектору нагрузки для граничных элементов (при граничных условиях 3-го рода) запишется следующим образом:
for q1:=1 step 1 until G3 do if GE[q1,1]=Ju then begin aL:=MaL[q1]; Rc:=(r[GE[q1,2]]+r[GE[q1,3]])/2.0; Zc:=(z[GE[q1,2]]+z[GE[q1,3]])/2.0;
27
Lc:=sqrt((r[GE[q1,2]]-r[GE[q1,3]]) ↑ 2+(z[GE[q1,2]]- z[GE[q1,3]]) ↑ 2);
For q2:=2,3 do begin for s:=1,2,3 do if NY[ju,s]= (1.39) = GE[q1,q2] then F[GE[q1,q2]]:= F[GE[q1,q2]]+(aL*Tc*(C[1,s]*Rc*Lc +
+ C[2,s]*Zc*Lc+C[3,s]*Lc))*(Rc ↑ N),
где N = 0 для плоской задачи,
N = 1 для осесимметричной задачи.
Второй интеграл в выражении (1.37) будет дополнительным слагаемым к термической матрице элемента:
|
|
(e) |
= |
∫α (α1Ti + α2Tj + α3Tk )α1(2,3)dL = |
|
||
|
Kα |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
= ∫α (α1Ti + α2Tj + α3Tk )αmdL = |
|
||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
α (C11r + C21z + C31 )Ti + |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
+ (C12r + C22 z + C32 )Tj + |
(1.40) |
|
|
|
|
|
+ (C13r + C23 z + C33 )Tk α m dL = |
|
||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C21z + C31 ) + (C12r + C22 z + C32 ) + |
|
||
= |
|
α (C11r |
|
||||
S
+ (C13r + C23 z + C33 ) |
(C1m r + C2m |
|
|
|
T |
z + C3m )dL |
i |
Tj |
|
|
Tk |
.
На алгоритмическом языке выражение (1.40), являясь дополнительным слагаемым к термической матрице элемента, запишется в виде
for s:=1,2,3 do for q2:=1,2,3 do if NY[Ju,q2] = = GE[q1,q2] then for zh:=2,3 do
if NY[Ju,s]=Ge[q1,zh] then K1[s,q2]:=K1[s,q2]+ + aL/Lam*(Rc ↑ N)*(C[1,s]*c[1,q2]*
Rc ↑ 2*Lc+C[2,s]*C[2,q2]*Zc ↑ 2*Lc+(C[2,s]*C[1,q2]+ + C[1,s]*C[2,q2])*Rc*Zc*Lc + (C[3,s]*C[1,q2]+
28
+C[1,s]*C[3,q2])*Rc*Lc+(C[3,s]*C[2,q2]+
+C[2,s]*C[3,q2])*Zc*Lc+ C[3,s]*C[3,q2]*Lc).
Ввыражении (1.27) рассмотрим последнее слагаемое, которое является вектором тепловой нагрузки:
F = −2π∫ |
cρ |
|
|
αm r dr dz. |
(1.41) |
|||||
T |
||||||||||
|
|
|||||||||
V ∆τ |
|
|
|
|||||||
|
|
αm r dr dz . Принимая |
|
|
= α1Ti + |
|||||
Найдем произведение T |
T |
|||||||||
+ α2Tj + α3Tk и αm = C1mr + C2m z + C3m , получим |
|
|
|
|||||||
Tαm r dr dz = Tτ−∆τ αm r dr dz =
= (α1Ti + α2Tj + α3Tk )(C1m r + C2m z + C3m )r dr dz =
|
+ (C12r + C22 z + C32 )Tj |
+ |
= (C11r + C21z + C31 )Ti |
+ (C13r + C23 z + C33 )Tk |
|
(C1m r + C2m z + C3m )r dr dz = |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
+ |
|
= C11r TiC1s |
+ C21rzTi C1s + C31rTiC1s + C12r Tj C1s |
||||
+C22rzTj C1s + C32rTj C1s + C13r2Tk C1s + C23rzTk C1s +
+C33rTk C1s + C11rzTiC2s + C21z2TiC2s + C31zTiC2s +
+C12rzTj C2s + C22 z2Tj C2s + C32 zTj C2s + C13rzTk C2s +
+C23 z2Tk C2s + C33 zTk C2s + С11rTiC3s + C21zTi C3s + |
|
+ C31TiC3s + C12rTj C3s + С22 zTj C3s + C32Tj C3s + |
(1.42) |
+ C13rTk C3s + C23 zTk C3s + C33Tk C3s ]r dr dz =
= (C11Ti + C12Tj + C13Tk )C1s r2 dr dz + + (C21Ti + C22Tj + C23Tk )C2s z2 dr dz + + (C21Ti + C22Tj + C23Tk )C1s +
+ (C11Ti + C12Tj + C13Tk )C2s r dr dz +
+ (C31Ti + C32Tj + C33Tk )C1s +
29
+(C11Ti + C12Tj + C13Tk )C3s r dr dz +
+(C31Ti + C32Tj + C33Tk )C2s +
+(C21Ti + C22Tj + C23Tk )C3s z dr dz +
+ (C31Ti + C32Tj + C33Tk )C3s dr dz.
Введем следующие обозначения:
L1:= (C11Ti + C12Tj + C13Tk ) / (2.0× S1) = |
|
= ((z[ j] − z[k])× T[i] + (z[k] − z[i])× |
(1.43) |
× T[ j] + (z[i] − z[ j])× T[k]) / (2.0× S1); |
|
L2 := (C21Ti + C22Tj + C23Tk ) / (2.0× S1) = |
|
= ((r[k] − r[ j])× T[i] + (r[i] − r[k])× |
(1.44) |
× T[ j] + (r[ j] − r[i])× T[k]) / (2.0× S1); |
|
L3:= (C31Ti + C32Tj + C33Tk ) / (2.0× S1) =
= ((r[ j]× z[k] − r[k]× z[ j])× T[i] +
(1.45)
+(r[k]× z[i] − r[i]× z[k])× T[ j]) +
+(r[i]× z[ j] − r[ j]× z[i])× T[k]) / (2.0× S1).
Сучетом (1.33), (1.42)–(1.45) вектор тепловой нагрузки (1.41) принимает вид
|
F = −2π∫ |
cρ |
Tαmr dr dz = |
|
|
|
|
|
|
||
|
V ∆τ |
|
|
||
−2π × [L1× C1s × A1 + L2× C2s × A2 + |
(1.46) |
||||
+ (L2× C1s + L1× C2s )× A3 + (L3× C1s + L1× C3s )× A4 + |
|
||||
+ (L3× C2s |
+ L2× C3s )× A5 + L3× C3s × A6 ) |
× ρ × с/ ∆τ. |
|
||
|
|
|
|
|
|
30