книги / Метод конечных элементов
..pdfИзгибающие моменты и поперечные силы в узлах расчетной схемы опре деляют так же, как в примере 7. Так, для КЭ (/)
Г |
Ri |
|
12 |
6 |
12 |
6 |
|
|
|
13 |
I2 |
13 |
I2 |
||
|
|
|
|||||
|
Mi |
|
6 |
4 |
6 |
2 |
|
|
3EJ |
I2 |
1 |
I2 |
1 |
||
<*}(!) = < |
= |
||||||
12 |
6 |
12 |
6 |
||||
R% |
|
||||||
|
|
' I3 |
I2 |
I3 |
I2 |
||
|
|
|
|||||
|
м 2 |
|
6 |
2 |
6 |
4 |
|
|
|
I 2 |
Г |
I 2 |
1 |
||
|
|
|
О\ 11,94 кН Г
|
0,67 |
|
0 |
X |
EJ |
> = < |
— 11,94 кН |
|
0 |
I |
|
|
1,34 |
11,97 кН *м |
|
|
EJ |
j |
|
Эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил представ лены на рис. 34,д—ж.
Глава 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 11. Основные гипотезы. Функционал полной потенциальной энергии
Плоская задача теории упругости рассматривает два частных случая напряженно-деформированного состояния — плоскую дефор мацию и плоское напряженное состояние. В обоих случаях все па раметры напря>кенно-деформированного состояния зависят лишь от двух координат, т. е. рассматриваемая область двумерна. Посколь ку основные соотношения плоской деформации и плоского напря женного состояния отличаются лишь упругими константами, решение плоской задачи теории упругости методом конечных эле ментов рассмотрим на базе плоского напряженного состояния.
При расчете пластин, нагруженных в своей плоскости, МКЭ исходит из общепринятой гипотезы об отсутствии напряжений в плоскостях, нормальных к срединной плоскости пластины. Тогда функционал (1.30) полной потенциальной энергии для плоского напряженного состояния записывается в следующем виде [(1.35)]:
П = |
-g- j |
+ аигу + |
тхууху) dQ — j |
(рхи + pyv) dL, (4.1) |
||
|
Q |
|
|
L |
|
|
где or*, o y, |
тxy — нормальные |
и |
касательное |
напряжения; |
е*, гуу |
|
уху — относительные |
линейные и |
угловая деформации; и, |
v — ли |
нейные перемещения точек срединной плоскости пластины по направлению осей х и у соответственно; рХУ ру— компоненты век
тора внешней нагрузки по направлениям осей х и у соответственно; dQ, dL — бесконечно малый элемент двумерной области, контура.
Для плоской задачи теории упругости векторы перемещений и внешней нагрузки двумерны, а векторы напряжений и деформа ций содержат по 3 компонента:
|
е* |
|
= |
; (е) = еу |
(4.2) |
Уху
Для изотропного материала основные соотношения плоского напряженного состояния можно представить в матричном виде:
г |
1 |
Е |
\iE |
л |
Г |
|
|
Ох |
|
i - p a |
1 — |
и |
|
|
|
{<*} = < Оу |
>= |
1 — (X2 |
£ |
0 |
1 г у |
* |
(4.3) |
1 — fX2 |
|
||||||
Т Х у J1 _ |
0 |
0 |
2 (I + Р)_ |
I Уху |
, |
|
|
|
Г |
ч |
- д |
0 |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
< £у " = |
0 |
д ( и |
|
|
(4.4) |
|
|
ду |
|
|
||||
|
|
|
д |
д |
|
|
|
|
, |
Ухг |
- д у |
дх __ |
|
|
|
Соотношения (4.3) и (4.4) компактно записываются в матричных символах:
(о) = [Е] (е); (е) = [D] {7 ), |
(4.5) |
где [Е ] — матрица упругости; ID] — матрица дифференцирования. Теперь функционал полной потенциальной энергии пластины, на груженной в своей плоскости, можно представить в компактной
форме:
п = у I W T Н dQ-- j {р}тЫ dL. |
(4.6) |
ВL
Выражение (4.6) кладут в основу построения матриц жесткости КЭ двумерных тел в плоском напряженном состоянии.
§ 12. Прямоугольный КЭ
Простая геометрическая форма прямоугольного КЭ (рис. 35) представляет значительные выгоды при решении задачи о построе нии матрицы жесткости. В этом случае выражения для коэффи циентов функций, аппроксимирующих перемещения вдоль коор динатных осей, становятся намного удобней, а сами эти функции
легко представить в виде набора координатных функций простой структуры.
Как уже известно, для построения матрицы жесткости нужно задать аппроксимацию перемещений по области КЭ и увязать ее со степенями свободы. По виду функционала полной потенциальной энергии (4.1) и (4.6) можно заключить, что для его существования функции перемещений и (х, у) и и (х, у) должны содержать члены не ниже 1-го порядка. Линейный полином от двух переменных включает в себя 3 члена. Сопоставив форму КЭ, где естественно назначить 4 узла в вершинах прямоугольника, с необходимым чис
лом постоянных |
коэффициентов |
|
|
|
|||
аппроксимирующих |
функций, |
Ryi |
|
Ry2 |
|||
целесообразно |
построить |
эти |
Rxi |
2? |
RX2 |
||
функции как полиномы из че- |
/1 |
кч |
|||||
тырех членов: |
|
|
|
|
|
|
|
и (х.'у) = сц+ « 2х + |
а Зу + а 4ху; |
|
|
|
|||
v (х, у) = а 5 + |
авх + |
а 1у + |
а аху. |
Rxt Ч, |
3 |
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
|
||
Такая модель деформированного |
Ryif |
|
Ryi |
||||
a |
|
|
|||||
состояния по области КЭ экви |
|
|
|||||
валентна гипотезе |
о линейном |
У? |
|
|
|||
распределении |
перемещений |
Рис. 35 |
|
||||
вдоль координатных осей. |
|
|
|
|
|||
Число линейно независимых |
коэффициентов в 2 раза больше |
||||||
числа узлов КЭ. Следовательно, |
каждому узлу |
нужно придать 2 |
|||||
степени свободы. Эти степени свободы естественно |
представить как |
||||||
перемещения |
узлов вдоль координатных осей. Таким образом, КЭ |
||||||
будет иметь |
8 степеней свободы. Вектор узловых перемещений |
КЭ следует составить из восьми компонентов, которым приводятся в соответствие 8 узловых реакций в дополнительных связях по на правлениям степеней свободы (рис. 35):
r « |
i ' |
Ryi |
|
» i |
|
||
« 2 |
Rx2 |
|
|
V o |
Ry* r |
(4.8) |
|
< |
2 |
RX3 |
|
« 3 |
|
||
®ar |
Ry* |
|
|
u4 |
Я* |
|
|
l.°4 J |
. Ryt. |
|
Матрица жесткости КЭ будет содержать коэффициенты соотноше ния между вектором узловых реакций и вектором узловых переме щений:
{R} = Ik] М . |
(4.9) |
Следовательно, для построенного прямоугольного КЭ пластины
размер матрицы жесткости будет 8 |
x 8. |
|
Перемещения узлов без особых |
затруднений |
увязываются с ли |
нейно независимыми постоянными |
коэффициентами аппроксими |
|
рующих функций (4.7). Действительно, если |
в выражения (4.7) |
|
подставить координаты дсх, ух 1 -го узла [тогда и |
(х,у) = их],а затем |
выполнить то же Для 2-го узла и последующих, то в результате сфор мируется система четырех линейных алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов осt (i = 1, 2, 3, 4):
«1 |
1 |
*1 |
ух |
Ххух |
|
« 1 ’ |
«2 |
1 |
*2 |
Уз |
Х2у2 |
|
а2 |
и3 |
1 |
*3 |
Уз |
х3у3 |
|
а3 |
М4 |
_ 1 |
*4 |
УА |
*4УЛ. |
|
«4 |
или в компактной записи: |
|
|
|
|
|
|
|
Ы |
= |
[СН «}. |
- |
(4.10) |
Вид системы лилейных алгебраических уравнений относительно a? (i = 1, 2, 3, 4) говорит о том, что аппроксимация перемещений (4.7) содержит еще одно допущение: перемещение и (х,у) зависит лишь от горизонтальных перемещений узлов их, и2, и3, ы4, а пере мещение v (х, у) — лишь от vlt v2, v3, у4. Поэтому достаточно опре делить коэффициенты а с (t = 1, 2, 3, 4), а коэффициенты функции
v (х, у) принять такими же. |
|
|
Решая |
систему (4.10), определяют постоянные |
коэффициенты |
а { (i = 1, |
2, 3, 4): |
|
|
{а } == [С]-1 {<?}. |
(4.11) |
Операция (4.11) позволяет выразить аппроксимирующие функции (4.7) в виде, удобном для получения коэффициентов жесткости в соответствии с выражением (2 .22):
м (*> |
У) = |
£ |
<hff> |
|
|
|
'■31 |
|
(4.12) |
V (X, |
У) = |
£ |
q Ji, |
|
|
|
/= б |
|
|
где 7; (i =а 1,2, ... , 8) — степени свободы КЭ; ft (i = 1, 2, |
8) — |
координатные функции, которые являются переменными коэффи циентами при степенях свободы, полученными в результате под становки решения (4.11) в выражение (4.7). Каждая из таких функ ции описызаег распределение перемещений по области КЭ, когда соответствующее узловое перемещение равно единице, а все осталь-
ные перемещения — нулю. |
В |
развернутом виде функции (4.12) |
примут вид |
|
|
« ( * , У ) ^ Т ь ( а ~ |
У |
) и1 + ^ х ( Ь — у )и г + |
+ ГьхУ + |
7ь(а ^ х)Уи*> |
|
|
|
(4.13) |
° (х> У )~ zs(a — x)(b — y)vl + ± x ( b — y)v2 +
+ тьху + Гь ^ - ^ у^
Используя общие свойства координатных функций, подробно
описанные в гл. 3, а также простую |
геометрическую форму КЭ, |
||||||||
координатные |
функции |
можно |
по |
|
|
л |
|
||
строить |
непосредственно, минуя гро |
/ |
2 |
X |
|||||
моздкие |
алгебраические |
операции |
|||||||
(4.10) и (4.11). Построим для подбора |
с |
|
|
||||||
координатных |
функций |
нормализо |
|
1 |
|||||
ванную |
систему |
координат, “начало |
У |
3 |
|
|
|||
которой поместим в центре тяжести |
|
Ч |
|
|
|||||
прямоугольника (рис. 36). В нормали |
|
п |
|
|
|||||
зованной системе |
координат £Сг) сто |
а/2 |
|
|
|||||
роны прямоугольника совпадают с ко |
а/2 |
|
|
||||||
ординатными линиями + 1 , а коорди |
|
|
|
|
|||||
наты узлов по модулю равны единице. |
|
рис. 36 |
|
|
|||||
Это облегчает поиск и проверку функ |
|
|
|
|
|||||
ций. Нормализованные координаты I |
и q связаны |
со старой систе |
|||||||
мой координат ху |
соотношениями |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
* —*с |
т) = |
У — Ус |
|
(4.14) |
|
|
|
|
1 = |
а!2 ; |
Ы2 ’ |
|
|||
где х с , |
ус — координаты начала нормализованной системы коорди |
||||||||
нат. Введем новые переменные |
|
и rj0 = т1,т| (t = 1, 2, 3, |
4), |
||||||
рде |
r)i — координаты одного из четырех узлов |
прямоугольного |
КЭ. С помощью новых переменных £0 и г|0 координатные'функции для узловых перемещений в направлении оси х записываются ком пактно:
/< = | ( 1 + Ы ( 1 + П о ) (*=■ 1, 2, 3, 4). |
(4.15) |
Так, координатная функция f[t например, при степени свободы, соответствующей перемещению узла 1 в направлении оси х, после подстановки координат этого узла (— 1 , — 1 ) имеет вид
/1 = | ( 1 - Е ) ( 1 - Л ) . |
(4Л6) |
В старой системе координат после подстановки соотношений (4.14)' в выражение (4.16)
Ъ = ^ь(а — Х)(ь'— У)- |
(4.17) |
Нетрудно убедиться, что полученная координатная функция от вечает всем исходным предпосылкам: достаточно сопоставить функ ции (4.13) и (4.17). Функции вида (4.17), образованные как произ ведения линейных многочленов, будем называть полилинейными. Аналогично можно получить и остальные координатные функции. При этом следует помнить, что в силу исходных предпосылок ко ординатные функции при узловых перемещениях в направлении оси у повторяют форму тех же функций при узловых перемещениях в направлении оси х.
Построение аппроксимирующих перемещений в форме (4.12) Представляет собой наиболее ответственный этап вывода матрицы жесткости и решения всей задачи о напряженно-деформированном состоянии пластины из изотропного материала в плоском напря женном состоянии. Затем можно пол\чигь коэффициенты жестко сти — путем формального приложения ранее полученного выраже
ния (2 .22), которое для плоского напряженного состояния |
с уче |
|
том формулы (4.5) принимает вид |
|
|
а Ь |
|
|
kij = h П |
([£] Is)t)T{e)idxdy, |
(4.18) |
ОО |
|
|
где h — толщина пластины; |
{е}, (/ = 1 , 2 , ...^ 8) — вектор |
дефор |
маций (4.4) по области КЭ в случае, когда узловое перемещение под номером i равно единице, а все остальные степени свободы равны нулю; {г}/ (/ ==■ 1, 2, ..., 8) — вектор деформаций (4.4) по области
.КЭ в случае, когда узловое перемещение под номером / равно еди нице, а все остальные степени свободы равны нулю.
Выведем, например, один из элементов матрицы жесткости: реакцию, возникающую в узле 1 по направлению оси х от единич
ного перемещения узла 2 по тому |
-же |
направлению, |
т. е. элемент |
|||
k13 = kulil2. |
Нумерация степеням |
свободы |
дается в |
порядке |
их |
|
записи в столбце (4.8). Следовательно, |
при |
обращении к формуле |
||||
(4.18) i = l , |
/ = 3. Первым построим |
вектор деформаций |
= |
= (е}И1, который соответствует деформированному состоянию по области КЭ от единичного перемещения иъ когда все остальные уз ловые перемещения равны нулю. В этом случае вектор аппроксими
рующих функций |
образуется из |
выражения |
(4.13) при |
= 1 |
и и2 = ив = п4 = |
vx = v2 .= v3 = |
v4 = 0: |
|
|
« (* . y ) ~ j - b (a — x){b — y) = |
fl \ |
|
||
|
v (x ,y ) = 0. |
|
(4.19) |
Вектор деформаций {e}i формируется в соответствии с выражением (4.4):
1
е *
1е Ь в < |
> = |
Уху
4 1 |
1 |
|
|
|
|
|
- |
О |
|
|
|
- Т ь ^ - У ) |
|
8 |
|
|
у)| |
|
|
|
о |
Т |
и (*, |
- |
О |
V. (4.20) |
|
|
|
|||||
|
ду |
» ( * . |
y ) h |
|
|
|
д |
д |
|
|
|
||
|
|
|
~ ^ а ~ хУ |
|||
_ду дх _ |
|
|
|
В |
той же последовательности строится вектор деформаций (е) 3 = |
= |
(e)U2, который соответствует деформированному состоянию по |
области КЭ от единичного перемещения ы2, когда все остальные |
|
узловые перемещения равны нулю: |
я * * - * ) |
|
о |
(4.21) |
Подставляя векторы (4.20) и (4.21) в формулу (4.18), оконча тельно получим
Е |
1 |
Ь ab— |
У |
|
|
|Х) аЬ1 (а ~ х)Ть dx dy |
|
1 — |x2ab ( Ь - у ) |
2 |
(1 |
+ |
||||
ОО |
Eh l |
ab3 |
|
|
|
|
|
|
1 — p |
a ’ fr \ |
|
||||
|
1 — p2 \3a43 |
2“ |
ЪаЧг] ’ |
|
|||
или после введения обозначения т = — : |
|
|
|
||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
и |
_ |
Eh |
(jn |
|
1 — р\ |
(4.22) |
|
1 3 ------ \ 3 |
T2in ) ■ |
|
|
||||
|
|
|
__Чтобы получить'_остальные элементы матрицы жесткости пря моугольного КЭ пластины в плоском напряженном состоянии (табл. 6), нужно поочередно придавать единичные значения всем узловым перемещениям в порядке., индексов, которые будут иметь элементы матрицы (11, 12, 13, 14, ...). При этом следует учесть сим метричную структуру матрицы жесткости. Если заполнять верхний
треугольник матрицы, |
2-й индекс не должен быть меньше 1-го, |
т. е. i ^ / . |
|
^Физический ]смысл |
коэффициентов жесткости усматривается |
из процедуры вывода: каждая строка матрицы жесткости (табл. 6) представляет собой вектор реакций в узлах КЭ от единичного узло вого перемещения, номер которого совпадает с номером строки. Аналогично можно интерпретировать и физический смысл столбцов.
На основании соотношений (4.5) по найденным узловым пере мещениям системы определяют напряжения по области КЭ. Век тор напряжений, включающий в себя 3 компонента ох, аи, ххуу
|
|
|
Ut |
|
|
*>1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
m |
, |
! — |
ц |
i |
+ ц |
Rxi |
' |
6m |
|
|||
|
3 |
|
|
8 |
||
2 |
Ryi |
|
|
|
1 I |
1 — Pm |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 m + |
6 |
3RX2
4Ry2
5 |
Кхз |
С и м м етр и чн о |
6 |
Вуз |
- |
7Rxi
8Ry*
П р и м е р а н-н е . Общий*- м н о ж и тел ь — — i
Таблица б
|
“ a |
|
Vi |
|
|
“ 3 |
«3 |
|
/ |
“ 4 |
|
|
^4 |
|
||
|
3 |
1 |
4 |
|
|
5 |
6 |
|
|
/ |
^ |
|
, |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
1— ц |
- l + 3± |
tn |
1— p |
1 + p. |
m |
|
1 — p |
|
1 |
3 p |
|||||
3 |
1 12m |
8 |
' |
8 |
6 |
12m |
|
8 |
|
6 |
|
6m |
|
8 |
8 |
|
1 |
3 p |
J __ L z i f m |
|
i + n |
1 |
1— p |
|
1 |
З ц |
|
1 |
|
|
|||
8 |
8 |
6m |
6 |
|
|
8 |
6m |
|
12 |
|
8 ^ 8 |
|
3 m + 12 |
|||
m |
1 — (i |
1 + p . |
m |
|
1 — p |
1 |
|
З ц |
|
m |
1— p |
|
1 + Ц |
|||
3 ^ |
6m |
|
8 |
6 |
|
6m |
8 |
"r |
8 |
|
6 |
12m |
|
|
8 |
|
|
|
1 4 - 1 - f *m |
1 |
3 p |
1 1 . I ” P* |
|
i + p |
|
1 |
1 - p |
||||||
|
|
|
|
|
|
* rn |
||||||||||
|
|
3 m + |
6 |
|
8 ~ T |
3m + 12 |
|
8 |
|
6m 12 |
||||||
|
|
|
|
jn , 1 - f i |
•1 + H |
|
m |
1— ц |
|
1 |
|
З ц |
||||
|
|
|
|
3 |
|
6m |
8 |
|
|
|
3 ^ |
12m |
“ |
T |
+ |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 p |
1 |
|
1 — |
p _ |
|
|
|
|
|
|
|
3 m + 1 “ m |
|
8 |
8 |
6m T ~ m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
1 — ц |
|
1 + P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
6m |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
1 - Ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m + |
6 |
m |
.
1 -р 2
выражается через вектор аппроксимирующих функций следующим образом:
{о} = 1Е] {е} -= [£] [D] (и (л:, у)}, |
(4.23) |
где [С] — матрица упругости; [D1 — матрица дифференцирования; [и (х, у)} — вектор аппроксимирующих функций, состоящий из двух компонентов — и (х, у) и v (х, у). Аппроксимирующие функ ции (4.13) записываются в матричной форме:
| « ( х , у ) \
(м (*, У) I
~(а—х)(Ь—у) |
0 |
х(Ь—у) 0 ху 0 (а—х)у О |
2 .
~аЬ
( а—х)(Ь—у) 0 х(Ь—у) 0 ху 0 (а—х)у_
(4.24)
После подстановки выражений (4.3), (4.4) и (4.24) в формулу (4.23) окончательно получим
'Ох ’ |
|
|
'(у — ь) |
|
|
|
\>(У — Ь) |
||
ГТ |
_ |
Е |
|
|
иу |
f l — ц,*) аЪ |
1 — Р {х—а) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
~ \1 Х |
|
У |
\1Х |
|
—X |
|
14/ |
X |
|
|
|
!~ Ь ) |
1 — р |
* т » « |
|
|
|
2 |
' «1
Vi
ц(х — а) |
— (у — ъ) |
( х - а ) |
— р(у — Ь) |
1 - Р (У - Ь ) |
|
—У |
— ц (х — а) |
— 14/ |
~ ( х —а) X |
|
а ) 1 - 1* » |
«а |
|
|
X < V2 |
> » |
(4.25) |
М3 |
|
|
Щ |
|
|
М4
Vi)
где х и у координаты точек в области КЭ.
Как видно из соотношений (4.25), напряжения по области КЭ являются линейными функциями координат. В центре тяжести КЭ
( |
х = |
а |
ь\ |
I |
у ; |
у=^'2 ) вектор напряжении имеет следующий вид: |
§ 1 3 . Треугольный КЭ
Как ранее было отмечено, для существования функционала полной потенциальной энергии аппроксимирующие функции пере мещений,должны содержать члены не ниже 1-го порядка. Линейный полином от двух переменных содержит 3 члена. Это число хорошо согласуется с числом вершин тре
угольного КЭ (рис. 37).
Примем линейный закон распре деления перемещений вдоль коор динатных осей Ху. у и зададим аппррксимирующие функции переме щений в виде линейных полиномов:
и (Ху у) |
= |
GCi |
+ |
а 2х + а 3у\ (4.27) |
|
v (Ху у) |
= |
а 4 |
+ а ьх +. а в*/- |
||
Аппроксимирующие |
функции |
||||
содержат |
6 |
независимых |
коэффи |
||
циентов. |
Поэтому в каждом узле |
треугольного КЭ следует иметь по 2 степени свободы. Эти степени свободы получают четкий физический смысл: линейные перемеще
ния узлов |
по направлениям |
осей х и |
у . Таким образом, КЭ имеет |
||
6 степеней |
свободы. Вектор |
узловых |
перемещений следует соста |
||
вить из шести компонентов, |
которым |
приводятся |
в соответствие |
||
6 узловых реакций в дополнительных |
связях по |
направлениям |
|||
степеней свободы (рис. 37): |
|
|
|
|