книги / Технология композиционных материалов
..pdf(тепловая) конвекция в канале обусловлена разностью температур вертикальных границ л = лу и г = ^ •
Конвективное движение газа в выбранной цилиндрической систе ме координат описывается системой уравнений в частных производных:
(2.3)
Здесь V |
- |
вектор |
скорости, |
= V (и, O') |
|
U |
- Составляющая вектора скорости вдоль |
ртикальпой |
|||
jо - |
оси I |
; |
|
|
|
плотность газа; |
|
|
|||
р- превышение давления над гидростатическим;
}- Коэффициент кинематической вязкости;
X- Коэффициент температуропроводности;
и- составляющая вектора скооости вдоль радиуса;
^Ускорение свободного падения; - Коэффициент объемного температурного расширения газа.
Уравнения (2 .1 ), (2.2) - уравнения движения. Они описывают из менения компонент скорости с учетом механизма переноса, массовых сил и вязкостй. Уравнение (2.3) - уравнение неразрывности (закон сохранения Массы), уравнение (2.4) - уравнение энергии (теплопровод
ности ).
Отметим* что система уравнений (2.1) - (2.4) описывает конвек
тивное |
т еч ете в приближении Ьуссинеска. В этом приближении полага |
||
ется, |
что |
а р н о с т ь |
газа постоянна; изменение плотности учтено лишь |
в члене с |
поземной |
(архимедовой) силой. Приближение Цуссинеска хо- |
|
дах из канала. При расходе газа, равном нулю ( |
Vj = 0 ) , |
вместо |
второго условия в (2.8) может быть использовано |
обычное |
условие |
вязкого прилипания. На вертикальных границах температура предпо
лагается заданной. На функции |
Tj ( I ) и |
\ ( Ъ |
) накладывает |
|||
ся условие |
Tt(l) |
> Тг С1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которое соответствует реальной ситуации (внутренние источники |
|
|||||
расположены при л < |
). Б простейшей ситуации |
Tj и |
^ - |
по |
||
стоянные значения. Вторая пара условий для |
температуры |
(2.9) |
со |
|||
ответствует однородной температуре на входе и условиям теплоизо ляции на выходе.
Для решения задачи двухполевым методом введем новые перемен ные - функцию тока V и вихрь скорости (р
(2.I I )
(2.12)
С математической точки зрения для получения эволюционного уравнения для вихря скорости достаточно от векторного уравнения для скорости взять ротор скорости и спроектировать полученный век-
гор на вектор, |
перпендикулярный плоскости |
( г |
, % |
); |
член |
с |
дав |
|||
лением при этом |
автоматически |
пропадает, |
так |
как |
rot (4f ) |
= 0 . |
||||
Для сокращения числа независимых параметров будем решать сфор |
||||||||||
мулированную задачу в безразмерных переменных. Для перехода |
к без |
|||||||||
размерным переменным выберем в качестве масштабов длины, |
температу |
|||||||||
ры, времени и скорости вихря соответственно |
- |
радиус |
внутренне |
|||||||
го цилиндра; |
в |
= |
т аТ(%)~л |
m i n T ( Z )- |
наибольшая разность |
темпе |
||||
ратур вертикальных поверхностей цилиндров; |
|
- |
характерное |
|||||||
время вязкой |
диссипации, |
- характерная |
скорость. |
|
|
|||||
После обезразмеривания и перехода к функция тока и вихрю ско |
||||||||||
рости система |
определяющих уравнений примет следующий вид: |
|
||||||||
d dr
9 dr
9T d z
II
d (p |
d |
(U(f) + |
= |
|
|
31 |
+ dr |
|
|||
|
|
||||
‘ ( - F |
8 |
(r-cpj) |
> g l v - z r . 4 L • |
||
dr ' |
’1 7 z |
‘ |
d r > |
||
|
d(f |
|
<?fy |
* = |
0; |
( ± |
dr ~)+ r |
J V + |
|||
|
3 |
|
|
(u - |
|
|
dr ' ( Г Ц |
T> + d z |
= |
||
|
8 |
(r dr |
|
f |
|
■ l - L ' dr |
|
|
|||
В систему уравнений входит два безразмерных критерия подобия - числа Грасгофа и Прандтля:
„ |
Q Р 9 |
Z? |
} |
(2.14) |
Сгг = |
1------------- |
1 , |
Pr = у |
Значения параметров, входящих в (2.14), для повышения точности со ответствия с реальной ситуацией следует брать при средней темпе ратуре
т = Тд + 0,5 в |
(2.15) |
Сформулируем граничные условия для системы (2.13). Переформу лировка граничных условий (2.5) - (2.9) необходима из-за Процедуры обезразмеривания и введения функции тока и вихря (рис.2.15).
