Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Интегрируя выражение (1.27), можно получить, что полная работа 6tt? усилий взаимодействия между элементами тела, являющимися внешними по отношению к каждому элементу, равна приращению потенциальной энергии 6 U, т. е.

бW = 6U,		(1.28)
или
bU — Ш = 0; 6(U -	W) = 6П = 0,	(1.29)
где
П =	и — W	(1.30)

— полная потенциальная энергия системы. Это и есть принцип потенциальной энергии, или вариационный принцип Лагранжа, который можно сформулировать так: из множества кинематически допустимых систем перемещений, отвечающих заданным граничным условиям, те, которые удовлетво ряют условиям равновесия, при дают потенциальной энергии сис темы стационарное значение. В со стоянии устойчивого равновесия

величина П минимальна.

Вариационное уравнение. Лаг ранжа порождает ур-авнение рав

новесия и граничные условия, оно же лежит в основе метода пере мещений в строительной механике. Проиллюстрируем это в даль нейшем на примерах.

Покажем запись уравнения (1.29) в общем случае пространст венной задачи теории упругости. Пусть тело Т (рис. 10) по всему

объему V нагружено объемными силами	(X / Y , Z — единичные
объемные сйлы), по части поверхности	действуют поверхност

ные силы (X, К, Z — единичные поверхностные силы), по части поверхности S 2 тело закреплено. Варьируя перемещения, запи шем выражение 6Н? следующим образом:

bW =	J J J (Хби +		Ybv + Zbw) dV +		J J (Хбы + Ybv + Zbw) dS,
	v				st	—	(1.31)
где	— часть	поверхности, на		которой перемещения			не заданы.
На основании		(1.31)	выражение	(1.29) запишется так:
		f	( ^ (Хби + Ybv +		Zbw) dV +

J v

Поскольку при варьировании перемещений составляющие сил X, Y, Z и X, У, Z не меняются, можно знак б вынести как общий множитель. Тогда

б [j ^ ^ (Xu + Yv + Zw)dV +

+ J	^(Xu + Yv + Zw)dS — и] = 0 .	(1.33)
•Si
Здесь	Yv + Zw) dV + J $ (Xu + Yv + Zw) dS — (1.34)
W = 5 5 ( (Xu +	Yv + Zw) dV + J $ (Xu + Yv + Zw) dS — (1.34)
V	‘s,
работа объемных и	поверхностных сил на возможных перемеще

ниях, a U — потенциальная энергия'или взятая с обратным		зна
ком энергия деформации.
Удельная энергия деформации
^ = ~2 ^ х ?х "Ь &у£у “Ь	~Ь ^хуУху “Ь Т'угУуг “Ь ^хгУхг)•	(^*35)

Воспользовавшись законом Пука, можно формулу (1.35) записать только через напряжения:

“ = 2Е (а* + °* + СТЬ — £■ (ах°у + оуог + агох) +

	+	J Q (тху +	т^2 + Yxz)•		(1.36)
Точно так же можно и		представить		через составляющие	дефор
маций:’
и = ~2	+ G (z x 4“ &У +		е2) +	Y (Уху + Ууг + Ухг)у	(1 -37)
где
	е = Ех +	гу + Ег\	Х = (1 +\|ь1)^ _2^) •		(1.38)

Иногда удобно удельную энергию и записать герез составляющие перемещений, в частности, для балки или пластинки — через одну компоненту перемещений, а именно через прогибы w.

Описанный путь решения задач, когда варьируются перемеще ния, эквивалентен методу перемещений. Возможен и другой путь, эквивалентный методу сил. В этом случае варьируются не переме щения, а силы или напряжения, которые не фиксированы. При этом должны соблюдаться условия равновесия как внутри тела, так и на части поверхности S x.

Принцип дополнительной энергии. Для тела Т (рис. 10)^ объем ные силы X , К, Z внутри всего тела и поверхностные X , К, Z на части поверхности S x фиксированы, а потому их нельзя варьиро вать. На части поверхности S 2, гле заданы перемещения, поверх-

ностиые силы не известны и могут варьироваться. Тогда аналогично выражению (1.32) имеем

J J (иЬХ + обY + w6Z) dS — 6U = 0.	(1.39)
•Sf

Поскольку при варьировании поверхностных сил составляющие перемещении не меняются, знак б можно вынести за скобку:

б [J J (Xu + Yv + Zw)dS — и] =			0.	(1.40)
•Si
Величину
W *= J J ( X «	+ ?o+ Z iei)d S =		0	(1.41)
•Si
называют дополнительной работой,		а
( / _	И7*=	П*		(1-42)
— дополнительной энергией. Отсюда вытекает новый принцип
	6П * = 0,			(1.43)

который называется принципом Кастильяноит принципом допол нительной энергии. Этот принцип формулируется так: из множества • статически допустимых напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия внутри тела и на той части поверхности, где заданы по верхностные силы, те напряжения, которые удовлетворяют усло виям совместности, придают дополнительной энергии стационар ное значение. В условиях устойчивого' равновесия величина П * мини мальна.

Возможен и смешанный подход, когда частично варьируются

перемещения,	а	частично — напряжения.
Покажем, как на основе
вариационного		принципа
в перемещениях		(1.29) по
лучать разрешающие урав
нения и граничные			усло
вия.
Примеры.	Рассмотрим бал
ку, н аходящ ую ся		под действи
ем поперечной нагрузки				и про
дольной силы	(рис. 11),			в двух	случай	больш их деформации.
вари ан тах: 1) случай малых деформаций; 2)
1. Случай	малых		деформаций (линейная		задач а).
При выводе		учтем		только нормальные напряжения. Относительная ли*
нейная Деформация в сечении хво л о к н а на расстоянии						z от оси:
от Действия продольной силы

e W = ^ r = “' W:

(L44)

/ ч ш “ (* > = - г а7>

а потому

и' (дг) = — ZW" (дг).

Суммарная деформация

е (х) == и' (х) — zw" (х) .

Варьируя, получим (аргументх опускаем)

бе = 6ц' —zbwn

Продольная сила

N (х) = J J о*dy dz.

Изгибающий момент

М (*) =? 5 5

dy dz.

(1 .45)

(1 46).

(1 4 7 )

(1.48)

(1.49)

(1.50)

На основании формулы (1.29) имеем

( Ц oxbex dxdydz— ^ q(x)bw (x)dx— Ntbu W —QiSto^+Mibw’ ( / ) =0. (1.51)

J V J		0
Перепишем выражение			(1.51)	с	учетом	(1 .4 8):
				i
Щ	о* (6“ ' —zbw") dx d y d z - [				qbw dx -	Ntbu (l) — q ^ w (/) _j_		(/)=0
J V				0
								(1.52)
Рассмотрим		первый	член	выражения (1 .52) и учтем при			этом	выражения
(1 .49)	и (1 .5 0 ).	Тогда			/	*		р
К J а, {Ьи -					/	axbu' dy dz —С.Г	dy dz]dx=s
К J а, {Ьи -		zbw") d x d y d z ^ U ^				axbu' dy dz —С.Г	dy dz]dx=s
V			/		O F	/	_	-I
			/			/
			= J Nbu' dx —			^ Mbw" dx.		^ ^

6 о

.Первый член выражения	(1.53) интегрируем по частям:
/	/
JNbu' dx = Nbu \|— ^ buN' dx.		(154)
0	0

Аналогично, интегрируем второй член выражения .(1.53):

1	I
f Mbw" dx = Mbw' J — ^ M'b&' 4x		^
о	0
Интеграл справа в выражении (1.55),	вычислим по частям:
	I

£ M'bw'dx = УИ'6оу| — ^ M"bWdX'

( j -56)

С учетом выражений (1.53) — (1.56) выражение (1.52) примет вид

N8uI — N6u0 — ^ бuN' dx

M6w\—

—M'8wt +

M'8w0 — J

M"8w dx —

^ qbw dx — Nfou (/) — С^бю (/) —

— Л4,бю' (/) = 0 .

Окончательно после

группировки имеем

—

\N'bu +

(ЛГ

—q) ба>; d x + ( N — N,) 6ut +

(-Л Г —Qt) &a>, +

( M — M t ) во»,

о.

(1 58)

П оскольку

сумма

(1 .5 8 )

должна равняться

нулю при произвольной

ва

риации,

то

каж дое

сл агаем ое в отдельности должно равняться

нулю. В

ин

тервале

0 ^ х <

быФ 0, следовательно,

N' =

(1.59)

Аналогично в этом же

интервале

При х =

М” — *7 =

(1.60)

N -

Nt =

( 1.61)

М’

— Ql =

(1 .62)

М — Ali =

(1 .63)

Вы раж ения

(1 .5 9)

(1 .6 0)

представляю т собой дифференциальные урав

нения задачи,

(1 .6 1 )

—

(1 .6 3 )

—

граничные

условия в уси ли ях.

2 .

Случай

больш их

деформаций

(нелинейная задача).

В этом случае суммарная деформация

(аргументх опущен) запишется

так:

е =

и' — zw”+

(о /')а.

(1-64)

В арьи руя (1 .6 4)

по

перемещениям,

получим

бе =

бы' —

г б а Л +w”8w',

(1.65)

На

основании формулы

(1 .2 9)

выражения

(1 .51) предыдущего случая

имеем

6П

о^бы'dy dz —

^ J o^8wn dy dz +

oxw'8w' dy dzj dx —

L F

—

^ q8w dx — Nfiu (/)

—• Qfiw (/)

+ Mfow' (/) = 0 ,“

(1.66)

где выражения

квадратных

скобках

обозначены

соответственноА,

В и С.

