книги / Метод конечных элементов
..pdfЗапишем еще (1.100) через составляющие напряжений, или через функцию напряжений:
t/m== ^ Л [ ( о х + о ,) 2 — 2(1 — =
- £ Ш ( 3 + $ ) ■ - > < ' + - > [ £ 5 ? - е т < ‘‘ 4 М ' - и ч
Выбор координатных функций при решении задач |
изгйба. В ме |
|||||||||
тоде Рэлея — Ритца существен выбор подходящих функций |
/4- (а ) |
|||||||||
или fL(а , у), удовлетворяющих кинематическим граничным |
усло |
|||||||||
виям и близко аппроксимирующих Действительное .очертание |
оси |
|||||||||
или поверхности. При этом удовлетворение |
разрешающим диффе |
|||||||||
ренциальным |
уравнениям не требуется. Точность метода Рэлея — |
|||||||||
Ритца во многом зависит от того, как |
хорошо соответствуют |
|
вы |
|||||||
бранные базисные функции действительной |
деформированной |
оси |
||||||||
или поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для пластин широко применяется решение такого типа |
|
|
||||||||
|
®(Х, |
у) = V ^ стпхт(х) Уп(у), |
|
|
(1 •103) |
|||||
|
|
т |
п |
|
|
|
|
|
|
|
где Хт (а ) и |
Yп (у) — тригонометрические |
или |
алгебраические |
|||||||
ряды. Значения этих функций для некоторых частных случаев |
|
опи* |
||||||||
рання балок или пластин приведены в табл. 1. |
|
|
|
|
|
|||||
Множители Лагранжа. Связь с методом |
конечных |
элементов. |
||||||||
При нахождении деформаций методом Рэлея — Ритца можно |
до |
|||||||||
стигнуть высокой точности. Но если определяют внутренние |
сило |
|||||||||
вые факторы, связанные уже со вторыми или третьими |
производ |
|||||||||
ными, точность уменьшается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Развитием метода Рэлея — Ритца является метод |
множителей |
|||||||||
Лагранжа. В общем он следует уже приведенной |
процедуре. |
|
Од |
|||||||
нако при этом предъявляется более простое требование, |
чтобы |
ряд |
||||||||
w (а ) или w (х} у) в |
целом |
удовлетворял |
граничным |
условиям, |
||||||
вместо предыдущего более жесткого требования, чтобы |
этим усло |
|||||||||
виям удовлетворял каждый член-ряда |
в отдельности. |
Применяя |
определенные множители в процессе минимизации, можно добиться того, чтобы ряд w (а , у) в целом удовлетворил граничным условиям, хотя отдельные функции (а , у) этому удовлетворять не будут.
Преимущество метода Рэлея—Ритца состоит в относительной простоте и в получении при этом хорошйх результатов. Пластины могут быть разных очертаний, толщины и т. п., но процедура ре шения всегда связана с вычислением определенных интегралов и решением систем уравнений. Трудность в методе Рэлея — Ритца, как, впрочем, и в других энергетических методах,— это выбрать подходящие аппроксимирующие функции, что уже было отмечено.
Метод Рэлея — Ритца имеет самую тесную связь с методом ко нечных элементов. Этот последний трактуется как своеобразный метод Ритца, где аппроксимирующие функции выбираются локально (в пределах элемента), а не по всей области определения (см. гл. 2).
№ * |
|
Граничные условия |
|
Координатные функции |
||||
1 |
d |
а_____ j |
* * |
£ * m = \ _ sin^ |
(т = |
1, 2, 3. ...) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
'* X |
(m = 1, |
3, 5, |
...) |
|
|
2 |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
И л « - т |
(т - |) ’ + 5 7 (- ' > " х |
|||||
|
|
|
||||||
|
Z |
|
|
|||||
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
X? ( X |
A |
V |
1 |
*;„тЛХ |
|
|
|
|
X a2 \ a ' / |
2-J тл |
a |
||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
3 |
|
|
Г Г |
|
а/2 |
* |
■а!2 I |
|
|
|
|
■1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
* Л |
|
-Z |
а_____ 4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
* i. |
|
* |
* > |
|
^ |
.[ |
|
|
|
Z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
|
6 |
к |
а |
1I |
х |
|
|
|
|
Z
X |
Xm = £ |
("2 “ |
4*2)2 |
m |
m |
|
|
|
(m = 0, 1, 2, 3 |
||
|
(m = |
1, 3, |
5) |
V x m= a \ fl m
1
— 7 , —
Z-J тя - m
/ \2a |
/ |
. /ия* |
|
s in----- |
|
a |
|
m m
— |
1 . |
тядс |
7 , — s i n----- |
||
|
Z-J тя |
я |
|
m |
|
v v |
' v |
{2m — 1) я* |
2 j X" « - 2 j Sin |
2a |
|
m |
m |
|
П р и м е ч а н и е . Выражения дляУп (у) аналогичны.
Пример 3. Квадратная (а X а) свободноопертая пластина постоянной тол
щины находится под воздействием крышеподобной нагрузки (рис. 14):
Р2 = |
2р0дс |
|
р2 = |
_ |
2р0х |
2р0-----при |
л . |
а |
. |
; |
при 0 < |
х < |
|
|
а |
|
|
|
т < х < а . |
|
|
|
В соответствии с |
формулой |
(1 .103) и п. 1 табл. 1 выбираем в качестве |
координатных функций |
двойной |
тригонометрический ряд: |
|
|
|
|
|
•-” *1" т * 1" ? |
|
|
|
|
|
т= 1 п= 1 |
Виртуальная |
работа внешней |
нагрузки |
|||
|
F |
IPz(x>y)w (x>y)\dF = |
|||
|
|
|
|
|
|
oo |
oo |
a/2 a |
|
|
|
m=l |
л=1 О 0 |
|
|
||
|
X |
s i l b ^ ^ |
|
= |
|
-mss |
8PQQ2 |
C |
sin mn |
||
|
=1n=l т*пл3 |
mn |
Рис. 15
Потенциальная энергия деформации в соответствии с (1.86)
- # Я 2 Е И |
2? 5+=£)sl"=г -»т Г Л - |
|||
0 0 m |
п |
|
|
|
|
DnAa2 |
|
|
|
|
~ ~ Г |
• Е Е |
^ + Й |
- |
Минимизируя полную |
потенциальную |
энергию, |
получим |
|
|
ап |
а г |
rt/ft |
|
^стп ^cvin
|
|
Dn4a2 |
|
£+$’ |
8р0а2 |
. rrm |
Л |
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
|
|
4" |
стп |
о - т sin |
-х- = |
0 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
32p0a4 sin (? ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
m', ~ m W D (m a + |
п2)г |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и выражение для прогибов |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
w (JC, у) = |
32р0а* ^ |
V |
/— 2 |
/ |
Sm ( |
т |
) |
|
тях. |
5! п и п у / т |
= |
1 |
3 |
5, |
\ |
||||
|
п Г |
|
/ |
I |
о|----5ТТ s i n----- |
Ь |
\п = |
1, |
3, |
5, |
|
; |
|||||||
4 |
Dn1 |
Ашяаш— т2п(т2+ п 2)2 |
|
а |
|
||||||||||||||
Максимальный |
|
прогиб |
прих = |
у = |
- у |
и |
удержании |
первых |
трех |
членов |
|||||||||
ряда (m = |
1;п = |
1; |
т |
= |
1; я |
= |
3; |
т |
= |
3 ; |
я = |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® П ,« “ 0 , 0 0 2 6 2 5 ^ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Полученное |
Ритцем |
более |
точное |
значение |
шт а х = |
0 ,0 0 2 6 3 |
|
. |
Эту |
незначи |
|||||||||
тельную ошибку |
можно |
уменьшить, |
удерживая |
2 — 3 |
добавочных |
члена ряда. |
|||||||||||||
Пример |
4. |
Прямоугольная |
пластина |
с соотношением |
сторон |
— = 1 ,5 |
(рис. 15) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
защемлена |
по |
контуру |
и |
находится под |
действием равномерно |
распределенной |
|||||||||||||
нагрузки рг = |
р0 = |
const. |
|
|
|
|
выражение дляw (х, у): |
|
|
|
|
||||||||
На основании п. 3 табл. |
1 запишем |
|
|
|
|
||||||||||||||
w(x, |
у) = |
|
|
|
|
|
1 — |
(— |
l ) m cos |
|
f 1 — (— 1)" |
cos |
|
||||||
|
|
|
|
(от |
= |
1, 3 , |
5, . . |
. п; = |
1, |
3 , |
5,. . . ) • |
|
|
|
|
|
|||
Этот ряд удовлетворяет граничным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
wx_ ±a = 0; (*») |
= 0; |
(ш)„_ . „ = 0; |
fЛд ) |
- |
0. |
|
|
|
|||||||||||
|
*~ ±а |
|
|
\дх)х-±а |
|
|
У~ ±Ь |
|
\ду!у=±Ь |
|
|
|
|
|
|||||
Удержим |
только |
1-й член ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
W(* , У) = |
Y |
( ! + |
cos |
|
^1 + |
cos |
|
|
|
|
|
|
|||
Т огда потенциальная |
энергия |
деформации |
примет значение |
|
|
|
|
|
—а —Ь
Виртуальная работа внешних сил
аb
W = — р0 [ J w (х, у) dxdy — — p0cu ab.
