книги / Основы экспериментальной механики разрушения
..pdfны не мал и понятие коэффициента интенсивности напряжений теряет смысл.
Ниже продемонстрирована возможность введения примени тельно к условиям полномасштабной текучести параметра, иг рающего в нелинейной механике разрушения ту же роль, что К в линейной. Этот параметр получил название инвариантного 7-интеграла (джи-, или джей-интеграла). Он эквивалентен К в квазихрупком приближении и по аналогии может рассматри ваться как усредненная характеристика сингулярности ло кальных полей напряжений и деформаций в упругопластических телах с трещинами. Необходимо, однако, отметить, что 7-интег рал не имеет столь же строгого теоретического обоснования, как К. Широкая область его применимости определена главным об
разом опытным |
путем |
метода |
|
|
||
ми экспериментальной механи |
|
|
||||
ки разрушения. |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
плоское тело из |
|
|
|||
линейноили |
нелинейно- (су |
|
|
|||
ществует упругий |
потенциал) |
|
|
|||
упругого материала |
с |
разре |
|
|
||
зом. Толщину тела будем счи |
|
|
||||
тать постоянной и равной еди |
|
|
||||
нице. Окружим |
вершину раз |
Рис. 3J3. Произвольный |
контур |
|||
реза произвольным контуром Г, |
интегрирования, охватывающий |
|||||
концы которого расположим на |
вершину разреза |
|
||||
верхнем и нижнем берегах раз |
|
контуру |
||||
реза, как показано |
на |
рис. 3.13. Внешнюю нормаль к |
||||
обозначим через п= (п<), а направление обхода контура опреде лим против часовой стрелки. Отбросим внешнюю по отношению
кконтуру часть тела, заменив ее действие вектором напряжений.
Тс компонентами Т^аф,-.
По определению, 7-интеграл выражается равенством
W d x 2 — f — d r) |
(3.37) |
дхг J- |
|
Здесь W — упругий потенциал (плотность энергии деформа-
lij
ции), W — \ omndèm„, dxi — tiidr, и —вектор перемеще-
6
ний на Г.
Для выявления физического смысла введенной величины воспользуемся уравнением сохранения энергии (3.27) для об ласти тела, выделенной контуром Г и соответствующими участ ками верхнего и нижнего берегов разреза-трещины,
бЛ—ь и = ь п . |
(3.38) |
81
Здесь учтено, что все рассуждения проводятся в предположении реализации плоской деформации. В случае трещины смешанно го типа по (2.83) имеем
/ = i F 1 ( Kî + * " + - b 4:îu)- |
|
В силу сказанного /-интеграл не имеет преимуществ |
перед |
характеристиками линейной механики разрушения G и К. |
Од |
нако, как уже отмечалось, его достоинством является возмож |
|
ность использования в области упругопластического (квазивязкого) разрушения.
Отметим попутно, что величина G, определяемая левой ча стью уравнения (3.28), также имеет смысл при развитых пла стических деформациях и может использоваться в нелинейной механике разрушения. Численно она совпадает с /-интегралом, хотя имеет иную качественную интерпретацию.
Докажем инвариантность, т. е. независимость от пути интег рирования, введенного /-интеграла, по-прежнему считая матери ал упругим (линейно или нелинейно). С этой целью предвари тельно вычислим значение /-интеграла на произвольном замк нутом контуре, не содержащем внутри себя вершины трещины.
Перейдем в (3.37), используя формулу Грина, к интегралу по площади
d W |
± |
- U |
, î a |
dxjdx2= |
dW |
||
/ = J dxi |
dxt |
||||||
dXj y |
7 dxx |
||||||
|
d<stj |
dui |
d |
dut |
dxidxt. |
|
|
|
dxj |
dxx |
at i ------- |
|
|||
|
dxj dxx |
|
|
||||
Второе слагаемое в подынтегральном выражении равно ну лю в силу уравнений равновесия о//,/=0. Преобразуем третье слагаемое
а дщ _ 1 |
а |
|
11 дхх дхj |
2 |
^ дхх | |
д |
dut \ |
1 |
+0,' ь , Ц ) = Т 0“
Здесь учтены симметрия тензора напряжений о,у=о/< и форму лы Коши Ы]= ( U i j /2.
Рассмотрим первое слагаемое |
|
|
aw |
aw dtif |
din |
dxx |
d&ij дхх |
^ дхх |
Таким образом, /-интеграл по произвольному замкнутому контуру, не содержащему вершины трещины, тождественно об ращается в нуль.
формированных областей или придав ему форму круга с цент ром в вершине трещины.
В последнем случае формула (3.37) принимает вид
|
|
|
|
7? |
|
|
|
|
|
|
|
7 = /■j |
| W c o s B - T , ^ d B , |
|
|
||||
где г — радиус круга. |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим /-интеграл в применении к модели |
Леонова—Па- |
||||||||
насюка—Дайгдейла, |
проводя |
интегрирование по границе пла |
|||||||
стической ЗОНЫ |
(.V'2 = |
0), |
|
|
|
Гр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
[ т 1^±дГ — |
— |
Гпj o—ildxI; |
= |
— |
[ |
1 |
||
|
J |
l dxt |
|
J |
w 1 д.ч |
|
J |
TdXl |
|
|
Г |
|
|
Г |
|
|
о |
|
|
|
|
° |
|
|
rp |
|
|
|
|
Полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с формулой (3.15).
Остановимся еще на одной трактовке /-интеграла, вытекаю щей из анализа локальных полей напряжений и деформаций в
вершине трещины. |
описы |
Пусть связь между напряжениями и деформациями |
|
вается степенным законом упрочнения |
|
<*я = AE'Ùp> |
О-42) |
где 0ц, eUp — интенсивности соответственно касательных напря жений и пластических деформаций, А — константа материала, п — показатель упрочнения.
Очевидно, (3.42) можно трактовать в терминах либо нели нейной упругости, либо деформационной теории пластичности.
Методами, близкими к изложенным в разделах 2.2—2.4, по казано *, что в окрестности вершины разреза для компонент тен зоров напряжений и деформаций имеет место следующее асимп тотическое представление:
от.дг, В) |
А |
|
п/(1 + я) __1___ |
ш , |
|
|
глД1+я) |
|
|||
|
|
|
|
||
ei/(r» е) = |
|
|
1/(1+я)_1___ |
|
(3.43) |
|
Ain |
г 1/(1+7>) Фц(е). |
|||
|
|
|
|
|
|
где 1п — некоторая функция показателя упрочнения п и типа трещины, fa и ф</ — функции угла 0.
* Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения / Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир. — 764 с.
Далее строится зависимость /-интеграла от перемещения / ти па представленной на рис. 3.16, из которой находят I = h c по перемещению fc, соответствующему моменту страгивания тре щины.
Рис. 3.15. Зависимости |
поглощенной |
Рис. 3.16. |
Зависимость |
/-ин |
работы от длины трещины при раз |
теграла от |
перемещения |
точ |
|
личных перемещениях |
точки прило |
ки приложения силы |
|
|
жения силы |
|
|
|
|
Рассмотрим еще один из способов обработки эксперимен тальных диаграмм, позволяющих определять /-интеграл по ре зультатам испытания одного образца.
Пусть образец с трещиной длиной I находится в условиях чистого изгиба, как показано на рис. 3.17. Под действием изги бающего момента М происходит поворот сечений, в которых мо мент приложен, на углы 0/2. Можно записать
м
где b i= b —I — лигаментный размер образца, b — брутто-раз- зиер образца.
При достаточно большой длине трещины допустимо счи тать, что угол 0 целиком обусловлен ее наличием и что поворо ты сечений в образце без трещины пренебрежимо малы. В этом случае
е = / ( « / » ; > .
Преобразуем подынтегральное выражение
Теперь после интегрирования получим
/ = —Г Md 0,
о
где интеграл в правой части представляет площадь эксперимен тальной диаграммы М—0, полученной при монотонном нагруже нии образца до некоторой точки (М, 0). Для определения кри тического значения Jic, очевидно, необходимо довести образец до разрушения и измерить полную площадь диаграммы.
При трехточечном изгибе и внецентренном растяжении ком пактных образцов расчетная формула имеет вид
f
(3.45)
о
Вычисление /-интеграла сводится к определению площади диаг раммы нагрузка—перемещение точки приложения нагрузки Р—f.
Важным достоинством всех методик измерения h c являетсято, что они не требуют проведения испытаний образцов боль шой толщины, которые необходимы в опытах на Кгс при плос кой деформации. Jic измеряется в условиях полномасштабной текучести. В связи с этим иногда пользуются формулой (3.41) для приближенной оценки величины К\с по измеренному в эк сперименте /le
3.6.
МЕТОД Я-КРИВОЙ
Под Л-кривой, как указывалось в разделе 3.4, понимается зави симость от длины трещины удельного сопротивления медленно му росту трещины на докритической стадии. Эта зависимость может либо задаваться теоретически на основе модельных рас четов, либо определяться полуэмпирическим методом из экспе риментальных данныхПоследнее в настоящее время делается чаще.
За сопротивление росту трещины R(l) могут приниматься различные характеристики трещиностойкости, имеющие смысл в нелинейной механике разрушения: / с, Gc, ôc и др. Здесь в со ответствии со сложившейся традицией будет использоваться характеристика Gc.
Метод 7?-кривой позволяет в наглядной форме исследовать условия и особенности распространения докритических трещин.
Запишем энергетический критерий разрушения (3.28) в фор
ме |
|
G(о, l)=R{l). |
(3.46) |
Этот критерий соблюдается в каждый момент докритического роста трещины. Если он нарушается, то трещина либо останав ливается (G < R ), либо переходит в лавинообразную, закритическую стадию роста.
Предположим вначале, что докритическое подрастание тре щины отсутствует и реализуются условия квазихрупкого разру шения. Это происходит в металлических образцах достаточно большой толщины, когда имеет место плоская деформация.
В рассматриваемом случае сопротивление росту трещины: постоянно i?=G ic=const и на рис. 3.18 оно изображается го ризонтальной линией.
Рис. 5.18. /^-кривая при хрупком |
Рис. 3.19. Я-кривая при докритичес- |
разрушении |
ком росте трещины |
Для трещины Гриффитса в соответствии с (2.65) имеем ли нейную зависимость интенсивности освобождения упругой энер гии от длины трещины
£?i= л ( 1— V2) а 21/Е .
На рис. 3.18 данная зависимость при фиксированных напряже ниях изображается прямыми линиями, выходящими из начала координат. Разрушению соответствуют точки пересечения этих прямых с горизонтальной линией R = Gic. Большему напряже
нию а' соответствует меньшая критическая длина трещины При переходе за критическую точку прямые Gi=Gi(l) распола гаются выше R-кривой, вырождающейся здесь в горизонталь ную прямую линию, т. е. в закритической области интенсивность освобождения упругой энергии превышает сопротивление росту трещины Gi>R.
Рассмотрим теперь трещину в тонком металлическом образ це в условиях плоского напряженного состояния. При достиже нии величиной G значения Gic начинается медленный стабиль ный рост трещины, сопровождаемый ростом внешнего напряже ния о и сопротивления R(l).
Экспериментально установлено, что для многих материалов iî-кривая инвариантна относительно начальной длины трещины
/о и является функцией только приращения длины |
R = R ( Д/). |
Это учтено при построении ^-кривой на рис. 3.19. |
Начальная |
длина трещины условно откладывается влево от начала коорди нат.
Трещина длиной to' начинает распространяться, когда при ложенное напряжение достигает величины о', соответствующей точке А на графике. Для дальнейшего роста трещины необходи мо увеличение внешней нагрузки, поскольку за точкой Л, как следует из графика, R>G(a', V ). Критическое состояние будет достигнуто в точке касания В после увеличения напряжения до
величины Ос и подрастания трещины на величину, определяе мую отрезком ОС. В точке В интенсивность освобождения энертии достигает критического значения G(о/, W ) = G C{IQ ). За точкой В R<G(a', to'), что соответствует неустойчивому росту трещины и общему разрушению образца.
Если провести касательную к /^-кривой параллельно линии •G(а', 1о'), то можно найти начальную длину трещины to"', при которой напряжение о', приведшее лишь к страгиванию трещи ны длиной 10', окажется разрушающим. При этом критическое значение величины G достигнет более высокого по сравнению с 'Gc(lo') уровня Gc(to") (точка D), а трещина подрастет на боль шую длину, равную отрезку ОЕ.
В критических точках (здесь точки В и D), очевидно, выпол
няются условия |
|
G=R, dG/dl=dR/dl, |
(3.47) |
которые можно рассматривать как критерий |
разрушения при |
наличии докритического роста трещины. |
|
Для использования критерия (3.47) в количественных оцен ках необходимо иметь зависимость R = R (t) в аналитической форме.
Ирвин предложил следующую аппроксимирующую формулу: (3.48)
где Gic и Gc — трещиностойкость материала соответственно при плоской деформации и при плоском напряженном состоя нии, п<1 — показатель степени, определяемый эксперименталь но, I' и U — длины трещин соответственно в момент страгивання и в момент общего разрушения.
Формула (3.48) построена таким образом, чтобы соблюда лись равенства R(l') = Gic, R(lc) = Gc.
Еще одна формула, использующая два экспериментально наблюдаемых факта — независимость R от начальной длины трещины /о и пропорциональность последней критической длины lc=<zl0t может быть получена из чисто геометрических сообра жений. Она имеет вид
tf= f} (f_ /0)(“-i>/«, |
(3.49) |
где р и а — экспериментальные константы, SO