книги / Метод конечных элементов

Та же сумма определяет и число компонентой вектора переме­ щений КЭ:

ut Vi

После построения матриц коэффициентов жесткости типа (2.4) для всех КЭ области й (рис. 17) остается применить стандартную про­ цедуру метода перемещений стержневых систем. Иными словами, дальнейший расчет производится по универсальной методике неза­ висимо от форм или свойств привлеченных КЭ.

Вполне очевидно, что определение коэффициентов жесткости КЭ, т. е. вывод матрицы жесткости,— специфическая операция МКЭ, и в конечном счете степень точности выражений типа (2.1) определяет и степень точности решения задачи в целом. Точные коэффициенты жесткости одномерных КЭ приводят к точным ре­ шениям задач о напряженно-деформированном состоянии стержне­ вых систем. Между тем для КЭ большей мерности определение коэффициентов жесткости становится плоской или трехмерной за­ дачей теории упругости. Решения в этом случае могут быть лишь приближенными, поэтому и задачи в целом решаются приближен­ но. В дальнейшем изложении приводятся способы получения мат­

неразрывности перемещений выполняются автоматически, так как перемещения узлов расчетной схемы являются общими для несколь­ ких КЭ, примыкающих к одному узлу. Реакции в дополнительных связях узлов и внешние узловые силы должны удовлетворять уравнениям равновесия.

Пусть s — типовой узел расчетной схемы области Q (рис. 17), об­ щий для т конечных элементов. Перемещение любого узла одного из т КЭ приведет к возникновению реакций в дополнительно нало­ женных связях узла s. Таким образом, вектор узловых сил узла s однозначно определяется перемещениями узлов «звезды» КЭ с по­ мощью соотношений типа (2.1). Из условий равновесия узла s сле­

где [RsYr — вектор-столбец реакций узла s КЭ г, возникающих еследствие перемещений его узлов; компоненты вектора-столбца за-

даны в общей для всей области Q системе координат (глобальной); (— 1 PS}) — вектор-столбец реакций узла s, возникающих вслед­ ствие действия внешних сил; по абсолютной величине он равен вектору внешних сил, приложенных к узлу s.

Пусть [L]r — матрица преобразования координат КЗ. Тогда векторы узловых перемещений и узловых сил КЗ при переходе от общей системы координат к системе координат КЭ определяются из известных соотношений

В местной системе координат вектор узловых реакций узла s, возникающих от узловых перемещений одного КЭ, определяется суммированием узловых реакций от перемещений узлов КЭ:

i= t

где t — число узлов КЭ г; lksC]r — блок матрицы жесткости КЭ г; первый индекс блока определяется порядковым номером узла s, а второй — порядковым номером вектора узловых перемещений, влияние которого учитывается; [q'} — вектор перемещений такого узла.

Из подстановки выражений (2 .8) и (2.10) в выражение (2.9) сле­ дует:

С учетом выражения (2.11) уравнения (2.7) равновесия узловых сил узла s в блочной форме записываются следующим образом:

Линейные алгебраические уравнения типа (2.12) составляются по той же методике для всех узлов расчетной схемы области Q и образуют систему совместных линейных уравнений относительно узловых перемещений:

где \k] — матрица коэффициентов системы, которая по физическому смыслу является матрицей жесткости всей области Q; [q] — вектор­

столбец узловых перемещений расчетной схемы; {Р} — векторстолбец узловых сил, эквивалентных внешней нагрузке. Из мат­ рицы коэффициентов (2.13) исключаются те строки и столбцы, но­ мера которых соответствуют узловым связям, исключающим дви­ жения области й как твердого тела. Эта операция аналогична на­ ложению связей и является заданием граничных условий. Если си­ стема не обладает необходимыми связями, матрица системы линей­ ных уравнений (2.13) будет вырожденной.

После определения из системы (2.13) вектора узловых перемеще­ ний области несложно найти и напряжения в отдельных КЗ.

Как уже было показано (см. гл. 1), когда параметры напряжен­ но-деформированного состояния системы удовлетворяют вариацион­ ному уравнению Лагранжа (1.29), одновременно удовлетворяются уравнения равновесия и граничные условия. Система линейных алгебраических уравнений МКЭ (2.-13) также содержит уравнения равновесия с учетом граничных условий, которые заданы в пере­ мещениях узлов расчетной схемы. Поэтому можно рассмотреть возможность получения системы уравнений МКЭ (2.13) непосредст­ венно из условия минимума функционала полной потенциаль­

и — функция перемещений по области Q; в общем случае это век­ тор функции. При плоском напряженном состоянии каждая точка системы может иметь два перемещения — и вдоль оси л* и v вдо^ь оси у, т. е.

__ И * , у)1

U~ \ v(x, у)\’

р — функция нагрузки по области й . Как и а, в общем случае это также вектор. Так, для плоского напряженного состояния

_ \Рх{х, У)) Р ~ \Р„ (х, у) \ '

В связи с этим и разрешающие уравнения (2.17) можно предста­ вить в виде суммы:

пп п

Поскольку аппроксимирующие функции МК.Э локальны, то Wr за­ висит только от степеней свободы. Последние являются коэффи­ циентами координатных функций, которые отличны от нуля на об­ ласти КЭ. Эти степени свободы образуют вектор

f <7i ’

Яг

I Яп)

Таким образом, для построения уравнений типа (2.17) для каж­ дого КЭ необходимо выполнить операции

Если степени свободы имеют физический смысл перемещений, то (kcf)r — элемент матрицы жесткости — это усилие, возникающее по направлению i-й степени свободы от /-го единичного перемещения

где о j — напряжения по области КЭ от перемещения q j= 1; — деформации по области КЭ от перемещения qt = 1.

Действительно, пусть для КЭ г (рис. 20) необходимо определить усилие Rij по направлению степени свободы qt от единичного пере­ мещения <7/. При единичном перемещении qj по области Qr конеч­ ного элемента возникнут напряжения а/, которые можно опреде­ лить с помощью функций перемещений (2.15). Все остальные сте­ пени свободы в данном случае равны нулю, а это равносильно нало­ жению связей по их направлениям. Следовательно, возникнут

6) определение компонентов напряженно-деформированного состояния (перемещений, напряжений) по области КЭ, т. е. в про­ извольных заранее заданных местах.

Построение функционала полной потенциальной энергии си­ стемы-основа для дальнейшего использования всех вариационных методов, в том числе и МКЭ. Чтобы построить функционал, нужно

удается при помощи гипотез (например, гипотезы прямых нормалей для тонких плит, гипотезы плоских сечений для стержней) упро­ стить задачу. При этом упрощается и выражение для работы внут­ ренних сил. Это происходит либо за счет пренебрежения некоторы­ ми членами (так, для плоского напряженного состояния считается, что а2 = 0, поэтому часть членов по сравнению с трехмерным на­ пряженным состоянием выпадает), либо за счет введения вместо напряжений и деформаций их интегральных характеристик (на­

в вариационно-разностном. Здесь нужно стараться, чтобы форма КЭ была по возможности простой. Кроме того, необходимо удовлет­ ворить двум противоречивым требованиям: точности расчета, кото­ рая требует большого количества расчетных узлов (большей гус­ тоты расчетной сетки), и практического решения задачи, которое накладывает ограничение на количество решаемых уравнений типа (2.18), а следовательно, и на количество расчетных узлов.

Форма КЭ и вид функционала значительно влияют на выбор координатных функций. Так, эти функции должны обеспечивать существование всех производных, входящих в функционал как по области КЭ, так и по его границам. Как правило, это тригономет­ рические, экспоненциальные или полиномиальные функции. Наи­ более распространено представление координатных функций в ви­ де полиномов. Если степени свободы в физическом смысле представ­ ляют собой перемещения узлов КЭ, то координатные функции можно трактовать как аппроксимацию перемещений по области КЭ от единичных перемещений узлов. В этом случае форма представ­ ления перемещений по области КЭ г имеет.вид

(2.25)

г=1

Здесь f t -г- аппроксимирующий полином, т. е. распределение пере­ мещений, соответствующее qt -й степени свободы. Такое представ­

ление перемещений очень удобно для построения матрицы жестко­ сти, определения напряжений и деформаций по области КЭ и т. Д* Однако при сложной форме КЭ или в случаях, когда вид функцио­ нала предъявляет к координатным функциям особые требований» аппроксимацию перемещений производят полиномом, коэффициен­ ты которого связаны со степенями свободы не явно, т. е. в форме

т

полинома.

В общем случае п Ф т. Но для построения матрицы жесткости желательно иметь аппроксимацию в форме (2.15), а при этом нужно, чтобы п = т. Переход от формы (2.26) к форме (2.25) осуществляют

и сгруппировав члены при qt1 получим форму (2.25). Матрица [с] строится, как правило, из соображений, что в узлах КЭ перемеще­ ния (или их производные) приобретают значения соответствующих степеней свободы. В связи с этим, подставляя в выражение (2.26) (или в соответствующие производные от этого выражения) координаты определенного узла, приравниваем полученное выражение

ксоответствуюцей степени свободы. В результате такой операции получаем т уравнений, связывающих ar с qr. Коэффициенты этих уравнений соответствуют матрице [с].

Построение матрицы жесткости и приведение местной нагрузки

кузловой осуществляют на основе выражений (2.21). При этом перемещения аппроксимируют в форме (2.25); для определения

Решение канонических уравнений выполняют известными мето­ дами решения линейных алгебраических уравнений высоких по­ рядков (количество степеней свободы может достигать нескольких десяткоз тысяч). Обычно используют методы Гаудса, квадратного корня (Халецкого), Зейделя и другие прямые или итерационные методы. В результате определяют значения степеней свободы. Это основной этап решения задачи, так как , найдя q( и зная fi% которые были назначены заранее, можно определить по формуле (2.15) иско­ мую функцию перемещений по всей области системы.

^ Определение компонентов напряженно-дефорМИр0ванн0го со­ стояния происходит на основе найденной по формуле (2.15) функ­ ции перемещений. Зная эту функцию, можнб, используя известные