—а —Ь
\
16р0а4 ___________ 1
Если — =±= 1,5,. а 1=( 0 ,3 , то в центре пластины прогиб
Более точное значение
§3. Метод Бубнова — Галеркина
Вметоде Бубнова — Галеркина нашел свое дальнейшее обоб щение и упрощение принцип виртуальной работы. Метод прило жим кйк к линейным, так и к нелинейным задачам, к задачам ко лебаний и устойчивости и к другим задачам техники, строительной механика, теории упругости, математической физики, если только определено разрешающее уравнение.
Пусть, например, |
условия |
равновесия тела |
в |
перемещениях |
|||||
в общем случае пространственной задачи имеют вид |
|
|
|
||||||
М и , |
v, w) — p x = |
0; M ii, |
w) — Py = 0; |
M |
“, |
v, |
w) ~ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.104) |
где Lb |
L 2 |
и L3 — дифференциальные |
операторы |
над |
функцией |
||||
перемещений; |
рХУ руу |
р2— внешние нагрузки. |
|
|
|
би, bv |
|||
Сообщим |
перемещениям бесконечно |
малые |
вариации |
и бw. Хотя составляющие перемещений и, у, w и взаимосвязаны,
их произвольные вариации не взаимосвязаны. Операторы |
, L2 |
|
Lu можно рассматривать как внутренние силы, |
а потому |
вирту |
альную работу внешних рх, ру>р2 и внутренних |
сил можно |
запи |
сать непосредственно, без определения потенциальной энергии си стемы:
v V
В строгом смысле вариационное уравнение (1.105) справедливо только тогда, когда функции перемещений и, v, w — точные реше ния задачи. Однако, как и в методе Рэлея — Ритца, здесь точное решение заменяется приближенным — в форме
т |
п |
г |
|
и = 2 а,|; (*, у, г); |
о = 2 |
М ;( * . У. ZY> го = 2 |
У< г)< |
|
|
|
(1.1С6) |
где |
lt(x, |
у, |
г), |
r|f (х, у, г), £ ,(*, у, z) — функции, |
удовлетворяю |
||||||||||
щие как |
кинематическим, |
так |
и статическим граничным условиям; |
||||||||||||
ait |
bn с, — неизвестные |
параметры. |
При |
этом, |
вообще |
говоря, |
|||||||||
требуется, чтобы функции. (1 .1С6) |
имели производные, соответст |
||||||||||||||
вующие |
операторам, хотя |
и не требуется, чтобы удовлетворялись |
|||||||||||||
уравнения (1.104). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Проварьировав |
выражение (1.106), |
получим |
|
|
|
|||||||||
|
бы = |
£ |
{х, |
у, |
г) 6а,; |
бы |
= |
£ |
(Х>У> |
г)бш = |
|
||||
|
|
|
|
|
= |
£ |
£< (*, |
У, |
г) бс„ |
|
|
|
(1.107) |
||
после чего подставим выражения (1.107) в формулу (1.105): |
|
||||||||||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
бы, J U |
[/.,(«. |
v, |
w) — px)l~{x, |
у, |
z)dV = 0; |
|
||||||
|
|
1= 1 |
|
V |
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
о») —Ру] Л,- (х, У, |
Z) dV = 0; |
|
|||||
|
|
Y. ббЛ J J (L2(и, о, |
(1.108) |
||||||||||||
|
|
t= 1 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
бсЛ Ш ^ » ( “ ' |
|
“') — ЛП£(ж. |
|
2)dK = 0. |
|
|||||||
|
|
1=! |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения справедливы-для любых малых вариаций бы,-, бы,,
bWi. |
Поскольку |
бы, =5^0, |
бы.-^О |
и бдо, Ф 0 , то в силу |
зависил се |
|||
тей |
(1.107) |
бы, Ф 0 , ЬЬ{ Ф 0 , бс,=£0, |
а из формул (1.108) следует |
|||||
Ш 1 М « . v' |
W) — Px\li(x ^ У> |
z)dV = |
Q] J f J [ L 2(U , |
v, w )-r |
||||
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
— Pry\T\i(x, |
y, z) dV = 0; |
J J J [L3(u, |
v, |
w) — pz) £, (x, y, z) dV=0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.109) |
Выражения (1.10&) дают систему m + n + г уравнений с таким же количеством неизвестных коэффициентов aly Ь1Усг
Применительно к задачам изгиба пластин выбираем полный на бор независимых непрерывных функций с дополнительными огра ничениями: они должны, как уже упоминалось, удовлетворять ки нематическим и статическим граничным условиям. Пусть это будет ряд
W (X, у) = |
ctft (х, у)- |
(1.110) |
Каждый член этого ряда должен удовлетворять граничным усло виям, но не обязательно удовлетворять разрешающему дифферен циальному уравнению задачи
D y2y 2w = рг (.х, у). |
(1.111) |
Поскольку уравнение (1.111) есть уравнение равновесия внут ренних и внешних сил в направлении 2, общая работа всех этих сил на малых виртуальных перемещениях бодает
J£I D у V®—Рг (х, У)1 bwdxdy = 0. |
(1.112) |
Уравнение (1.112) представляет собой осндвное вариационнсе урав нение. изгиба пластин. Повторяя приведенное рассуждение, полу чим следующую систему уравнений:
j $ (Dy"y-w — pz) fi (x , у) dxdy = 0;
(1.113)
JJ(DyV“>— Pz) fn (x, У) dxdy = 0.
Из этих n алгебраических уравнений находят коэффициенты си
Со у . . . |
, Сп . |
Поскольку здесь виртуальная работа внутренних сил находится прямо из дифференциального уравнения без определения энергии деформации, метол Галер кина является более общим, чем метод Рит-
.ца. По методу Ритца задача ставится в форме условия стационарно сти функционала. В такой же форме (см. далее) можно применить и ме!юд конечных элементов. Однако если задачу нельзя поставить
вформе условия стационарности функционала, но для нее справед ливо соответствующее вариацион ное уравнение, как это имеет место
вметоде Галер кина, метод коней-1
ных элементов применяется в фор ме этого метода.
Точность метода Бубнова — Га лер кина существенно зависит от выбранных аппроксимирующих функций, что, впрочем, важно для всех энергетических методов. Как уже указывалось, граничные усло вия в методе Бубнова — Галеркина
более жесткие, чем в методе Рэлея — Ритца, так как должны удов-' легворяться не только кинематические, но и статические граничные условия. Однако решение можно получить и при удовлетворении только кинематическим условиям, хотя в общем случае решение сходится лучше, когда удовлетворяются все граничные условия.
Пример 5. Квадратная пластина защемлена по контуру и находятся под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностьюр0 (рис. 16).
В соответствии с п. 2 табл. 1 примем, что
|
2тлх |
1 — cos |
2плу\ |
W (* , у) |
— cos — - — |
Ь 1 |
|
т |
п |
|
|
(m = 1, 3 , 5, . . ; / ! = 1, 3, 5, . . .).
Этот тригонометрический ряд удовлетворяет геометрическим граничным усло.
ВИЯМ
« Я - t e k - 0i w s s -
Удержим только один член ряда(tn = n = 1). Тогда
w (*■^ = Сп т ( ! —cos-ir) (l ~'COST^).
Вариационное |
уравнение (1. |
113) |
примет |
вид |
|
|
|
|||||
|
*аI |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
J |
| 0 £ u V V |
/ i |
(*У). |
— Pol ft (х, |
у) dxdyt |
(1.114) |
||||
где |
1 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
(х, |
у) |
= |
{ |
( l |
- cos |
( l |
- cos 2 |
s ) . |
||
Продифференцировав, |
найдем |
|
|
|
|
|
||||||
v V |
/ i (* .у) |
= |
^ |
г |
|
|
|
|
|
|
|
2ядЛ 2я*Л
+ И - c o s — j cos
Подставив этот оператор в уравнение (1 .1 1 4 ), получим следующее уравнение:
{£[(■ — ■ ¥)“ |
* + « & « ! ? + |
||||||
О О |
|
|
|
|
|
|
|
+ (. — |
- |
» |
. |
} |
{ |
- |
« |
откуда сп = Ров4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 0 я 4 * |
|
|
|
|
|
|
|
Наибольший прогиб в |
центре |
при* = * / = |
— |
|
|||
|
|
|
PQQ1 |
= |
0 ,0 0 1 2 8PoQ4 |
||
|
|
|
8£>я4 |
|
|
D |
• |
«Точное» значение штах |
= |
|
РоО4 |
|
|
|
на 1,6% . |
0 ,0 0 1 2 6 i- | j - отличается |
Глава 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ {МКЭ)
§ 4. Основные положения МКЭ
Метод конечных элементов (МКЭ) является вариационным. Это означает, что основные.разрешающие уравнения могут быть получены непосредственно из вариационного принципа Лагранжа. Наиболее важные теоретические проблемы МКЭ, в первую очередь
проблема сходимости решений к точному, успешно решены или решаются с -ю-.-пщью вариационных принципов.
Исторически возникновение МКЭ связано с идеей положения хорошо разработанных процедур для расчета статически неопреде лимых стержневых систем к решению дву- и трехмерных задач теории упругости. Еще в 1933 г. известный ученый в области стро: ительной механики профессор И. М- Рабинович высказал мь!сль о возможности и эффективности использования методов строитель ной механики стержневых систем в теории упругости. Осуществле ние этой идеи неотделимо от развития высокоэффективной вычис лительной техники. Электронные вычислительные машины неизме римо'расширили возможности прямых методов теории упругости.
Качественно |
новые прило |
у |
|||
жения вариационных прин- |
|||||
ципов заняли |
ведущее ме |
|
|||
сто |
в прикладной |
теории |
|
||
упругости. Нельзя считать |
|
||||
случайным |
и |
возникнове |
|
||
ние МКЭ как приложения |
|
||||
преймущественно метода |
|
||||
перемещений, вытекающего |
|
||||
из |
вариационного принци |
о |
|||
па |
Лагранжа, |
к |
расчету |
континуальных систем. На первом этапе расчета
статически неопределимой стержневой системы образуют основную систему. Применительно к методу перемещений такая система по лучается в результате расчленения исходного объекта расчета на отдельные элементы, для которых известны соотношения между перемещениями защемленных концов и реакциями в дополнитель ных связях — так называемыми усилиями и моментами защемления. Совершенно очевидно, что эта операция имеет характер дискрети зации расчетной схемы стержневой системы, т. е. расчленения на отдельные элементы конечных размеров. Можно сказать, что метод перемещений рассматривает конечный элемент (КЭ) изгибаемого стержня с двумя узлами. Каждому из узлов придается одна степень свободы — угол поворота концевого сечения.
f Расчет по МКЭ также начинается с дискретизации расчетной схемы. Однако объекты теории упругости "(двуили трехмерные области) расчленяют уже на КЭ соответствующей статической при роды. Для двумерных областей наиболее часто применяют треуголь ные или прямоугольные КЭ, а для массивных тел — КЭ в форме тетраэдра или параллелепипеда.
Пусть область расчетной схемы двумерна, т. е. все ее характе ристики зависят от двух координат (рис. 17). Каждый КЭ этой об ласти сохраняет все физические и геометрические свойства исход ной среды. На границе области заданы граничные условия, т. е компоненты сил или перемещений.
Классический подход к задаче о напряженно-деформированном состоянии области Q предполагает анализ бесконечно малого эле мента этой области. Разрешающие уравнения.будут дифференциаль ными и в частных производных, если рассматривается двуили трех мерная область. Решение дифференциальных уравнений в замкну той форме возможно далеко не.всегда. В технике используются раз личные методы приближенного решения дифференциальных урав нений (см. гл. 1).
I Мет<4д МКЭ предусматривает иной подход: рассматривается эле мент конечных размеров, что означает переход от системы с беско нечным числом параметров напряженно-деформированного состоя ния к системе с конечным числом параметров. Основная система
для расчетной схемы двумерной области й представляет собой сово купность конечного числа элементов конечных размеров (рис. 17). КЭ соединены в общих точках — узлах. Узел расчетной схемы может быть общим для нескольких КЭ области й. Узлам расчет ной схемы придаются дополнительные связи, число которых опре деляется особенностями рассматриваемой задачи^ Например, для плоской задачи теории упругости можно ограничиться двумя свя зями, исключающими линейные перемещения в плоскости. По этому и отдельному КЭ области Й следует придать по две связи в кажтом узле (рис. 18, а). По аналогии со стержневыми системами вводятся понятия о реакциях в дополнительно наложенных Связях
(рис. 18, б), возникающих вследствие перемещений узлов |
(рис. |
18, в). Между узловыми реакциями и перемещениями узлов |
уста |
навливается соответствие, как показано на рис. 18, б, в для |
пло |
ской задачи теории упругости: |
|
^Выделенный КЭ г (рис. 17) имеет форму прямоугольника, |
вер |
шины которого совпадают с узлами i , /, k y/. В общем случае |
коли |
чество узлов может быть больше числа вершин прямоугольника, но всегда остается конечнымJ Узловые реакции в дополнительных свя зях и узловые перемещения определяются*компонентами в приня той системе координат (рис. 18, а). В каждом узле имеют место два компонента узлового перемещения — иу v (рис. 18, в). В упругой стадии деформирования между реакциями в дополнительных свя