Y ( t , f , z ) = 0 , V ( i , L, z ) = V ( t , r , k ) - V, ;
r e [ L 2>LJ
3 V ( t . 1 , D , _ g
d r |
U > |
|
|
3V(t.L.t> - 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
3r |
|
’ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
v |
a , r, o) |
|
= f r / f(r) d r |
, |
|
|
|||
|
|
d ¥ |
, |
|
, |
[ |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
^ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
С£ - Х ; |
Сг > 0 ; |
\ |
( 2. 16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
■> r s [ t , L f l - |
. |
( 2. 17) |
|
|
эта, r, k) |
|
_ |
r . |
. л |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
d l |
|
|
~ ° > r e [ 1 , L l ; |
|
|
|||
|
T(i, r ,h) = |
|
Тъ = |
const, r e . [ L 2jL] |
|
|||||
где |
men Tt (% )- |
+ |
Cf |
h , |
mLn T2 ( Z) = B2> |
|
|
|||
тогда |
в = |
+ 7 |
h |
- |
|
6% |
|
|
|
|
Значения безразмерных параметров L h , Pr , Crr , Vj определены для иссле дуемого варианта технологического про цесса. Исходя из размеров реактора, по
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
L - S , |
h = |
7 |
|
|
|
|
|
|
Для метана, например, при имеющемся |
|
|
|
|
||||
диапазоне температур можно взять средние |
, , 'A LA u h . |
f |
||||||
значения Рг = 0 , 7 * |
= 0 ,5 |
сыр/с. |
||||||
1 f f г, т |
г, |
Ь |
Ь |
|||||
Учитывая, |
чт° разность |
температур |
' ’ |
7 |
' |
7 |
||
на поверхности НэД0-™* и стенке реакто- |
РИСрм тост2адМсе?^ЬНаЯ |
|||||||
|
|
т п . - |
т я |
|
тп |
тп |
+ { г \ |
A Z |
Ы .-А(-р*у !и~ |
'(■- О - |
|||
|
|
|
|
|||
где |
Р Г |
- разностные |
числа, |
вычисляемые по формулам |
||
|
||||||
|
|
“V |
а л - |
У |
V Л |
а г |
|
|
|
|
£ ? = |
|
|
Функция /4 (Р) определяется по формуле
А(Р) = p/*?fV
которую можно заменить достаточно точной аппроксимацией:
А(Р) = /тгах (1 ~ 1Р\/В)5) + тол (0, - Р )
Функция тока находится методом последовательной верхней ре лаксации с помощью соотношений’:
¥***=( 1 - a?) VCj + и)
<7 |
<J |
(2 .2 0 )
где СО - |
релаксационный параметр, выбираемый из интервала |
S - |
I <С0 < 2; |
номер внутренней итерации. |
Поскольку для функции вихря скорости нет граничных условий, их приходится аппроксимировать по известной формуле Тома:
,пн |
= |
2- |
■Urn *t- ъг.п+' |
i.O |
дгг |
|
|
n+iП |
|
nл |
\Lfa+i - Ь/ПН. |
; _ |
n м |
• |
|
|
|||||
|
|
|
'LЧ/УN |
TUA/~fL N -I |
|
|
|||||||||
|
|
ЧН |
= |
2 |
-------L |
АГ* |
' |
L - ° ’M |
’ |
|
|
||||
|
|
лП+ 1 |
n |
Wщ r}*1 _ |
|
|
__ |
A// = |
L, |
>’ (2.21) |
|||||
|
<fn . |
= |
2 |
^ |
i |
l |
|
|
|
|
j ^ |
||||
|
|
°t |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
tl+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. = |
|
< ls J ! £ |
U |
■ =/Vf , ^ |
/Vf = |
4 л |
|
||||||
|
,fy |
|
|
|
4 2 £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Расчет каадого временного слоя можно условно разбить на четы |
|||||||||||||||
ре этапа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
из |
(2.18) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
<Р** |
= |
|
|
f ~ t ) ; |
|
|
|
||||
2) |
из |
(2.19) |
|
<J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
T ' / U i - t j r i j ~ m , |
|
|
|
|
||||||
3) значения функции тока находим, решая уравнение |
(2 . 20) ме |
||||||||||||||
