Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

рования перпендикулярными к оси г, будем иметь слои балки, слабо сопротивляющиеся сдвигу в плоскости хОг — поперечному сдвигу. Предполагаем, что каждый слой k несжимаем в направле нии г. Тогда закон Гука для .слоя будет иметь вид

					о* =	е£;		=			(6.1)
где	Ek = Ek(z)— модуль					продольной,			упругости	для	направле
ния	х;		G,k =	Gk(z) — модуль			сдвига в		плоскости	xOz. Отметим,
что	для		рассматриваемых				материалов возможны				отношения
Ek/G‘k «			10—2—100. В		частном случае изотропного материала Gk =
= Gk,		a	Ek/Gk = 2(1 +			р*),	где	рЛ— коэффициент			Пуассона
слоя	k.
Приведем				простой	пример —
трехслойную				балку,	у которой
тонкие и			прочные несущие слби
соединены слоем заполнител_я,
слабого		при		поперечном		сдвиге
(рис., 53). Гипотеза плоских се
чений для такой балки неприме
нима, так как за счет деформации									Рис.	53
сдвига заполнителя поперечные
сечения			существенно		искривля

ются. В этом случае (а также в случаях балок с большим количеством слоев) для расчета можно использовать двумерные КЭ плоско-на пряженного состояния (см. гл. 4). Но поскольку число КЭ, и следо вательно неизвестных, зависит от количества и толщины слоев, то расчет может оказаться весьма громоздким. Количество неизвестных можно существенно уменьшить, рассматривая задачу как одномер ную. Для этого построим КЭ, который учитывает неоднородность строения балки по высоте сечения и влияние поперечного сдвига на напряженно-деформированное состояние, и покажем его при менение.

Выведем основные зависимости для расчета многослойных ба лок. Сначала примем гипотезу плоских сечений. В этом случае вер тикальные и горизонтальные перемещения слоя k определятся со отношениями

«М *.	2) =	w(x);			иА(х,	2) =			dw (*)	z.	(6.2)
									dx
Продольные деформации и деформации							поперечного сдвига слоя k
	ь		дик		d*w
			дх			dx2					(6.3)
k	dak	,	dwl	_	dw		,	dw			(6.3)
			dwl
			dwk						0.
•	дг	1 ~х		'	4 x		I	d x	0.
•	A n	‘	А и	'	A v		I	d x
Согласно закону Гука (6.1),
	Gk =		d2wdx2		Ekr,	x* =		0.			(6.4)

Соотношения (6.4) справедливы для чистого изгиба. При попе речном изгибе касательные напряжения можно найти из условия равновесия части F dx элемента балки (рис. 54):

Отсюда

- -	к I ж ' i F	- - ъ г к J	EtZ d F - S r к S £ A z i * •
	F	F	— 5.
	что Ek =	E k (z) и bk =	(6.5)
Напомним,	что Ek =	E k (z) и bk =	bk (z).

Рассмотрим	случай, когда		на	поверхности балки	z = б2 нет
тангенциальной	нагрузки. Для		такой поверхности %к =		0 и тогда
	5.	п	ак
	]	Ekbkzdz = 2	^	E kbkzdz = 0.	(6.6)

Отсюда найдем положение нейтральной поверхности 2 = 0. Для этого в уравнении (6.6) примем z = Zk — 6Ь где' zk отсчитывается от начала координат Оу (рис. 54). Тогда получим расстояние от точки Oi до нейтральной оси:

п ck п ск

« i = ( 2 I	Ekbkzkdz^) : ( 2	$ Ekbkdzk) .	(6.7)
ft=l ck_J	k = l	ck_J

В частном случае однородной балки (Eft = £) прямоугольного сечения b х /г из формул (6.7) и (6.5) получаем

т. е. закон изменения касательных напряжений — квадратичная парабола.

