книги / Основы экспериментальной механики разрушения
..pdfувеличенной на размер пластической зоны длины трещины (/+7Тр)- Это положение составляет основное содержание концеп ции квазихрупкого разрушения. Увеличение с указанной целью' действительной длины трещины на радиус пластической зоны на зывается поправкой на пластическую деформацию (поправкой Ирвина). Поскольку пластическая зона считается круглой, товершина фиктивной трещины длиной (/+ riP) располагается в, центре круга, как показано на рис. 2.9 и 2.13.
Принято для обоснования концепции квазихрупкого разруше ния приводить следующий качественный аргумент: малость пла стической зоны не только допускает существование упругого по ля в окружающем массиве с единственной характеристикой К,. но и приводит к тому, что состояние самой пластической зоны: (размеры, деформации внутри нее) определяется той же самой характеристикой — коэффициентом интенсивности напряжений К внешнего упругого поля.
Очевидная недостаточность подобного рода аргументов соз дает определенные трудности в экспериментальной механике разрушения, хотя одновременно существенно повышает ее роль, поскольку решающим доказательством применимости линейной теории трещин и, в частности, силового критерия (2.50) в усло виях квазихрупкого разрушения становится эксперимент.
Квазихрупкое разрушение происходит макроскопически хруп ко, т. е. при отсутствии макропроявлений пластических деформа ций — образования шейки, утяжки сечения и т. д., — путем быстрого распространения трещины, получающей энергию длясвоего развития в основном за счет накопленной упругой энер гии окружающего материала, а не за счет увеличения внешней нагрузки. Номинальные, отнесенные к сечению-нетто, разрушаю щие напряжения здесь существенно меньше тех, которые допус каются расчетом по феноменологическим теориям прочности без учета локальных перенапряжений вследствие наличия трещины* Экспериментально установлено, что применение линейной меха ники разрушения обосновано, если номинальное разрушающее напряжение не превышает 0,8ат. Размер пластической зоны при этом может достигать 20%! от длины начальной трещины Грс0,2/.
Аналогично тому, как было проделано выше для трещины нормального отрыва, можно найти конфигурацию пластических зон для трещин поперечного и продольного сдвигов. Результаты вычислений представлены на рис. 2.14 с использованием безраз мерного радиуса-вектора р= гр/(/С/яат)2. Для трещины продоль ного сдвига пластическая зона имеет форму круга.
Построенные на рис. 2.11 и 2.14 фигуры на самом деле изо бражают границы областей, в которых согласно упругому реше нию превзойден предел текучести по критерию Мнзеса, и дают лишь качественное представление о возникающих в реальных материалах пластических зонах.
-It
2.7.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ОСВОБОЖДЕНИЯ УПРУГОЙ ЭНЕРГИИ
Энергетический подход получил широкое распространение в ме ханике разрушения. Он успешно конкурирует с силовым в рам ках линейной теории и имеет ощутимые преимущества в нели нейном случае, так как позволяет решать широкий круг задач на основе одного лишь анализа потоков энергии для тела в делом •без привлечения сведений о детальных особенностях полей на пряжений и деформаций в локализованных областях неупругого
деформирования перед фронтом трещи
Рны.
Рассмотрим бесконечную пластину толщиной t с прямолинейной сквозной трещиной, равномерно растягиваемую в ортогональном к плоскости трещины на правлении напряжением р, как показано на рис. 2.15. Бесконечной пластиной, оче видно, можно считать образец конечных, но достаточно больших по сравнению с длиной трещины размеров. Изображен ную на рис. 2.15 распространяющуюся в обе стороны (вправо и влево) трещину принято обозначать 21 и называть трещи ной Гриффитса.
Поверхностная энергия П, которая необходима для создания в образце двух (верхней и нижней) поверхностей разру шения при образовании трещины длиной 21, определяется равенством
'Рис. 2.15. Трещина
П = 2*(5 = |
(2.57) |
Входящая в (2.57) плотность эффективной энергии разру шения у обеспечивает существование твердого тела как единого целого и равняется сумме всех затрат энергии, которые пот ребны для создания единицы поверхности разрушения. При фиксированных внешний условиях у является константой ма териала, подлежащей экспериментальному определению. Ее размерность — энергия, деленная на квадрат длины, или после сокращений — сила, деленная на длину.
