книги / Метод конечных элементов

E J, GJKp— изгибная и крутильная жесткости балки; П ,— потен­ циальная энергия упругого основания в пределах балки:

аЬ/ 2

П 2 = ^ 0 ^ - | / 2 ^ 1“ '2 + С 2 ^ + ( - Ш ^

В качестве аппроксимирую­ щего полинома для Ilj и Па принимаем выражение

W,

На основе выражений для П3, Па и выражения (9.12) получены

матрицы жесткости КЭ балки (табл. 23) и упругого основания (табл. 24).

Аппроксимирующие полиномы для П 3 и П4 можно принять в виде выражений (Э.4). При этом степени свободы

+w't — wi + T а г<

w'l = Wl~ j a x; wl = Щ — 4 a 2-

Матрицы жесткости, соответствующие П 3 и П4 при использовании выражения (9.4), приведены в табл. 25 и 26.

Аппроксимирующие полиномы для П„ и П4 могут быть приняты и в виде

+40

Глава 10. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ

§ 34. Основные вопросы реализации МКЭ на современных ЭВМ

Дискретная расчетная схема МКЭ обусловливает описание на­ пряженно-деформированного состояния, исследуемого объекта си­ стемой алгебраических уравнений, порядок которой может быть весьма высоким. Это во многом объясняет ориентацию МКЭ на сов­ ременную вычислительную технику.

Глубокую аналогию/между МКЭ и классическими методами строительной механики стержневых систем используют при разра­ ботке программ,! реализующих этот метод. С одной стороны, имеется возможность обобщить опыт создания математического обеспече­ ния для расчета стержневых систем, которое в настоящее время располагает значительно большими возможностями |(в отношении размеров и свойств рассчитываемых конструкций, удобства решения задач и т. п.), чем математическое обеспечение для исследования объектов теории упругости. С другой стороны, облегчается обос­ нование одинаковой трактовки методов расчета как стержневых (одномерных), так и двумерных и трехмерных систем. В связи с этим появляется возможность реализовать в программе такой ал­ горитм, который по однотипной методике выполняет расчет стерж­ невых систем, балок-стенок, изгибаемых пластин, оболочек, массив­ ных тел, а также композитных систем, состоящих из элементов раз­ личной мерности — пластин и оболочек, подкрепленных ребрами или структурами, рамно-связевых систем и т. п.

Схема решения задач механики по МКЭ обсуждалась в гл. 2. Предусматривалась такая последовательность проведения расчета:

~ 1) назначение расчетных узлов, в которых определяется значе­ ние разрешающей функции, и расчленение исследуемой системы на КЭ;

2)построение матриц жесткости;

3)составление системы канонических уравнений, отражающих кинематическую совместимость расчетной системы;

4)решение системы уравнений и вычисление значений разре­ шающей функции в расчетных узлах;

5)определение компонентов напряженно-деформированного со­ стояния исследуемой системы по найденным значениям разреша­ ющей функции.

Традиционные методы расчета стержневых систем имеют такую же последовательность. Многие аспекты подробно исследованы при разработке математического обеспечения для стержневых си­ стем. Однако приложение этой схемы к расчету двумерных и трех­ мерных объектов с использованием современных ЭВМ, способных выполнить не только арифметические действия, но и сложные логи­ ческие операции, требует решения многих специальных вопросов. Одним из них является.назначение расчетных узлов. Для стержне­

вых систем эта процедура никаких затруднений не вызывает. За расчетные узлы, как правило, принимаются точки пересечения стержней, а за КЭ — сами стержни или простейшие образования из них (крестообразные, рамообразные и т. п.).

Для двумерных и трехмерных объектов назначение расчетных' узлов подобно нанесению расчетной сетки в методе конечных разно­ стей. Здесь исследователю приходится искать приемлемый компро­ мисс между нужной точностью расчета и возможностями решения систем линейных уравнений высоких порядков. Часто положение осложняется высоким градиентом разрешающей функции, что вы­ зывает необходимость сгущать расчетную сетку. По-видимому, автоматизировать этот процесс будет весьма затруднительно, хотя для простейших случаев примеры автоматического построения рас­ четной сетки уже имеются.

Если задать предполагаемые линии одинаковых значений раз­ решающей функции, возможно удастся возложить на ЭВМ нанесе­ ние расчетной сетки с равномерным сгущением от одной изолинии к другой, тем более, что в МКЭ сгущение сетки происходит доволь­ но естественно. В дальнейшем на основании автоматически выпол­ ненных предварительных расчетов ЭВМ можно будет поручить и само построение изолиний.

(Поскольку построение расчетной сетки включает в себя эле­ мент творчества,/но в то же время и регламентируется множеством условий (время счета, наличие элементов определенных форм и т. д.), здесь целесообразно применить диалоговый режим, который могут обеспечить современные ЭВМ. По-видимому, в создаваемых в на­ стоящее время вычислительных комплексах этот этап будет вы­ глядеть так: по общим данным о рассчитываемом объекте на эк­ ране выдается предварительный вид расчетной сетки, который тот­ час же корректируется инженером; в процессе коррекции инженер обращается к ЭВМ; после окончательного ^установления-расчет­ ной схемы ЭВМ непосредственно с экрана формирует исходные данные, необходимые для счета.

Основными же вопросами реализации МКЭ на ЭВМ остаются построеш1е'матриц жесткости, составление й решение систем канони­ ческих уравнении, определение компонентов напряженно-дефор­ мированного состояния системы ЛЭти вопросы и рассмотрены в даль­ нейшем.

§ 35. Алгоритм построения матриц жесткости

Алгоритмизацию построения матриц жесткости выполняют не­ сколькими способами. Наиболее очевиден аналитический вывод жесткостных характеристик с последующим программированием формул. Однако при большом количестве степеней свободы (на­ пример, для трехмерного параллелепипеда количество характе­ ристик с учетом симметрии равно 276) этот процесс может оказаться чрезмерно трудоемким.

Разработаны алгоритмы, основанные на расчленении матрицы жесткости на несколько групп по видам перемещений. Так, для трехмерного параллелепипеда выделяют группу жесткостных ха­ рактеристик (реактивных усилий) по направлению оси х от единич­ ных перемещений по направлению этой жеюси (Ruu), затем — груп­ пы Ruw, Rvw и т. д. Для каждой группы вводят стандартную матрицу, снабженную множителем, который зависит от физических

физических соотношений трехмерной теории упругости определим функции напряжений по области КЭ (табл. 31).

Идея алгоритма основана на ограниченном количестве типов по­ линомов. приведенных в табл. 29. Типы полиномов сведены в табл. 32. Строки (столбцы) матрицы жесткости, как и строки определяю­ щей матрицы деформаций (табл. 30), зависят от различных сочета­ ний полиномов (табл. 33). Поэтому можно записать

и сразу же получить значения подынтегрального выражения для различных сочетаний типов полиномов (табл. 34). Обозначим табл. 34 символом ТА. Таблицы ТВ и ГС будут отличаться от нее заменой о на Ь и Ь на с соответственно.