Теперь построим новую модель балки, полагая, что поперечные сечения искривляются за счет действия касательных напряжений, для которых примем следующую формулу:

%k = fxV k—51IEkbkZdZ-	(6,8)
г

Здесь закон изменения г* по высоте поперечного сечения такой же, как и в выражении (6.5) для напряжений. Однако распределение их вдоль оси балки характеризуется новой функцией % = %(х)— функцией сдвига. Нормальные перемещения,как и ранее, постоянны по высоте сечения: wk (х, z) = w (х).

Введем обозначение

d% (г)

1 f с t ^

и учтем его в (6.8). Тогда из закона Гука (6.1) найдем дефор мацию поперечного сдвига:

duk	.	dwk	_	T*	d% d% (z)		(6.9)
dz	'	dx	~	Gk	dx	dz *

Отсюда

dwk , dX d% (z) dx dx dz *

Проинтегрировав это	выражение по	г	и учтя, что wk =	w, по
лучим
«(,	z) = и(х) — ^	г	+ ^ % (г),	(6.10)

где и (х) — функция интегрирования — перемещение точек по верхности z = 0 вдоль оси балки. Ввиду малости этих перемеще ний принимаем ы(д:) = 0. Тогда

М * .	г) = - Ж	г + Тх^® >	<6Л1)
где
	2	2
% (*) =	j -Q ^ -(	J Ekbkzdzj dz.	(6.12)

о—6,

Выражение (6.11) отличается от соответствующего выражения (6.2), основанного на гипотезе плоских сечений, вторым слагаемым, кото рое учитывает искривление сечения за счет действия поперечных касательных напряжений. Схема перемещений для частного слу чая — однородной балки-консоли — показана на рис. 55. Если полагать материал балки абсолютно жестким при сдвиге: G*-voo,

то % (г) -> 0 и тогда получаем перемещения ик, основанные на гипотезе плоских сечений.

Продольные деформации определяются теперь выражением

еk	дЧ	d2w	^ Ы г ) .					(6.18)
еk	дх	dx* г +	^ Ы г ) .					(6.18)
	dw	Напряжения,			исходя		из	закона
		Гука и выражений для деформаций
		(6.13)	и	{6.9),	будут		такими:
		ок =
								(6.14)
				r , j x		d% (*)		(6.15)
				*	dx		dz	(6.15)
				*	dx		dz
		Выражения			(6.9),		(6.13), (6.14)
		и (6.15) для компонентов напря
		женно-деформированного						состоя
		ния слоя позволяют записать упру
		гий потенциал балки:
			i
П ■= -\|j- (ое + TV )		dQ = Y	j	j ak j — ^		t +
e			O F
+ ™ M t ) ] dF		d F	} d *
	l
								(6. 16)

где l — длина балки или некоторой ее части; F — площадь попе речного сечения.

Здесь введены внутренние усилия:

M = \ okzdF\ Q =	^тkdF\
Р	F	(6.17)
М		(6.17)
М
При »том М — изгибающий момент;	Q — поперечная	сила; М
и Q — обобщенные момент и поперечная сила высшего		порядка,

которые отвечают принятым выражениям для деформаций, учиты вающим поперечный сдвиг.

Обозначим

п	а к
D u - J flAa2dF - 2 4	Ekb^dz\

РЛ=1 оЛт1

Пak

D n -	— J Е & ь(2)2dF -	— 2		S £М> (г) 2 rfz; (6.18)
			/г=1 с/г-1
		n	°/г
£>22 =» 5 ЭД»* (2) ^ =		2	5	ЗкМ>* (2) ^2!
		Л=1 а/г-1
	** D I 2/ D H \ с2 — ^ 22/ ^ 12*
Кроме того, введем обобщенное линейное перемещение
	W(*) =	CiX (*)		(6.19)
— некоторый	аналог прогиба, связанный с учетом поперечного

сдвига,— сдвиговый прогиб. Соответственно будем иметь; <р« jr —

			—	dw		угла		поворота,	связан-
угол поворота сечения; у =				— — аналог
ный	с	учетом _поперечного		сдвига, — сдвиговый				угол поворота;
v. =	—	d*w	— кривизна оси	,	—		<Pw		кри
				балки;	и и. —			-----аналог

визны— кривизна сдвига.

Сучетом принятых обозначений, подставив напряжения (6.14)

и(6.15) в выражения (6.17), получим

M — Dn (x + « ) ; М = —Dn (схх + о, -£д. <р; Q - £)цф.

Напряжения (6.14); (6.16) запишем так:

о * - £ А[х 2 — — % (*)]) G’ - ^ ( 2 )

V - Ч Х - У - З Г -

Для однородной балки прямоугольного сечения b х Л

(6.20)

(6.21)

	г. М3	2G' \ 3		г *4) ;
'11		п , .	п	— ^	П ,	(6.22)
	Я 12	— EJу,	D 12 —	10(о,
D22	17	/£^!\2 п		Г)	12'
	”	Ull = 9£8G'
Отсюда следует, что су &		с2. Это соотношение			справедливо и для
многослойной балки.

Функционал полной потенциальной энергии многослойной бал ки с учетом выражения (6.16) и обозначений в формулах (6.20) для внутренних усилий запишем в следующем виде:

i	_	.	_	1
П = у('^Л 4х — —■х -f-				фj d x — j ' pwdx,		(6.23)
о	' Cl		Cj	о
где p = рг (x) — интенсивность			распределенной		нагрузки, нор
мальной к оси х.
Отличие данного функционала			от функционала		балки,	изгибае

мой в соответствии с гипотезой плоских сечений, состоит в наличии

членов с усилиями М и Q, которые учитывают влияние поперечного сдвига. Функционал (6.23) выражен" через независимые функции одного и того же аргумента х\ w — w (х) и %= %(х). Тем самым двумерная задача сведена к одномерной.

§ 21. Конечный элемент многослойной балки.

Возьмем КЭ с двумя узлами (рис. 56), отнеся размер / к его длине. Аппроксимацию перемещений по области КЭ обусловит вид функционала (6.23). При этом обратим внимание на подобие слагае мых функционала, которые включают в себя кривизны изгиба х и сдвига х. Кроме того, отметим аналогию в соотношениях (6.20),

г				которые выражают моменты М
г				и М через кривизны.
				и М через кривизны.
*<.			%	Используя указанные анало
*<.			%	гии,	назначим в		п-м узле КЭ
1 Л		2. R2		(п =	1,2)	по две	независимые
'i		ч		группы степеней свободы — из-
м,( I		ч	>мг x	группы степеней свободы — из-
м,( I	t	м2	>мг x	гибную и		сдвиговую (рис. 56):
W!.щ		w2
%,г.		r2>*г
	Рис.	56

Общее чиоло степеней свободы в узле —- 4, а для КЭ — 8. Выраже ния для перемещений по длине I КЭ выберем в такой же форме, как и для КЭ балки, изгибаемой согласно гипотезе плоских сечений:

	W ( х ) = W 1 f 1 + J P i f 2 + Ш 2 / з + Ф 2 /4 ;	(6.25)
	W ( * ) = W x f i + C p i/2 + W 2 f 3 + Ф 2 /4 .	(6.25)
	W ( * ) = W x f i + C p i/2 + W 2 f 3 + Ф 2 /4 .

Здесь полиномами fe (g = 1, 2, 3, 4) описаны законы распределения перемещений в балке, концы которой защемлены (см. § 8):

, _ 28— 3/а + / 3		.	t _	* з _ 2/а + / г .
/1	/3	>	/2	^2	>
*	3 /* a —	2*a	/4	f х3 — 1хг	(6.26)
13	js		/4	J2

Перемещения, деформации, моменты и силы, выраженные через по линомы , сведены в табл. 12, где/^и/" — первая и вторая производ ные от fg.

								Таблица 12
Компоненты					Перемещения
Компоненты			изгибные				сдвиговые
напряженно-			изгибные				сдвиговые
деформированного
состояния		Щ		Wt	<pi		Ф1	W3	?«
		Щ		Wt	<pi		Ф1	W3	?«
w (*)		А	А	/з	А	—	—	—	—
W (*)		— '	—	—	—	/i	/г	^3	А
и = —d 2w /d x2		—А"	- А '	-А "	—А"	—	—	—	—
х = —d 2w/ dx 2		—	—	—	—	—А"	—А'	- А '	-А "
ср (х) = d wl dx		—	—	—	—	А	А	^3	' А
М = Dn (х + х)			—/ 2	- а		-А " - А		- А	- А
М = —Я н (схх +	с2%)	c j "	Cl/ 2	Cl/з"	СхА"	сА	' с2А	С2?3	с*А
Q =.£>пФ		—	—	—	—	/.	А	/з	А
Для построения		матрицы		жесткости используем				выражение
(2.22):
i				i	_
ki/ = j	(x)ej (x) dx = j* \MiKj —					X/ +	-\|p cp,j dx.		(6.27)
о			о	L	1	1

Величина ftf/является реакцией связи по направлению i от единич ного перемещения по направлению / (i, / = l-f-8 ). Каждое из зна чений kij — элемент матрицы жесткости. При помощи (6.25), табл. 12 и полиномов (6.26) можно найти все элементы матрицы жестко-

сти (табл. 13.) Например, реакция связи I = 1 от единичного пере мещения / = 3

	i		i
^1з =	kwtw2^ ^ MWlXwg dx =		J f j 3 dx =*
	о		о
	— т г Jо ( l2je — 6l?~dx		12Dn
=		=	/з •
=		=

Получаем коэффициент, аналогичный соответствующему коэффи циенту в матрице (3.25), только вместо E J имеем Dц. Аналогично

		I
*58 = k w~f, =		М~		Q-	dx =
*58 = k w~f, =		(	К .	Ч -------	dx =
		С1	<Р*
			I
= ^ j ш и : +	ш	^	j	[с2 ( i2 x -	6/) се* - 2 / )+
+ (6*2 -	6/) (3* - 2/*)] dx =				+ 1 ) .
Полученная матрица жеоткости (табл.				13) состоит из четырех бло
ков и сокращенно может быть представлена в виде
		[*х]	[*,]		(6.28)
		[*2]	[*3]		(6.28)
		[*2]	[*3]

Здесь подматрицы [fej и [&я1 отвечают, соответственно состоянию изгиба и сдвига, а [&2] определяет взаимовлияние этих состояний.'

При этом		= [й31 и полностью совпадает с матрицей жесткости
(3.25) для	балки, изгибаемой согласно гипотезе				плоских сечений,
с той лишь		разницей,	что в [/?х1	вместо множителя E Jy нужно
брать D ii.
Система	уравнений		равновесия	в матричной	форме имеет вид
			I/?} = Щ \q),		(6.29)

где векторы узловых перемещений и сил (реакций) следующие:

	1 Я г	1
Ф1	Мг
щ	Я 2
Ф.2	м 2		(6.30)
W1 ► ;	W = < Я г	'	(6.30)
Ф 1	Мг
Щ .	Яш

1 Фа J1

I1 М 2 )

#1	1
Mi	о
Mi	Z
Я 2	о
Я 2	о
м 2	А
м 2	4
Ri	5
	f
Мд	и
~Б	7
М 2	8

«ч	?!		W2	•Pi
1	2		3	4
12	6		12	6
/ 3	/ 2		/ з 1	/ 2
6	4		6	2
/2	1	'	' / 2	/
12	6		12	6
/8	/ 2		/з	/ 2
6	2		6-	4
/ 2	1		/2	1
12	6		12	6
/3	S/2		/3	Т 2"*
6	4		6	2
/2	1		/2	/
12		6	12	6
/з	/2		/3	/2
6	2		6	4
/2	~ Т		/2	/