тодом усреднения до тех пор, |
пока не выполнится условие |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
т с п \ У и * - |
V s l < e |
,77a * W s+1l, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
V |
|
Л / |
|
V |
|
|
|
4) вычисляем значения вихря |
скорости на границах |
|
по формулам |
||||||||||||
(2. 21). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты тестовых расчетов. Рассматривалась следующая гео |
|||||||||||||||
метрия расчетной |
области: |
L = 2 , |
h = 2 , |
Lf= 1,7, |
Z/$= 1,4. |
||||||||||
Шаги пространственной разностной сетки |
Аг |
= |
4 2 |
= 0,1 . |
Шаг по |
||||||||||
времени |
а I |
выбирался из |
соображений обеспечения |
устойчивости |
|||||||||||
явной разностной |
схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
и |
= |
0J5min (лгг, AZe) |
|
|
|
|
|||||
Параметры течения: Pr = I, |
Gr- = ю ^. Рассматривались два варианта |
||||||||||||||
расхода: |
Vj = 1 (вариант I) я |
V/ = 10 (вариант 2 ). |
В граничных |
||||||||||||
условиях для температуры (2.16) и |
(2.17) |
брали |
С, = |
^ |
* 0 , |
= |
|||||||||
= ^о = 1 > |
^ |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изотермы в изолинии функции тока дхя вариантов I я 2 показа ны на рис.2.16 и 2.17.
Ряс.2.17. Результаты тестовых расчетов: а - при Щ - 10 - изотермы; о - при 1*9 = 10 - изолинии функции тока
Как видно на рис.2.16, 5 , при малых расходах газа преобладает кон
вективное течение и весь вдуваемый газ проходит в узкой области вблизи левой вертикальной границы (внешней поверхности заготовки). Основную часть объема реактора занимает возвратное течение. Яри уве-
личения расхода газа (рис,2.17, а ) вдуваемый поток оттесняет вихрь и занимает большую часть объема реактора. Более детально процесс переноса тепла от горячих стенок к холодным можно про следить по графикам рис.2.17 и 2.18. Из рис.2.18 видно, что по вышение расхода газа приводит к некоторому повышению теплоотда чи на левой вертикальной границе (кривая 1 ) и понижению погло щения тепла на правой вертикальной границе. Распределение теплопотоков на горизонтальные стенки от величины расхода газа зави сит слабо (рис.2.19). В данной задаче существенной характеристи кой является величина силы трения потока о левую вертикальную стенку, которая позволяет оценить скорость течения газа в изде лии. Как видно из рис.2.20, увеличение расхода существенно уве личивает трение, а значит, и скорость газа в изделии будет выше.
Рис.2.19. Зависимость |
распреде |
|
|
|
|
|
|
|
ления |
тешгопстоков на |
горизон |
|
|
|
|
|
|
тальные стенки заготовки от ве |
|
|
|
|
|
|
||
личины расхода газа: |
Рис.2.20. |
Зависимость |
силы трения |
|||||
|
|
|||||||
|
|
газового |
потока от |
скорости |
тече |
|||
|
|
ния газа |
в заготовке: |
— |
------ |
|||
|
|
изотермы и изолинии функции |
тока |
|||||
|
|
при |
y/j = I ; ------------ |
при |
Vf = 10 |
|||
2 .7 .2 . |
Математическая модель процесса |
пиролитического |
|
|
|
|||
заполнения углеродом волокнистой пористой среды |
|
|
|
|
||||
Рассмотрим образец цилиндрической формы (нить), |
составленный |
|||||||
из тонких волокон (филаментов) одного диаметра (рис.2.21). |
Все во |
|||||||
локна направлены вдоль |
нити. |
|
|
|
|
|
|
|