книги / Основы экспериментальной механики разрушения

Рис. .2.6. Распределение напряжений в малой окрестности вершины трещины нормального отрыва (а)щ поперечного сдвига (б) и про­ дольного сдвига (в) в соответствии с асимп­ тотическими формулами

Распределение напряжений в малой окрестности вершины трещины поперечного сдвига приведено на рис. 2 б. Имеющие отрицательный знак нормальные напряжения ах и ау условно показаны в верхней полуплоскости. Расположенная в ннжней полуплоскости часть кривой относится к aÿ>0. Напряжения ау построены для углов 0е [я, 2я].

Трещина продольного сдвига:

и = V — О

Распределение напряжений xXz и хуг в соответствии с приве­ денными формулами построено на рис. 2.6, в.

жить ог = 0, если рассматривается плоское напряженное состоя­ ние. Отметим, что сами коэффициенты К\ и Кп от различий в этих двух видах напряженных состояний не зависят.

Выписанные выше формулы определяют коэффициенты ин­ тенсивности напряжений для неограниченных тел с нагрузками, приложенными на бесконечности. Если рассматриваются тела конечных размеров, то влияние границ тела может быть учтено введением определяемых из решения соответствующих краевых

.задач теории упругости безразмерных функций Y(l/L), где L— характерный линейный размер тела. В этом случае расчетные

где q — приложенное напряжение.

Процесс разрушения материала при распространении трещи­ ны, очевидно, определяется напряженно-деформированным сос­ тоянием, локализованным в ее вершине и определяемым приве-

денными асимптотическими формулами. Как уже отмечалось, интенсивность и, следовательно, уровень опасности (с точки зрения разрушения) этого состояния полностью характеризу­ ются коэффициентами интенсивности напряжений. Ирвин в 1957 г. показал, что для каждого типа трещин существует кри­ тическое значение коэффициента интенсивности напряжений К& по достижении которого начинается рост трещины и происхо­ дит разрушение тела.

Сказанное поясняет схема, представленная на рис. 2.7. Здесь изображены кривые распределения напряжения аи в вершине разреза типа I при различных значениях коэффициента интен­ сивности напряжений /Ci. С ростом Ki уровень напряжений уве­ личивается и при Ki=K\c достигает предельного значения. Схе­ ма демонстрирует также, что в случае трещин нормального от­ рыва критерий Ki— Kjc аналогичен критерию максимального ра­ стягивающего напряжения в классических теориях прочности.

Для каждого из трех типов трещин в отдельности силовой критерий разрушения, иногда называемый критерием критиче­

Критические значения коэффициентов интенсивности напря­ жений, по предположению, являются постоянными материала, ха­ рактеризующими его трещиностойкость. Чем выше Кас, тем луч­ ше сопротивляется материал распространению в нем трещин и

Kl

тем эффективнее противостоит хрупкому разрушению. При фик­ сированных температуре, скорости нагружения и других внеш­ них параметрах критическое значение коэффициента интенсив­ ности напряжений Кас является константой в отличие от его те­ кущего значения Ка, являющегося, очевидно, функцией внешней нагрузки, длины трещины и др.

область устойчивых предельных состояний определяется одним из неравенств

al al

Один пример устойчивой (равновесной) трещины представ­ лен на рис. 2.8. Здесь центральная трещина в упругой плоскости растягивается равными противоположно направленными сосре­ доточенными силами за соответственно верхнюю и нижнюю по­ верхности.

В этом случае входящее в формулу (2.26) распределение на­ пряжений на разрезе следует представить через дельта-функ­ цию

р(х) = Pô(Xi).

Поскольку интеграл от выражения, содержащего дельтафункцию, равен значению подынтегральной функции в точке ,vi=0, то из (2.26) получаем

Для роста трещины, очевидно, каждый раз требуется увели­ чивающаяся нагрузка. Система тело—трещина обладает отно­ сительно небольшим запасом упругой энергии, и трещина спо­ собна медленно распространяться или останавливаться сообраз­ но с изменением внешней нагрузки.

Вобласти неустойчивых состояний, называемой закритнческой, малое увеличение размера трещины приводит к возраста­ нию текущего значения коэффициента интенсивности напряже­ ний и, следовательно, к продолжению роста трещины, приобре­ тающему при этом самоподдерживающийся характер. С точки зрения глобального разрушения неустойчивые трещины, очевид­ но, представляют наибольшую опасность. Их наличие либо без­ условно недопустимо, либо требует более детального анализа соответствующей задачи механики разрушения для рассматри­ ваемого тела.

Взакритической области трещина может распространяться

при постоянной либо даже при уменьшающейся нагрузке. Выде­ ление области неустойчивых состояний производится на основе неравенств

когда только один из коэффициентов интенсивности напряжений

Кь Кп или Km отличен от нуля.

В общем случае, когда отличны от нуля все три коэффи­ циента Ка, можно предположить, что критерий локального раз­

увеличивается, достигая максимального значения в момент раз­ рушения.

Оценим в приближенной постановке форму и размеры пла­ стической зоны для трещины нормального отрыва. Точное ана­ литическое решение данной задачи в упругопластическон поста­ новке встречает значительные трудности и в настоящее время от­ сутствует. Оно построено лишь для случая антиплоской дефор­ мации (трещина типа III).

Воспользуемся критерием пластичности Мизеса, который в главных осях имеет вид

Главные напряжения ai и <12 определяются формулами

Учитывая, что третье главное напряжение a3=Oz=v(o.r+aj,), и подставляя в (2.52) выражения (2.35) для ох, о„ и хХу, полу­ чим

<т3 = 0 при плоском напряженном состоянии.

Зависимость главных напряжений щ и <j2 от угла 0 графи­ чески представлена на рис. 2.10. Построение выполнено в без­ размерных по напряжениям координатах путем деления на

/Ci/У 2яг. Напряжение щ, как нетрудно показать, достигает мак­ симальной величины при 0 = я/3 и приблизительно в 1,3 раза превышает свое значение при 0= 0, т. е. oi(n/3)«l,3oi(0). Наи­ большее значение максимального касательного напряжения Тгаах = (ai — Ог)/2 достигается в точке 0=я/2, причем тщах(я/2) = Oi(0) /2. Последнее соотношение можно предста­ вить в другом виде: 0((я/2) — аг(я/2) = Oi(0) = Ог(0).

После подстановки формул (2.53) в критерий (2.51) нетрудно получить зависимость размера пластической зоны, определяе­ мого радиусом-вектором rv, от угла 0 для условий плоской де­ формации и плоского напряженного состояний соответственно

| s i n 20 + ( l - 2 v ) 2(l + cos0)

На рис. 2.11 представлена форма пластических зон, опреде­ ляемая полученными выражениями. Построение выполнено в по­ лярных координатах с использованием безразмерного радиусавектора p=rpf(Ki!noT)2.

«V1

\

\

\\

<$т 1 _^

О гр х

а

Рис. 2.11. Пластическая зона в вершине трещины нормального отрыва при плоской деформации (I) и плоском напряженном состоянии (2)

Рис. 2.12. Распределение растягивающих напряже­ ний на продолжении трещины нормального отрыва при плоской деформации (а) и плооком напряжен­ ном состоянии (б)

Можно видеть заметные различия в форме и размерах пла­ стических зон при плоской деформации и при плоском напря­ женном состоянии. В целом пластическая зона при плоском на­ пряженном состоянии существенно больше. В частности, на про­ должении трещины, т. е. при 0= 0, имеем

Если принять для коэффициента Пуассона v = l/3 , то получим 9-кратное различие в размерах. Возникающее при плоской де­ формации трехосное напряженное состояние вызывает стеснение пластической деформации и уменьшение размера пластической зоны. Вследствие этого трещиностойкость материала понижа­ ется, а разрушение становится на макроуровне хрупким, проис­ ходящим при относительно низких номинальных (рассчитанных на сечение-нетто) напряжениях. Плоское деформированное сос­

тояние поэтому является более опасным по сравнению с плос­ ким напряженным.

На продолжении трещины (0 = 0), как следует из (2.35), на­ пряжения Од-(0) и о</(0) становятся главными, поскольку тдм(0) обращается в нуль, и равными между собой: о*(0) =0^(0). Учи­ тывая, что Oz(0) = V(G.Ï + О/,) = 2vau(0) также является глав­ ным, нз критерия Мизеса (3.51) получаем для плоской деформа­ ции

Oj,(0) = От/(1—2v), Oi,(0) = Зот при V = 1/3.

Для плоского напряженного состояния аналогичные выкладки приводят к соотношению

Оу(0) = От-

Таким образом, стеснение пластической деформации по расчету приводит как бы к 3-кратному возрастанию эффективного пре­ дела текучести в условиях плоской деформации. При плоском напряженном состоянии о* не .влияет на пластическое течение, н эффективный предел текучести равен пределу текучести от при одноосном растяжении.

Распределение напряжений с,/(0) в вершине трещины схема­ тически изображено на рис. 2.12. В случае плоской деформации в точке Л'=0, т. е. на контуре трещины, представляющем сво­ бодную поверхность тела, трехосность напряженного состояния можно считать отсутствующей, поэтому при х=0 Oj,(0)=aT. С удалением от фронта происходит быстрое возрастание напряже­ ния до Зот, как показано на схеме.

Следует, однако, заметить, что проведенные оценки плохо согласуются с экспериментальными измерениями. Действитель­ ные форма и размеры пластической зоны заметно отличаются от изображенных на рис. 2.11.

В рамках линейной механики разрушения, учитывающей на­ личие пластической зоны лишь приближенным образом, принято считать эту зону круглой, как показано на рис. 2.9. Размер гр для плоской деформации и плоского напряженного состояния оценивают по одной и той же формуле — второй нз приведен­ ных в (2.55), т. е. напряжения полагают распределенными по схеме рис. 2.12,5, но эффективный предел текучести при плоской

деформации считают равным УЗот. Таким образом, пользуются следующими оценками размера пластической зоны:

гх = /ф б * о-( при плоской деформации,

гр = К'1/2ко* при плоском напряженном состоянии.

Здесь приведены формулы для предельно равновесных состояний, когда пластические зоны максимальны, и использованы обще­ принятые обозначения для критических величин коэффициентов интенсивности напряжений. Название вязкость, разрушения от­ носится только к Kic, играющему, как уже отмечалось, чрезвы-

чайио важную роль в механике трещин. Столь же важным па­ раметром является и rip, который в экспериментальной механике разрушения при качественных оценках часто из соображений удобства заменяют пропорциональной величиной (Ки / ат)2.

Если размер пластической зоны мал по сравнению с длиной трещины / и характерным размером тела L, то малая пластиче­ ская зона оказывается окруженной большим массивом упруго­ напряженного материала. Можно допустить, что за пределами пластической зоны напряженное и деформированное состояния по-прежнему описываются асимптотическими формулами линей­ ной механики разрушения. В частности, распределение компо­ ненты Oÿ(0) на продолжении трещины качественно имеет вид. представленный сплошной кривой на рис. 2.13. Эта кривая полу­ чена параллельным сдвигом вдоль оси х на величину rip пер­ воначального распределения, показанного штриховой линией, и

Рис. 2.14. Конфигурация пластичес­ ких зон для трещин поперечного (а) и продольного (б) сдвигов. 1 — плос­ кое напряженное состояние, 2 — плос­

кая деформация

имеет особенность (сингулярность). Следовательно, за предпо­ ложенной нами пластической зоной размером rip появится еще одна, приближенно ей равная. Приближенность равенства обус­ ловлена неучетом изменения Ki вследствие увеличения трещины на гхр. Приведенные рассуждения показывают, что размер пР составляет лишь половину длины пластической зоны. Полная ее длина равна d = 2 n P. Если считать, как это обычно делается, чтопластическая зона имеет форму круга, то rip равняется его ра­ диусу.

Из представленной на рис. 2.13 схемы следует, что локальное поле напряжений в вершине трещины с малой пластической зо­ ной может быть описано моделью линейной механики разруше­ ния, если вершину трещины сместить вправо на величину r\Pt т. е. асимптотические формулы (2.35) — (2.40) и силовой крите­ рий разрушения (2.50) в рассматриваемом случае применимы при условии, что вычисление коэффициентов интенсивности на­ пряжений по формулам (2.41) проводится с использованием.