книги / Прогнозирование теплового состояния изделий при эксплуатации в условиях воздействия солнечного излучения

4.2. Обеспечение устойчивости решения по А.В. Лыкову

При решении нестационарного уравнения теплопроводности соотношение между шагами интегрирования по радиусу (∆r), т.е. в направлении градиента температур, и по времени (∆τ), а также ошибка округления в численном решении играют первостепенную роль, ибо ими определяются сходимость и устойчивость получаемых решений. Для явной схемы интегрирования уравнения нестационарной теплопроводности в работе [7] предлагается следующее соотношение между шагами ∆r и ∆τ:

где ∆τ – шаг интегрирования (счета) по времени; ∆r – шаг интегрирования по радиусу; р – параметр измельчения шага ∆τ; а – температуропроводность материала, а = λ/(сρ).

Устойчивость численного решения обеспечивается при выполнении условия р ≥ 2. При этом при р = 2 имеем самый большой шаг интегрирования. Результаты интегрирования тем точнее, чем больше значение р. Рекомендуемые значения р = 2, 3, 6, 12. При р = 1 получаем уже расходящуюся (неустойчивую) вычислительную схему решения, не пригодную для проведения вычислений.

В работе [8] условие, обеспечивающее устойчивость решения по явной схеме, представляется в виде

где а – температуропроводность материала; ∆Fо – аналог критерия Фурье, ∆Fо = а ·∆τ/(∆r)2.

Неявные схемы интегрирования уравнения нестационарной теплопроводности обеспечивают устойчивость решения при любых соотношениях шагов интегрирования. Однако не следует забывать, что увеличение шагов интегрирования приводит к уменьшению точности решения. Для ориентировочного выбо-

71

ра шага интегрирования по времени для неявной схемы можно принимать его в 3–4 раза большим по сравнению с шагом, полученным по формуле (4.1).

4.3. Обеспечение устойчивости конечно-элементного решения по С.И. Арсеньеву, В.И. Высоцкому, В.А. Санникову

В линейное уравнение теплопроводности (1.2) входит температуропроводность а = λ / (сρ) . Это отношение можно рас-

сматривать как меру скорости изменения температуры единицы объема тела при прохождении через него теплового потока, пропорционального теплопроводности. В уравнении теплопроводности температуропроводность осуществляет связь между пространственным и временным изменением температуры.

При расчете температурных полей в изделиях методом конечных элементов возникает необходимость пространственновременной оптимизации конечно-элементной модели, под которой понимаем оптимальное соотношение между пространственной дискретизацией и временным шагом счета, обеспечивающее отсутствие колебаний решения. Установлено [42], что чем меньше значение температуропроводности материала, тем больше влияние размеров конечного элемента (КЭ) на точность (устойчивость) расчета. Опыт расчета температурных полей в изделиях, содержащих резины, теплозащитные материалы (ТЗМ), полимеры и т.п. с температуропроводностью на уровне а = (1,3–1,7)10–7 м2/с даже при использовании неявной схемы аппроксимации по времени показывает, что не гарантируется отсутствие колебаний числовых значений искомых температур. Для конструкционных материалов (металлов), у которых температуропроводность а > 10–6 м2/с и коэффициент теплопроводности λ на два порядка больше, чем у теплозащитных материалов, размеры КЭ на точность расчета влияния практически не оказывают. В работе [42] установлено, что устойчивость решения при расчете температурных полей в ТЗМ обеспечивается при соблюдении условия

72

где ∆r – геометрический размер дискретизации конечно-элемент- ной сетки в направлении градиента температур; а – температуропроводность материала; ∆τ – временной шаг решения задачи.

4.4. Практические рекомендации по выбору шага счета по времени

Исходя из опыта расчета температурных полей различных изделий рекомендуется шаг счета по времени принимать около 1/100 доли от всего времени теплового процесса (нагревания или охлаждения) или от характерного периода этого процесса.

При мгновенном (ступенчатом) изменении температуры окружающей среды в начальный период нестационарного процесса по своду изделия создаются большие градиенты температур, поэтому для обеспечения приемлемой точности решения целесообразно все время теплового процесса разделить на 3 времен-

ных интервала: [0, τ1], [τ1, τ2], [τ2, τn].

полное время теплового процесса (нагревания или охлаждения). С учетом этого шаг счета на каждом из этих интервалов со-

ставит:

а) для интервала [0, τ1] ∆τ[1] = 0,01τ1 = 0,001τn;

б) для интервала [τ1, τ2] ∆τ[2] = 0,01τ2 = (0,004 – 0,005)τn;

в) для интервала [τ2, τ3] ∆τ[3] = 0,01τn.

В случае когда температура окружающей среды изменяется во времени плавно, например по линейному закону, то шаг счета по времени на начальном участке можно увеличить.

Вычислительный эксперимент по расчету теплового состояния натурных изделий, проектируемых и отрабатываемых в различных конструкторских бюро и НИИ, показал, что для обеспе-

73

чения устойчивости численного решения системы уравнений нестационарной теплопроводности по методу конечных элементов необходимо руководствоваться рекомендациями, изложенными в настоящей главе. При этом для предварительного выбора шагов интегрирования по радиусу ∆r и по времени ∆τ можно использовать выражения (4.1) и (4.3), а затем полученное численное конечно-элементное решение сравнить на сходимость с аналитическим решением для однородных (однослойных) тел простой геометрической формы. При расчете теплового состояния неоднородных (многослойных) тел полученные результаты необходимо проанализировать и убедиться в устойчивости (в плавности по времени) численного конечно-элементного решения задачи, т.е. в правильности выбора соотношений шагов интегрирования ∆r и ∆τ.

74

ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

Для подтверждения достоверности численных результатов рассмотрим действие различных тепловых нагрузок на конструкции в виде сплошного или полого бесконечного длинного цилиндра, так как для них имеются аналитические решения.

5.1.Нагревание сплошного цилиндра. Граничные условия 1-го рода

5.1.1. Постановка задачи

Дан сплошной цилиндр с наружным радиусом Rн = 1,0 м. Теплофизические характеристики материала цилиндра:

λ = 23,26 Вт/(м·К); с = 4,1868 кДж/(кг·К); γ = 1000 кг/м3. На-

чальная температура Т0 = 0 °С. Поверхность цилиндра мгновенно принимает температуру Тс = 1,0 °С. Найти распределение температуры по своду цилиндра в течение 20 часов.

Она имеет корни kn R = µn , равные: µ1 = 2,4048; µ2 = 5,5201;

µ3 = 8,6537 и т.д.

Результаты аналитического решения приведены в табл. 5.1. Для численного решения задачи методом конечных элементов в качестве расчетной схемы выбран сектор с углом 20о поперечного сечения цилиндра. Схема дискретизации расчетной области показа на рис. 5.1. Параметры дискретизации: NY = 105;

NE = 160; SH = 23.

75

В соответствии с рекомендациями главы 4 шаг счета по времени принят равным ∆τ = 0,01τn = 0,01·20 = 0,2 ч. Тогда шаг сетки по радиусу

∆r ≤ 1,34 а∆τ = 1,34 λ∆τ / (сρ) =

= 1,34 23,26 0,2 / (4,1868 1000) = 0,045 м,

принимаем ∆r = 0,05 м. Здесь необходимо отметить следующее. При решении задачи на ЭВМ граничные условия 1-го рода на поверхности цилиндра задавались путем умножения вектора тепловых нагрузок на большое число 1·1013. На компьютере такой прием не осуществим, поэтому граничные условия 1-го рода заменялись граничными условиями 3-го рода с коэффициентом теплообмена α = 2388,4 Вт/(м2·к) = 10 000 ккал/(м2·ч·°С) и температурой среды Тс = 1,0 °С. Результаты численного решения задачи приведены в табл. 5.1. Из табл. 5.1 следует, что сходимость численного решения с аналитическим находится впределах 3 % при значении числа Фурье Fо = 0,02, и далее при увеличении числа Фурье точность ещеболееувеличивается.

76

Рис. 5.1. Схема дискретизации

(NY = 105; NE = 160; SH = 23)

77

5.2.Нагревание сплошного цилиндра. Граничные условия 3-го рода

5.2.1.Постановка задачи

Длинный стальной вал диаметром Дн = 2Rн = 120 мм, имеющий температуру Т0 = 20 °С, помещается в печь с температурой Тс = 820 °С [44]. Определить время, необходимое для нагрева вала, если нагрев считается законченным, когда температура на оси вала равна 800 °С. Определить также распределение температур по своду вала во времени при τ = 10; 20; 30; 40 и 50 мин. Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно λ = 21 Вт/(м·°С); a = λ/(ρc) = = 6,11·10–6 м2/с, а коэффициент теплообмена к поверхности вала

α = 140 Вт/(м2·°С).

5.2.2. Решение задачи

Постановка и решение данной задачи рассматривались в ра-

боте [44].

1. Сначала найдем время прогрева вала. В рассматриваемом случае критерий Био

Bi = αRн / λ = 140 0,06 / 21 = 0,4 .

Относительная (безразмерная) температура для оси вала при нагревании составляет

θ r=0 = (Tc − T ) / (Tc − T0 ) = (820 − 800) / (820 − 20) = 0,025.

По графику θ r=0 = f (Bi,Fo) (рис. 2.3 работы [44]) находим значение критерия Фурье: Fo = 5,2. После этого из зависимости

2.Для аналитического расчета распределения температур

вфункции свода и времени воспользуемся формулой для относительной температуры в виде бесконечного ряда. Согласно работе [7] относительная температура представляется в виде

µ2 = 3,9344; µ3 = 7,0723; А1 = 1,0931; А2 = –0,1277; А3 = 0,0582.

79

T r =Rн = 474,5 оС.

Аналогично проводятся расчеты при времени τ = 20; 30; 40 и 50 мин. Результаты всех вычислений сведены в табл. 5.2.

Таблица 5 . 2

Аналитическая зависимость T = f(r, τ) при удержании одного члена ряда

Расчеты показали, что учет второго члена ряда в аналитической зависимости изменяет значения температур, приведенные

втабл. 5.2, лишь в пятом знаке после запятой.

3.Для численного решения задачи выбрано поперечное сечение стального вала. В силу симметрии вала достаточно рас-

смотреть сектор с углом 30°. Схема дискретизации расчетной области приведена на рис. 5.2. Параметры дискретизации:

80