Для оценки величины упругой энергии, освобождающейся после «введения» в образец трещины площадью 5= 2//, вос пользуемся наглядным, но весьма условным методом силовых
.линий.
При отсутствии трещины силовые линии располагаются рав номерно по образцу, как показано на рис. 2.16, а. Накопленная
в единице объема упругая энергия одинакова во всех «точках» образца и определяется, очевидно, упругим потенциалом
W = рг/2 = р2/2£, |
(2.58) |
где Е — модуль упругости.
После «введения» трещины поле силовых линий в некото рой ее окрестности становится резко неоднородным. На фрон те х = ±1 силовые линии сгущаются, как изображено на рис. 2,16, б, символизируя концентрацию здесь напряжений. Вблизи вновь возникших свободных поверхностей выше и ниже трещи ны появляются разгруженные зоны, свободные от напряжений. Поскольку на достаточном удалении от трещины поле силовых линий остается невозмущенным, то допустим, что освобожде ние упругой энергии происходит только в этих зонах (на рис. 2.16 они заштрихованы).
Рис. 2.16. Поле силовых линий в образце без трещин (а) и в образце с тре щиной (б)
Пусть площадь разгруженных зон можно аппроксимировать ромбом с диагоналями 21 и 2а/, где а — некоторый числовой коэффициент. Строгие вычисления показывают, что в рассмат риваемой задаче а = я . Так как общее количество освобождаю щейся энергии U определяется произведением объема разгру женных зон на плотность упругой энергии №, то получаем
U = —2nil4V = —7itPp2/E. |
(2.59) |
На рис. 2.17 схематически построена зависимость общего изменения энергии образца (П-{-£/) вследствие образования трещины от ее длины /. Здесь же приведены аналогичные зави
симости для П н U в отдельности. В соответствии с (2.57) и (2.59) поглощаемая трещиной энергия П изменяется по линей ному закону, а освобождающаяся U — по параболическому. При некоторой критической длине трещины 1Сприрост освобож дающейся энергии сравнивается с интенсивностью поглощения энергии трещиной. Наступает предельно равновесное состояние. Трещина становится неустойчивой, способной к лавинообраз ному распространению при бесконечно малом увеличении сво ей длины. Суммарное изменение энергии образца (П+£7) прохо дит в критической точке через максимум, т. е. в критической точке
d(Tl+U)/dS=0 или d(n+ U )ldl= 0 . |
(2.60) |
С учетом (2.57) и (2.59) отсюда следует
2 т — прЧ/Е = 0. |
(£61:) |
Рис. 2.17. Зависимость изменения энергии сис темы образец—трещина от длины трещины
Рис. 2.18. Зависимость критического напряже ния для трещины Гриффитса от ее длины
Теперь нетрудно получить решение двух основных задач ме ханики разрушения для трещины Гриффитса — найти крити ческое значение внешнего напряжения рс при фиксированной' длине трещины I или критическую длину (в принятых обозна чениях — полудлину) трещины 1С, если задано внешнее напря жение р:
Pc — V 2Е~[Ы1 , I с— 2 E ih p 2. |
(2.62) |
Выписанные формулы относятся к плоскому напряженномусостоянию. Для случая плоской деформации следует заменить Е на E l (1— V2):
p lc= V 2 E i h ( ] — v-)l, /lc= 2 £ T/n(l-v2)p2. |
(2.63) |
Трещина Гриффитса является примером неустойчивой (не равновесной) трещины. Критическое напряжение рс, требуемое для ее страгивания, как показывают полученные формулы,, уменьшается с ростом /. Начавшись, такие трещины распростра няются далее самопроизвольно за счет освобождения большого
запаса накопленной в образце упругой энергии. Зависимость критического напряжения от длины трещины изображена на рис. 2.18.
При рассмотрении трещины Гриффитса предполагалось, что •материал образца является идеально упругим вплоть до разру шения. В действительности для многих металлов в процессе повышения нагрузки на образец наблюдается медленное устой чивое подрастание трещины от первоначальной ее длины /о, как показано на рис. 2.18. Данное явление обусловлено образова
нием выраженных пластических зон перед |
фронтом трещины. |
В рамках линейной механики разрушения |
оно не может быть |
учтено и является предметом нелинейной теории, элементы ко торой излагаются в следующем параграфе.