		_				<Pl/-		_
		«Ч			.	<Pl/-
					.
		5				6
		12				6
		/з"				/ 2	’
		6				4
		/ 2				l
		12						6
		/з				/ 2
		6				2
		/ 2						/
1	/1 2 с ,		,	6 \	1	/6 с 2 ,		1 \
Ci	\	/ 3	+	5/ /	Cl	(т *	+	То/
						-
1	/6 с 2 ,			^1	_ L /	1^ ?
Cl	\ /*		^	10/	Cl \ Ч +
1	/1 2 с ,			6\	1 . ^		+	1 )
с ,	\	Is	^	5/ /	Cl	1 /2	^	10/
1 /6 с ,.				1 \	1 /'2 с 2 ,			1 \
■ ^ Ы + т а )					Cl '\ 1 + 30 )

__
ш,				?*
				?*
7				8
		12		6
/з		'		/ 2
6				2
/2				/
12				6
/з				/ 2
6				4
/ 2				/
1 /	12са ,		6 \1	/б с 2	, 1 \
____L ( 5 £ ? +		_ L)		w	3 0 /
CI \ / 2	^	10/	Cl	w	3 0 /
1 /1 2 с ,		6\	1	/б с 2	l \
с , ^ 13 ^ 5 / /			Cl V l ' ^ 1 0 /
1 /6 с2 ,		1 \	1 /4 c2		2\/
			Ci	W +	15/

П р и м е ч а н и е . Общий множительDX1.

Узловые силы должны отвечать условию равенства работ за данной внешней нагрузки и узловой. Из функционала (6.23) сле дует, что узловые силы, эквивалентные распределенной нагрузке, для узла п будут такими:

i	i
Rn = J рг (х) fi dx\	M „ = J pt (x)f*dx;_	Rn = Mn = 0.	(6.31)
о	о
Для равномерно распределенной нагрузки р получаем
			<6 -32>
При составлении	системы уравнений	(6.29) необходимо	зада

вать условия для узловых перемещений по концам балки, которые моделируют различные способы ее закрепления. Приведем основ

ные случаи условий:		0; <р = 0; w =_0;
1)	жесткое защемление: щ =	0; <р = 0; w =_0;	<р = 0;
2)	шарнирная опора: w — 0;	ф*^ 0; w = 0; ф Ф 0;
3)	свободный край: ш ^ 0 ; Ф # 0 ; ъиф0\ уф О .
	Решив систему уравнений	(6.29) и определив	узловые переме

щения, можем найти функции w(x), w(x) и их зн ачения в точках продольной оси. Затем, согласно соотношениям § 20, определим все компоненты напряженно-деформированного состояния в соот ветствующих точках по высоте поперечных сечений балки.

§ 22. Основные гипотезы и функционал полной потенциальной энергии для пластины

Рассмотрим задачу об изгибе многослойной пластины — разно видности пластин композитного строения. Пластина состоит из п слоев (рис. 57) трансверсально-изотропного материала постоянной для слоя, но различной для слоев толщины hk (k = 1,2, ..., п). Плоскости изотропии параллельны наружным поверхностям'. Слои несжимаемы и закон Гука для каждого из них имеет вид

=	1	r k (е*		+ iv p ;		а£ = т1 - ^г ft( е£ +		^ е*);
(Г*	- - .		-	рА •	rrk			(6.33)
						= Gk t j T*z =
1ху	2(1+ ЦА)			Ьху'	%хг
где Ek = Ek (г),			(z) — модуль продольной упругости и коэф
фициент Пуассона		в	плоскости			изотропии;	G'k =	Gk (z) — модуль
поперечного сдвига.
Предполагаем,		что	слои		могут обладать		низкой жесткостью

и прочностью при сдвиге. Для расчета таких пластин можно исполь зовать дискретную схему, основанную на применении трехмерных

ПО

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги