книги / Метод конечных элементов

дифференциальные операторы деформаций и напряжений, найти функцию деформаций и напряжений по области системы, а затем, подставляя в нее координаты определенной точки, найти значения напряжений и деформаций в этой точке.

В дальнейшем решения всех задач будут реализованы по опи­ санной схеме.

Глава 3. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

§ 6. Основные гипотезы. Функционал полной потенциальной энергии

При расчете стержневых систем рассматриваются одномерные области из изотропного материала, все характеристики которых — геометрические (толщина), физические (модуль упругости, коэффи­ циент Пуассона) и компоненты напряженно-деформированного со­ стояния (напряжения, деформации) — функции одного аргумента. Это означает, что за исходную предпосылку расчета принята гипо­ теза плоских сечений. Ограничимся рассмотрением напряженнодеформированного состояния стержня в линейной постановке, т. е. будем считать, что напряже­ ния и деформации связаны ли­ нейной зависимостью Гука.

Отнесем стержень к обще­ принятой системе координат хуг (рис. 21), где ось л: — это ось стержня, а оси у и г — главные оси инерции попереч­ ного сечения. Под действием произвольной системы нагру­ зок стержень деформируется, в поперечных сечениях воз­ никают внутренние силы Мх,

Му, 'Мг, Qy, Qz, N. Дефор-

мированное состояние стержня характеризуется линейными (u, v, w) и угловыми (а, ууу у2) перемещениями по области стержня отно­

тельно осей х, у, z соответственно.

При решении практических задач расчета стержневых систем учитывают большей частью не все возможные линейные и угловые перемещения, а лишь некоторые из них в определенных сочетаниях. Так, для решения задачи о растяжении достаточно учесть только линейное перемещение а , для решения задачи о чистом изгибе стержня достаточно учесть линейное перемещение w. Поэтому, рас­ сматривая конкретные задачи расчета стержней, функционал пол­ ной потенциальной энергии (3.1) записывают сокращенно — в за­ висимости от вида напряженного состояния.

§ 7. Конечный элемент растянутого (сжатого) стержня

Для этой задачи характерно то, что силы направлены вдоль прямолинейной оси стержня (рис. 22), а напряжения и деформации распределены по площади сечения равномерно. Функционал полной потенциальной энергии (3.1)

ахйШГШ] стержня тогда выглядит так:

перемещений полиномом 1-й степени (это минимальная степень, обеспечивающая существование первых производных, входящих в функционал):

Для вычисления коэффициентов матрицы жесткости удобно запи­ сать степени свободы и их производные в виде табл. 2. Тогда

/

о

Таким. образом, матрица жесткости КЭ растянутого (сжатого)

Коэффициенты матрицы жесткости (3.9) можно получить из простых физических соображений. Действительно, узловые пере­ мещения полностью определяют перемещения и напряжения по области КЭ. Это исходная предпосылка МКЭ, которая для стерж­ невых систем выполняется точно. Вполне очевидно, что осевое перемещение узла 1 КЭ (рис. 23) может вызвать появление напря­ жений в КЭ только в том случае, если в узле 2 исключены осевые перемещения, т. е. наложена связь, соответствующая приданной степени свободы. То же имеет место, если рассматривать перемеще­ ние узла 2 по отношению к узлу 1. Сосредоточенная .сила Rlt при­ ложенная к узлу /, при наличии связи по направлению перемеще­ ния и2 приводит к перемещению иъ которое линейно зависит от

В дополнительной связи узла 2 вследствие наличия перемещения «х возникает реактивная сила R 2, которая определяется из усло­ вия равновесия:

Если полученное узлом 1 перемещение имеет величину, равную единице, то выражения для узловых сил (3.11) и (3.12) преобразу­ ются в коэффициенты жесткости КЭ. Так же легко найти узловые силы в том случае, когда перемещение иг = 1 , а перемещение

иг = 0.

Элементы матрицы жесткости КЭ для стержня переменного по­ перечного сечения можно вычислить также из условия вариации

= ЕМ ( ‘ - Ш ) (т)Л - £М т - й ) •

Таким образом,

Поскольку в физическом смысле линейные алгебраические урав­ нения МКЭ являются уравнениями равновесия сил, приложенных

кузлам расчетной схемы, возникает необходимость в приведений [по формуле (2.24)] распределенных нагрузок к узловым.

Рассмотрим несколько примеров приведения местной нагрузки

кузловой. Для равномерно распределенной нагрузки р (х) — р

столбце канонических уравнений непосредственно указать соот­ ветствующую нагрузку Pi, Это правило справедливо всегда, вне зависимости от формы КЭ и вида координатных функций.

§ 8. Конечный элемент изгибаемого стержня

Рассматривается задача о плоском изгибе призматического стержня (рис. 26). Область системы в данном случае одномерная: £2= /(рис. 26-, а). На основании гипотезы плоских сечений исполь­

зуются интегральные характеристики напряжений Му = E J ^

и деформаций ну — ^ Функционал полной потенциальной энер-

Рис. 26

гии (3.1) при отсутствии распределенных моментов для данной задачи записывается в следующем виде:

Вид функционала (3.14) обусловливает выбор аппроксимации перемещений. Поскольку функционал включает в себя производ­ ные 2-го порядка, то для его существования функция перемещений должна содержать члены не ниже 2-го порядка. При полиномиаль­ ном задании аппроксимирующей функции полином 2-го порядка включает в себя 3 члена. При использовании КЭ с двумя узлами желательно, чтобы число постоянных коэффициентов аппроксими­ рующего полинома было кратным двум.. В связи с этим используем полином 3-го порядка с четырьмя членами:

Аппроксимация выражением типа (3.15) тем более оправдана, что перемещения точек изгибаемого стержня описываются функ­ циями 3-го порядка (балочные функции). Из этих соображений КЭ изгибаемого стержня имеет 2 узла, каждому из которых приданы 2 степени свободы (рис. 26, б). Степени свободы в данном случае

ной системы координат следует поместить в точку хс = (рис. 27).

Нормализованная координата | связана со старой системой коор' динат хОу соотношениями

Тогда координаты узловых точек соответственно равны — 1 и +\. Запишем для КЭ (рис. 27) координатные функции в обобщенном

ординатных функций / 2 и /4 выполняются относительно их произ­ водных, так как между степенями свободы существует дифферен­

циальная зависимость q; (JC) = — Как уже отмечалось, ко­

ординатные функции описывают распределение перемещений по об­ ласти изгибаемого стержня, когда одно из перемещений равно еди­ нице, а остальные — нулю. Поскольку степени свободы изгибае­ мого стержня имеют четкий физический смысл, такие* функции можно построить с использованием представлений, о деформирова­ нии стержня, заимствованных из строительной механики стержне­ вых систем (рис. 28).

Коэффициенты матрицы жесткости выводятся в соответствии с выражением (2 .22). Покажем вычислительное операции для по­

Переходя к системе координат хОг с помощью соотношений (3.17), можно получить

Аналогично выводятся и остальные коэффициенты матрицы жест­ кости, размер которой в соответствии с принятым числом степе­ ней свободы 4 x 4 . Матрица жесткости устанавливает соотношения между узловыми, перемещениями КЭ и реакциями в дополнитель­ ных связях, соответствующих принятым степеням свободы: