книги / Основы экспериментальной механики разрушения

2.2.

АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛА С РАЗРЕЗОМ (ТРЕЩИНА ТИПА III)

Антнплоская деформация тела с разрезом, изображенная на рис. 2.4, соответствует в силу данной в предыдущем разделе класси­ фикации трещине продольного сдвига (тип III). В этом случае отличной от нуля является только одна компонента вектора пе­ ремещений

(2.3)

Выпишем систему уравнений статической задачи теории упру­ гости

Первая группа уравнений представляет уравнения равнове­ сия, вторая — закон Гука, третья — соотношения Коши (де­ формации малые); p,=£/2(l-i-v) — модуль сдвига, £ —модуль упругости (Юнга), v—коэффициент Пуассона. Использованы об­ щепринятые обозначения для дифференцирования по простран­ ственной координате, а также для записи единичного тензора. По повторяющимся индексам в (2.4), (2.5) производится сум­ мирование.

С учетом (2.3) из (2.6) получаем, что отличными от нуля компонентами тензора деформаций являются деформации сдви­ га 8i3= (1/2)и3,ь 82з= 1/2мз,2. Тогда из закона Гука следует

Поскольку все остальные компоненты тензора напряжений рав­ ны нулю, то первые два уравнения равновесия (2.4) удовлетво­ ряются тождественно, а третье имеет вид

013,1 + 023,2 = 0 .

Отсюда с учетом (2.7) получаем, что перемещение и3 является решением уравнения Лапласа

т. е. и3 является гармонической функцией.

Итак, необходимо найти решение следующей задачи: края разреза свободны от напряжений, т. е. при х2=0 и 013= 0, 02з=О, а на бесконечности, т. е. при х2-+оо, 01з=О, о2з =

и сдвиговое деформирование касательными напряжениями, при­ ложенными на разрезе,

При этом на бесконечности напряжения и перемещения во вто­ рой задаче полагаем равными нулю. Таким образом, вторая за­ дача сводится к определению однозначной гармонической функ­ ции «з(*1» *2) с нулевыми условиями на бесконечности по за­ данной на берегах разреза нормальной производной, которая согласно (2.9) равна

Решение задачи можно получить с помощью методов теории функций комплексного переменного. Введем сопря­

женную к иа гармоническую функцию ul и рассмотрим функ­ цию комплексного переменного

<p(z) = и3 + шз, z = ^ -1- ixv

Функции и3 и «з связаны соотношениями Коши — Римана

Перемещение и3 является вещественной частью функции

“з = Re[«(z)].

Спомощью выражений (2.7) и соотношений (2.11) находим

О-» — 3 = Н®'(0 . o2i = — н-1пт/(г\

Таким образом, требуется найти голоморфную функцию <р'(z) по заданным, согласно (2.10), одинаковым значениям мнимой час­ ти на верхнем и нижнем берегах разреза. При этом веществен­ ная часть <р' (z) на поверхности разреза равна нулю. Посколь­ ку перемещение стремится к нулю на бесконечности, то голо­ морфная функция ф(z) должна убывать при |zr ( —»-оо не медлен­ нее z-1, а функция ф'(г) — не медленнее z-2. Естественно ожи­ дать появления особенностей для функции ф'(z) в вершинах разреза. Решение данной задачи можно получить способом, предложенным Л. И. Седовым.

Обозначим u=Re[cp''(z)], u=Im[cp'(z)] и рассмотрим функ­ цию комплексного переменного

F(z) = и + iv.

Эта функция голоморфна всюду вне разреза. В вершинах раз­ реза она может иметь особенности. На бесконечности F(z) убы­ вает не медленнее z~2. На берегах разреза действительная и мнимая части функции F(z) принимают одинаковые значения

разреза и вычет этой функции в

бесконечно удаленной точке равен нулю (функция/7(z) убывает при |z|-»-oo не медленнее zr2), то справедлива формула Коши

Стянем контур к дважды пробегаемому отрезку от —I до I. На верхнем берегу разреза

Ф+ = [и fo, + 0) + iv(xu -f 0)] i Y /2—x l

на нижнем берегу

Ф_ = [и(хъ —0) + iv(xlt — 0)] i Y l 2~ x l

Поскольку функция Ф(£) ограничена в вершинах разреза, то интегралы по малым окружностям, охватывающим вершины, при стремлении их радиуса к нулю также стремятся к нулю.

Кроме того, и и v на берегах разреза принимают одинаковые значения (2.12). В итоге получим

I

—I

Решение исходной задачи представляется в виде

I

Вершина разреза является сильным концентратором напря­ жений. Выясним характер этой концентрации. Для этого полу­ чим асимптотические выражения для компонент тензора напря­ жений. Рассмотрим одну из вершин трещины и введем полярную систему координат z—l= r e iB (рис. 2.5). Будем считать г малым по сравнению с /. При малых г выражение (2.13) принимает вид

У 2тi(z-l)

Здесь через Кт обозначен постоянный коэффициент

Выделяя действительную и мнимую части в выражении (2.14), получим асимптотические формулы для напряжений

С помощью (2.14) можно найти асимптотическое представ­ ление для функции cp(z):

Ч(г) = - ^ = - } Г2 ( г - / ) + У -к

Тогда перемещение в окрестности вершины трещины

Согласно полученному решению напряжения неограниченно возрастают при г-►О, как 1 /Уг, при этом перемещения стремятся

к нулю как Î7. В формулах (2.15) — (2.17) отброшены члены, не имеющие особенностей.

Коэффициент Km зависит от распределения приложенного» касательного напряжения, длины трещины и является уже рас­ сматривавшимся в предыдущем разделе коэффициентом интен­ сивности напряжений. В случае постоянного касательного на­ пряжения T (-VI) = т получаем простое выражение

К т =

2.3.

РАСТЯЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С РАЗРЕЗОМ (ТРЕЩИНА ТИПА I)

Как и в предыдущем разделе, воспользовавшись принципом су­ перпозиции, разобьем задачу на две: растяжение плоскости без; разреза напряжениями р(хi) и деформирование плоскости с раз­ резом, на котором действует напряжение — р(хi).

Для первой из вспомогательных задач нетрудно сразу выпи­ сать решение

012 = 0, 022= P (*l), U2= X2P(Xi)/E.

Для второй задачи можем записать граничные условия Haï разрезе

В силу этих условий и симметрии задачи, кроме того, имеем: Oi2=0 всюду на оси Xi(*2= 0). На бесконечности напряжения н> перемещения во второй задаче стремятся к нулю.

Воспользуемся для решения второй вспомогательной задач:» формулами Колосова—Мусхелишвили

х= 3 —4v для случая плоской деформации, х= (3—v) / (1+v) для плоского напряженного состояния.

Так как Oi2=0 всюду на оси Хи то из второго соотношения: в (2.20) следует, что

Im[zq>" (z) + г|/(г)’]= 0

при .v2= 0 . Это условие можно удовлетворить, положив

ф'(2) = Zx(z)l2, <î>'(z) = — zZx(z)l2.

Действительно, при таком задании функций q/(z) и ф'(г)

ким образом, задача сводится к отысканию одной неизвестной ■функции Zx(z). Из формул (2.20) получаем следующие выра­ жения для компонент тензора напряжений через функцию Zx(2) :

После подстановки этих выражений в последнее равенство (2.20) для компонент вектора перемещений получим

функции Zj(z), удовлетворяющей граничному условию (2.23). Проделав тот же самый анализ, что и в предыдущем разделе, найдем

1

Р ( х ,) ] / 1-

Для исследования асимптотического поведения напряжений и перемещений вблизи вершины трещины воспользуемся поляр­

Напряжения и перемещения в окрестности вершины разреза ■определяются выражениями

2.5.

■СИЛОВОЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ

До сих пор речь шла о напряженном и деформированном сос­ тояниях в телах с разрезами. Анализ этих состояний является задачей теории упругости. Полученные решения устанавливают зависимость компонент тензора напряжений и вектора переме­

нагрузки. Размер разреза и внешняя нагрузка полагаются при этом не зависящими друг от друга. Решение задачи теории упругости существует при произвольных их значениях без какихлибо ограничений.

Если определить трещину как разрез, способный распро­ страняться, т. е. перейти к задаче механики разрушения, то сра­ зу же возникает вопрос об условии страгивания трещины. Это условие, являющееся критерием разрушения, должно установить связь между размером разреза и величиной внешней нагрузки, при которой начинается рост трещины. После того как крите­ рий разрушения установлен, размер трещины и внешняя на­ грузка перестают быть независимыми, а задача теории упруго­ сти переходит в задачу механики разрушения. Критерий разру­ шения играет роль дополнительного граничного условия на кон-