В приведенных выше соотношениях характеристикой трещнноетойкостн материала является т- Чем выше Y. тем лучше сопротивляется материал распространению трещин, поскольку тем большая энергия требуется для зарождения и поддержа ния процесса разрушения. Однако механический смысл величи ны Y остается нечетко определенным, а ее прямое экспери ментальное измерение в механическом макроэксперименте зат руднено. В связи с этим получила распространение более удоб
ная характеристика |
— критическое значение уже упоминав |
|||
шейся в разделе 1.2 |
интенсивности освобождения упругой энер |
|||
гии G |
= ±dU/dS, |
или G = |
±dU/dl*. Из |
формул (2.57) и |
(2.60) |
следует простое соотношение между у |
и Gc: |
||
|
|
Gc = |
2Y |
(2.64) |
Величина Gc представляет собой интенсивность потока энер гии, освобождающейся в результате упругой разгрузки тела при росте трещины. Этот поток направлен к фронту трещины и поглощается там, совершая работу разрушения, характеризуе мую параметром Y Как упругая энергия некоторой части объ ема нагруженного тела, величина G имеет смысл не только в л<ритической точке. Можно говорить о текущих (докритических) значениях величины G, понимая под этим интенсивность потока энергии, которая могла бы высвободиться, если бы тре щина начала распространяться при данной нагрузке. Различие между G и Gc аналогично различию между текущими и крити ческими значениями коэффициентов интенсивности напряжений К и Кс G имеет ту же размерность, что и Y — сила, деленная
иа длину. Ее часто называют скоростью освобождения энергии.
Вобщем случае интенсивность освобождения энергии G, оче видно, является функцией внешней нагрузки q, характерных
размеров трещины i |
|
и тела L. Для трещины |
Гриффитса, |
в частности, из (2.59) |
получаем |
|
|
G = ntp*(E, |
Gx = я//?2(1—v2)/£. |
(2.65) |
|
* Знак «плюс» относится к системам, в которых происходит увеличение «акопленной упругой энергии при росте трещин.
ния напряжения, деформации и перемещения приняли соответ ственно другие значения оц + Аои, е.у+Де/j, ц,+ДШ.
Составим уравнение сохранения энергии при переходе тела: из первого состояния ко второму, пренебрегая динамическими, тепловыми и другими эффектами:
|
Д£/ |
+ ДП = |
ДА. |
(2.68) |
|
Здесь ДU — изменение упругой энергии тела, ДП — изменение |
|||||
поверхностной энергии тела |
(затраты на создание |
дополни |
|||
тельных |
поверхностей |
трещины), |
ДА — приращение |
работы |
|
внешних сил. |
|
|
называемую потенциальной |
||
•Вводя |
величину Э = U—А, |
||||
энергией тела, из (2.68) |
получаем |
|
|
||
|
|
ДЭ = |
—ДП. |
(2.69) |
|
Внешние силы Г,- на поверхности Еи работы не совершают, поэтому работа внешних сил определяется формулой
А — f
Упругая энергия тела, очевидно, равна
U = ÇW (el;)dF,
V
где \V(zij)= ; ацйгц — плотность упругой энергии (упругий
6
потенциал).
Вычислим приращение потенциальной энергии тела вследст вие малого подрастания трещины. В исходном состоянии имеем
(2.70>
Во втором состоянии потенциальная энергия равна
э + ьэ= |
Г |
W(sit + |
àsit)dV - Г Г ^ + Д п д а |
(2.71) |
|
|
|
у-ди |
|
à_ |
|
Вычитая |
(2.71) |
из |
(3.70), найдем |
|
|
- Д Э = |
Г W (ti})dV- j |
+ bsi})dV + f 2\Д М 2. |
(2.72) |
||
|
V |
|
V - Д » |
v;T |
|
Последний интеграл можно распространить на всю поверхность
тела, включая |
поверхность |
трещины, |
и представить его в виде |
|
f |
г (д м |
2 = |
f |
(г ,+ д г ,)Л М 2 . |
E+S+ дя
тюскольку Д 7\= 0 на 1 Т> Д и/=0 на 2« н Г/+ДГ/ = 0 на 5 + Д5. Этот интеграл молено преобразовать в объемный интеграл
f T M i d Z = |
f ( o ^ A o ^ d V . |
(2.73) |
È,. |
V - A v |
|
Так как Т1=вцп,-, tij — компоненты вектора нормали к поверх ности. Первый объемный интеграл в (2.72) представим в виде суммы
f W(sij)dV= |
J |
W ^ d V + f j W ^ d V |
(2.74) |
V |
v-Ai' |
Ài’ |
|
Используя полученные выражения (2.73) и (2.74), приведем уравнение (2.72) к виду
- ДЗ = J W(eu)dV-f J |
{(ау + Д*у)Д*у - |
|
Ди |
V—Av |
|
- |
[ТГ^+А ц/) - |
W(4})])dV |
Так как для линейно-упругого тела W(eu) = оцец12, то не трудно показать, что подынтегральное выражение во втором •слагаемом последнего равенства приводится к виду
(а,•/+Да/j) Де// — [W (e/j -,L Аец) — W (е«/) ] = Да//Деу/2.
Переходя вновь от объемного интеграла к поверхностному н учитывая, что Д Г ,= 0 на 2Г и на S, а Д «/= 0 на 2 и, получим
\ J AotJA*tldV |
J |
ДГ,Ди^2-1 ГДГ,ДМ1- |
V - Д » |
S -b S + A S |
A S |
Изменения ДГ/ на вновь образованной поверхности AS свя заны с исходным напряженным состоянием в теле до начала роста трещины равенством ДГ,=—а,/Л/=—Г,-. Используя это ра венство, получаем следующее выражение для изменения потен- i-диальной энергии:
- Д Э = [ |
W & J d V - j j TtAiiidZ. |
A v |
AS |
Моделируя трещину идеальным разрезом (До=0), преобра зуем последнюю формулу
да = j J |
Г,Д М 2= } f |
T+àu+dZ + j j TJAuj-dZ, |
A S |
Д5^" |
ДS ~ |
тде «плюс» относится к верхнему берегу разреза, «минус» — к нижнему.
Очевидно, усилия на противолежащих берегах связаны соот
ношением Т г V Т г = 0. Поэтому можем записать |
|
||
Д Э = Н |
^ 1 |
^ 2 . |
(2.75) |
|
дs* |
|
|
.тде [Д«,-] = Дн,-+ — Ди г — скачок |
перемещений на разрезе. |
||
Интегрирование в (2.75) проводится по одному из берегов раз реза.
Рассмотрим случай плоской деформации или плоского нашряженного состояния. Если, как обычно, трещина расположена вдоль оси л'ь то можем записать
Т+——Т-=*—о12, Т+= - 7*-=—ст22.
Перед напряжениями 0|2 и 022 стоит знак минус, поскольку нормаль к верхнему берегу разреза направлена в противопо ложном по отношению к оси Хч направлении. Для скачков пере мещений имеем
[A « i]= n + — ц - , [Дu2] = u f — iq .
Теперь (2.75) примет вид
ы
ДЭ = — j J* [o12(«i*-—uj-) + о22(и+—u2)]dxv
о
где ДI — приращение длины одномерной трещины. Вследствие «симметрии задачи
и~ = —и+, и- = —и+
и выражение (2.75) можно записать в наиболее простом виде:
д/ |
|
АЭ = — I’ (а12и+-Ьа22и+)йх1. |
(2.76) |
à |
|
Таким образом, из (2.75), (2.76) следует, что изменение по тенциальной энергии всего тела вычисляется по изменению ло кального напряженно-деформированного состояния вблизи фрон та (вершины) трещины. Поэтому, полагая Al малым, при вы числении ДЭ можно воспользоваться асимптотическими форму лами (2.35) —(2.38). При этом в выражение (2.76) следует под ставлять такие значения напряжений, какими они были в теле до подрастания трещины. Перемещения «<+ соответствуют рас крытию берегов трещины после ее продвижения на Al и обра зования новой свободной поверхности. Поэтому для напряже
ний можно использовать формулы (2.41) |
и (2.42), относящиеся |
|
к продолжению разреза — 6= 0, |
г = х {. |
При вычислении по |
этим же формулам перемещений |
(0=я) |
началом координат |