С учетом

выражений

(1 .49) и

50)

имеем

А = •^ К

о^бы'

dx =

^ N8ur dx;

(£ б 7)

о V

	*			l
В =	J	U	Joxzbwn dy dzj dx =	J Mbw” dx\	(1.68)
	/O	F		О/	(1.68)
	/O	F		О/
C =	jj		о^ш'бш' d*/ dzjdx =	J Nw'bw' d*.	(1.69)

оF

Интегрируя	Л	по	частям,	получим
			A =	i
			A =	iV6w \| — ^	yV'6« dx.	(1 .7 0 )
						(1 .7 0 )
Интегрируя	В	по	частям,	имеем
				/
			В =	M6w' \| —	£ М 'б ш 'dx.	(1.71)
				о		(1.71)
				о
Интегрируя	второй член выражения				(1 .7 1) по частям, получим

£	М 'б о /dx =	Л Г бо> \| —	£ ЛГбад dx,
или окончательно для	В:	/
	/	/
В = Л4ба>' J —		M'6w J +	f А Гба; dx.
	О	о

Интегрируем выражение С по частям:

С = \Nw'bw' dx =		^ и dv =	uv — Г v du,
о	б	*	'
где	и = Nw' , du = б о /dx.
	и = Nw' , du = б о /dx.

dm)		то	v =	р
Поскольку dv = b d x = Ь dw,				б 1 dw = ба>. Выражение и
дифференцируем как	произведение:
	da =	(ЛЛдо' +		N o/')dx.
Тогда окончательно	выражение	дляС примет вид
	I
С 5= Nw'bw \|— J			(N 'o / + Nw") бад dx.

(1.72)

(1 .7 3)

(1.74)

(1.75) = AV

(1-76)

Теперь		перепиш ем-выражение (1 .6 6) с	учетом	развернуты х выражений
Л , В и	С:	I
		I
6П =		Nbu (I) — iV6u (0) — £ N'bu dx — Мб*,' (/)		мбю' (0) -f.
		0
		1
+	М 'бау (/) — М 'бш0)( — ^ М"бш dx +		М и 'ба	(/) — УУш'бо/0)(—
/		о
/		/

_ ^(iV'tt;' + Nw") bwdx — J qbwdx — Nfiu(l) —Qfiw (l)-\-Mlbwt(l)=0. (1.77)

Соберем интегральные члены выражения (1 .77) и приравняем их к нулю:

—- N' bu dx -f* ^ (М" -J- N'w' + Nw”+ q) бw dxj = 0.

оо

П оск ольку

би Ф 0,

то

из

первого

инт$грала вытекает, что

(1 .78)

Т ак как

бдоФ 0,

то

из

второго

интеграла

получаем

или

М” +

N'w'

tfwn +

q =

(1 .7 9)

М” +

(Nw'Y + Q= 0.

(1 .80)

Вы раж ения

(1 .7 8 )

(1 .7 9)

или

(1 .80)

—

это

дифференциальные уравнения

задачи .

подобные

члены и

приравняем

их к нулю:

Сгруппируем неинтегральные

(N -

Ni)

би (1) =

П оскольку

би (/) Ф 0, то

(1 .8 1)

N =

Nbu (0)

0, так

как

би<(0)

П осколькуw't Фб

то из

выражения

( — М +

М/) bw'

(/)

следует,

что

(1.82)

М = .Mi.

Mbw' (0) =

так

какbwf

(0)

П осколькуbwi Ф 0,

то

из

выраже

ния (М' +

Nw'

—

Q/) bwt =

следует,

чт°

(1.83)

М' +

Nw' — Qt =

(— М ' — /V w') bw (0)

так как

бдо (0)

И так,

выражения

(1 .8 1)

—

(1 .83)

—

граничные

задачи в уси-

условия

ЛИЯХ.

§ 2. Метод Рэлея — Ритца

Основные положения. Широко распространенный вариацион ный метод Рэлея — Ритца базируется на сформулированном уже принципе минимума полной потенциальной энергии. Рассмотрим этот метод применительно к задаче изгиба пластин.

Представим изогнутую поверхность пластины в форме ряда:

w(x, у) = Cxfx(х, у) +	c2f2(x,		у) Л-------- 1- Cnfn(x, у) =
=	£	c ji (х,	у).	(1.84)
/=1
Здесь ft (.х, у) — непрерывные		функции,		называемые координат•

ными или базисными; каждая из этих функций в отдельности должна удовлетворять кинематическим граничным условиям и быть способной представить всю изогнутую поверхность пластины; с2 * >сп неизвестные параметры, определенные из принципа минимума полной потенциальной энергии.

Условие
4 Д = 0 ( i = l , 2,	, п)	(1.85)
д а

приводит к системе совместных алгебраических уравнений отно сительно коэффициентов си с.г, .... сп. Из этой системы находят коэффициенты,, которые подставляют в (1.84).

Виртуальная работа внезших сил. Потенциальную энергию деформации в пластине находят интегрированием (по всей средин ной поверхности) отрицательной работы внутренних сил (U =

= - - И 7 ) .

В общем случае энергия дефорг...|Ции пластины состоит из

изгибной U b и мембранной U m .частей:

Ub =

i J

(м *х* +

Муку +

2МхуХху) dxdy

(1.86)

Um “

т i

i (N

+ NyEy N+ пхуУху) dx dy,

(1.87)-

где Мх, Му,

Мху — внутренние

погонные

изгибные

силовые

факторы; Nx,

Ny,

Nху — мембранные

силовые

факторы.

При

малых деформациях пластины

эти

силовые факторы можно рас

сматривать раздельно. Соответствующая

поперечным силам.часть

энергии незначительна, и ею можно пренебречь.

Если и, v и w — это составляющие действительного перемеще

ния, рх, ру и

рг — составляющие интенсивности

нагрузки,

Pt —

сосредоточенная сила,

Дг— соответствующее

перемещение,

Мг —

сосредоточенный

момент,

0г — соответствующий

угол

поворота

(рис. 12, а), то

виртуальная работа внешних сил

запишется так:

W, = — [J J (рхи + PyV +

ргы>) dxdy +

PtД, +

£ М|6,

( 1.88)

В выражении (1.88) не учтен потенциал краевых сил. Если края пластины допускают перемещения, то краевые силы vn, тп и mnt (рис. 12, а) также совершают виртуальную работу:

	= - ф (oaw + mnf n + mnt% )dS.	(1.89)
Здесь	n u t — нормаль и касательная к элементу	края dS
(рис. 12,	б).

Выражения для силовых факторов в декартовых координатах. Потенциальная энергия деформации. Запишем в декартовых коор динатах выражения для силовых факторов и кривизны .через прогибы.:

. .	Л /« * »	d2w\,	.ж	j~.(d2w	,	32аД
М* ~	(а2 "■ l1 djj2) ’		My — —D		+	Iх fa t) ;
	Mxy = —D		(1 — p)	d2w _			(1.9Э)
	Mxy = —D		(1 — p)	dxTy’			(1.9Э)
	d2w		d2w				(1.91)
Kx —	dx2 <	KV —	dyi		dxdy *		(1.91)
Подставив выражения (1.90) и (1.91) в выражение						(1.86), получим
т
Для случая многоугольных пластин				с защемленными			краями,

а также для прямоугольных опертых пластин выражение (1.92) упрощается до

	" • “ И		М	w	+ ^ f ixdn-		с - 93)'
			F
Потенциальная энергия деформации						для круглой пластины
в полярных координатах			(рис.	13).	Выражение,		для Ub в общем
виде
П	1	Г f П Ud*w -I- 1			dw 4-	1 — V 4-
Ub 2		J j D \ W		+ “	d? +	7* a? )	+
		F
+ '2 о ■- И) [ i ( f	5 ) Г ■-!2 (1'-14 £				IT t	+ * $ ) } "«*■ <1•94>
Для пластины с защемленными краями

‘ ' . - ‘Ш

в й £ + т £ + 5ф ) ' * * -

с - 95)

Для осесимметричной задачи выражение (1.94) упрощается:

Г dr. (1.96)

Прямоугольная пластина. Пусть прямоугольная пластина а х b находится под действием вертикальной распределенной на грузки рг. Полная потенциальная энергия в этом случае

п-ШDШ+ -2<■-w -

- ( ■ £ 7 ) ‘ ] } ‘lxd! / - H P’W‘lxd*-

(1.97)

Если краевые силы, включая реакции, могут накапливать или терять потенциал во время деформации,.то уравнение (1.97) долж но быть дополнено выражением (1.89). Так, для упруго опертых краев, например для случая опирания на упругие балки,

UЬкр —

(1.98)

где р — жесткость балки, т. е. погонная сила, соответствующая единичному^ перемещению.

В случае упругой заделки

И«Ф = Т

(1.99)

где р*— крутильная жесткость заделки или балки, т. е. по

гонный момент, соответствующий единичному углу закручи вания.

Эффект мембранных сил. Мембранная часть энергии

Um = Т ИP	+ Ny&y + М хуУ'* d X d y ~ 2 Ij		[ N X % + N u JyдУ +
	N t d u . d v	dx dy.	(1.100)
	^ n *y\dy^ dx,

Через составляющие перемещений выражение (1.100) запи шется, как

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги