книги / Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек

sw //0 ), где /У0 - начальное ребро гиперкуба поиска п А, выра­ женное в относительных значениях к объему поиска (2.4); р - 1,2,

.... ip - заданное и фиксированное в алгоритме число случайных реализаций вектора 2 ^ при неизменном Hq, знаки - при отра­ жают стратегию осуществления двойного возврата пробной точки X l k*p) [31J, в соответствии с которой при неудачном шаге Д испытывается шаг - Х 1£ - вектор значений переменных проектирования, соответствующих наименьшей достигнутой за к шагов поиска оценке F{X) (2.2); знак „V " показывает логическую операцию ИЛИ.

Согласно (2.19)-(2.22), содержание алгоритма оптимизации сводится к „набросу" пробных случайных точек Т ^ в куб с ребром Hq, вычислению и оценке критериев (2.2) и функций ограничений (2.4)—(2.14), сравнению значений (2.2) с наилучшими, полученными на предшествующих этапах, и к переключению поиска с глобаль­ ного на локальный (переход от Н^ к Н г ) или с локального на гло­ бальный (переход с куба /Уг на куб Hi ). Такой переход убыстряет локальный поиск и повышает эффективность глобального. Соот­ ношение ребер /У1 и /У» следующее: /У* “ (4 т 8)Нг.Модификация алгоритма адаптации (2.20)-(2.22) может состоять в трансформа­ ции гиперкубов Hq в параллелепипеды. В этом „случае значения длин ребер H q i, соответствующих параметру X ’t i определяются при нахождении лучшей, чем X jf \ точки изменения величин Hqi пропорциональны смещениям вдоль координат X i,

С помощью программы, реализующей алгоритм (2.19)-(2.22), успешно решены тестовые задачи, приведенные в работах [17; 31], а также выполнено проектирование подкрепленных оболочек в по­ становке гл. 3. Заметим, что при Нг - а л г о р и т м (2.19)—(2.20) становится подобным алгоритму случайного поиска из работы [17].

В рамках рассмотренной процедуры может быть организован как поиск в допустимой'области, так и выход из недопустимой

стимую область с „прицеливанием” в район глобального экстре­ мума за счет использования соотношения вида

для которых имеют место отношения d r < 0 , Х ^ d r (-Т );&F>0 - приращение критериев (2.2), связанное с приращением А Ф > 0 . В среднем выражение (2.23) позволяет выявить направления вы­ хода из недопустимой области, близкие к движениям вдоль гипер­ поверхности уровня целевых функций F(X) (2.2).

2.3.ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

/ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ИХ МЕТОДАМИ СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА

2.3.1. Упорядочение ограничений

Общие постановки задач оптимизации в терминах НЛП [12; 23; 32], как и постановки задач оптимального проектирования реб­ ристых цилиндрических оболочек (см. 2.1), как правило, не связы­ ваются с методами их численной реализации. Вместе с тем этот аспект формализации задач ОПК требует должного внимания. С его успешным решением связано обеспечение приемлемых вы­ числительных затрат на проектирование в целом. При использова­ нии методов оптимизации на базе случайного поиска (СП) рацио­ нальная структура модели задачи оптимизации подкрепленных оболочек имеет особое значение. Это обусловлено тем, что алго­ ритмы СП оказываются более эффективными в случаях, когда за­ траты ресурсов ЭВМ на анализ значений Х 1*\ по возможности, малы [31]. Здесь рациональной следует считать такую формули­ ровку задачи ОПК, при которой недопустимость случайной реали­

Система условий (2.4)—(2.14) выделяет множество допустимых проектов оболочек, не раскрывая способа численной реализации. С целью минимизации общих вычислительных затрат на решение

Если точка Х^ является недопустимой, то для выявления этого бу­ дет израсходован наименьший вычислительный ресурс в рамках двух систем упорядочений ограничений dr (X) следующего вида:

1) упорядочение групп ограничений

условий из (2.4)—(2.14), относящихся к группе. В (2,25) функция FQ (X*) означает оценку характеристики веса, стоимости и т. п., достигнутую на данном этапе поискового проектирования; провер' ка условий.(2.10) производится в* той же группе; где и анализ оценок FQ №)',

2) внутригрупповое упорядочение в { j }

Здесь 7^ - трудоемкость вычисления условия d{№ ), f}(X) - оценка вероятности его выполнения на текущем этапе поиска. Упорядочение (2.25) исключает расчет более трудоемких ограниче-' ний, если 2^ не удовлетворяет относительно'простым, а (2.26) по­ казывает, что в группах в первую очередь следует проверять те ограничения, которые менее трудоемки и имеют меньшую вероят­ ность выполнения Р^. Таким образом, введенные упорядочения (2:25), (2.261. сокращают непроизводительные затраты ресурсов ЭВМ, если Х ^ 2)д,,

2 .3 .2 . Методика расчета характеристик подкрепленных оболочек, зависящих от форм волнообразования

При расчете критических напряжений потери устойчивости реб­ ристых оболочек необходима минимизация функций состояния конструкций, например (2.6)-(2.7), по параметрам волнообразова­ ния: 2 )^ -2 ){Х ,т ,п ). В большинстве работ [23; 26; 32; 29 и др.] в этих случаях общий вид ограничительных функций соответству­ ет выражению (2.11). Следует отметить два момента: во-первых, задание границ области дт п ‘, во-вторых, организацию расчетов в известной Ът п .

С точки зрения минимизации затрат общепринятая запись огра­

Здесь знак V указывает необходимость прекращения процесса минимизации по (Ш ,п)е 2)т /} ,если хоть для одного набора зна­ чений (/лpt /1^ ) имеет место неравенство

тогда как в (2.11) отношение типа (2.26) будет установлено лишь после полного перебора ( т , п ) 6 2) т л •

Как отмечалось в § 2.1, одним из резерве" повышения быстро­ действия алгоритмов оптимизации подкрепленных оболочек яв­ ляется формирование области f)mn (2.8) в ходе решения задачи (2.1)-(2.2). Такая возможность существует в связи с тем, что по-

иск оптимальной конструкции производится поэтапно, причем па­ раметры конструкций на некотором Л*м и (/с+ 1)-м этапах разли­ чаются не слишком сильно. Сказанное в наибольшей мере отно­ сится к завершающим этапам оптимизации подкрепленных оболо­ чек. На них, как правило, уже сформирована система подкрепля-

.ющих ребер и выбираются значения непрерывных управляемых параметров х 4- из (2.1). Понятно, что в этих условиях фиксирование

области п ^ П 4 Л г } Для всвх эта­ пов процесса.оптимизации ведет к избыточным вычислениям при

расчетах Q(X).

Соотношения (2.11), (2,27) показывают, что при вычислениях Q (I) параметры волнообразования (/я,л) формально.могут быть включены в вектор управляемых параметров [29] с последующей реализацией методами, изложенными в 2:2. Осуществление тако­ го подхода на практике вызывает значительные трудности. Причи­ на здесь состоит в качественных различиях внутренних парамет­ ров состояния объекта (т ,п ) и параметров проектирования X, а также в несоизмеримости количественного влияния вариаций (т, л) и непрерывных величин из (2.1). Поэтому решение задач ми­ нимизации в (2.27), как правило, выполняется перебором по цело­ численной сетке. Альтернативой этому является использование алгоритмов, подобных рассмотренным в § 2.2, для управления областью варьирования (Л7, л), а не для выбора конкретных значе­ ний <т л ,) как решений задач минимизации в (2.27).

Может быть предложено несколько компромиссных подходов к формированию „подвижного" диапазона (2.8). Одним из них является алгоритм подвижного прямоугольника - предусмат­ ривает возможность изменения положения Dmn в процессе опти мизации при сохранении диапазонов варьирования (т,п). Область

образования оболочки на Jc-м этапе поиска. Диапазоны варьирова­ ния в (2.29) Dm, Z?n устанавливаются более узкими, чем при ап­

риорном задании Dmn. Область в расчетах (#-М >го этапа

оптимизации не является „жесткой” . Алгоритм подвижного прямоугольника осуществляет перебор (т,П ) е Ьт п , который может

быть продолжен за пределы (2.29). Перебор (Ц П ) ограничивается областью (2.29), если выполняются соотношения

Я '1г { . д 1+ V V ( 2 3 ° i

и аналогичные соотношения для параметра п. В противном случае

(2.30) осуществляется с начального или же с некоторого /f-го эта­ па оптимизации подкрепленных оболочек, когда в общих чертах представление о значениях уже выработано. Для оценки Ът п могут быть использованы приближенные аналитические за­ висимости, приведенные в работе [4].

Еще один альтернативный подход к выбору Ът п - адаптация прямоугольника поиска. Этот подход опирается на модификацию диапазонов Vn,, Dh в соответствии с рекуррентными соотноше­ ниями f

ными для всего процесса оптимизации или считаются функциями

няются совместно или независимо друг от друга. В последнем

указанных подходов при оптимизации подкрепленных цилиндриче­ ских оболочек.

2 .3 .3 . Выбор стартовых точек поиска

В многоэкстремальных задачах ОПК, какими являются рассмат­ риваемые задачи проектирования подкрепленных оболочек, удач­ ное задание начальных значений вектора переменных проектиро­ вания 1 1<Wво многих случаях является определяющим при поиске глобального решения. Можно указать несколько путей решения вопроса о выборе стартовых точек на практике. Во-первых, для

некоторых задач проектирования подкрепленных оболочек разра­ ботаны приближенные методики расчета параметров конструкций, удовлетворяющих критерию минимума веса [4]. Полученные на их основе решения могут использоваться в качестве стартовых то­ чек соответствующих типов задач ОПК,

Во-вторых, в настоящее время уже найдены решения и иссле­ дованы свойства оптимальных конструкций для достаточно широ­ кого класса критериев эффективности, условий проектирования, параметров оболочек и т. о. Анализ оптимальных параметров под­ крепленных оболочек часто позволяет сделать выводы обобщен­ ного, качественного характера относительно соотношений харак­ теристик X в районе глобального экстремума. При выборе старто­ вых точек для конкретных моделей ОПК возможно решение исход­ ной задачи методами § 2.2 с сокращенным числом независимых переменных. Значения остальных управляемых переменных X из (2.1) определяют исходя из характера связей, реализуемых в оп­ тимальных решениях.

Наконец, практика применения алгоритмов, приведенных в 2.2 (см. 2.3.1, 2.3.2), свидетельствует о возможности достаточного приближенного задания, стартовых точек поиска. Даже если на­ чальное приближение X'10 ф использование алгоритма (2.20) - (2.23) дает возможность найти решение задачи ОПК в районе гло­ бального экстремума благодаря механизмам отбора направлений поиска „вдоль" поверхностей уровня целевых функций вида (2.23) . Как всегда при проектировании методами СП проверка гло­ бальности решения опирается на избыточность расчетов: повтор­ ное решение задач оптимизации при выборе начальных точек, при­ надлежащих различным областям допустимых значений перемен­ ных проектирования.

Избыточность, характерная для случайного поиска, в известной сте гн и ограничивает возможности использования алгоритмов (2.20) - (2,23) задачами ОПК, в которых затраты на_вьщолнение Одного расчета критерия и ограничений (испытания £ w ) относи­ тельно невелики. Например, проектирование оптимальной оболоч­ ки из 3.10 занимало 5-20 мин на ЭВМ ЕС-1022, При этом, как пра­ вило, испытывалось несколько сотен векторов переменных проек­ тирования (2.1), причем применение упорядочений (2.25) - (2.28) и адаптации области Т)т п в соответствий с алгоритмами (2.30) - (2.31) существенно сокращало время проектирования. Использо­ вание этих методик возможно и в других задачах ОПК. В более общих случаях, требующих значительных затрат для прямых рас­ четов, может оказаться целесообразным сочетание алгоритмов (2.20) - (2.23) с построением аппроксимаций функций, описыва­ ющих поведение конструкций.

2.4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Оптимизация как выбор „наилучшего" при некоторых услови­ ях основана на количественных сравнениях и выявлении предпо­ чтительности (или степени предпочтительности) одних проектов конструкций по сравнению с другими. Обеспечение такой возмож­ ности сравнения связано с понятием цели проектирования [23; 32; 12]. Задание цели - ключевой момент при построении моделей задач ОПК. Поскольку для большинства задач проектирования ха­ рактерными являются условия неопределенности различной при­ роды [12; 32; 18], возможности многоуровневого рассмотрения и разложения задачи на систему подзадач (декомпозиция) [12], то первоначальное описание цели, как правило, проводится на каче­ ственном, содержательном уровне, причем даже здесь задание одной цели часто вызывает значительные трудности. Для обеспе­ чения ясности понимания существенных аспектов задачи ОПК цели проектирования формулируют в терминах некоторых харак­ теристик конструкции (2.1.) - (2.2): (5)}. Эти показатели в со­ вокупности выражают понятие оптимальности (2.2), охватывая все многообразие свойств проектируемого объекта. Сложность срав­ ниваемых вариантов проектов относительно содержания понятий Fj(X) - частных критериев - приводит к многокритериальным постановкам задач ОПК.

Выделение в ходе анализа задачи ОПК совокупности частных, но более конкретных показателей, оценивающих свойства кон­ струкции, концентрирует внимание исследователя на вопросах обоснования критериев. Содержательность многокритериальных постановок задач ОПК состоит и в том, что на их основе происхо­ дит построение модели объекта, включенного в системы различ­ ного уровня (экономические, технические, производственные и

и основные подходы к проектированию конструкций при векторном показателе эффективности

Многокритериальный подход является одним из путей для раз­ решения противоречия между потребностями практики в совер­ шенствовании постановок задач ОПК и возможностями формаль­ ного описания и нахождения решений при высокой комплексности оценки проектов конструкции. Компромиссный характер решения, получаемого за счет использования дополи1дельной информации о задаче ОПК, раскрывает'общий смысл моделей и методов век­ торной оптимизации.

Анализ постановок задач оптимизации подкрепленных оболо­ чек (как и других конструкций), независимо от последующих моде­ лей формализации и методов решения, показывает, что в большин­ стве случаев источником многокритериальности являются некото­ рые множества, рассматриваемые в задаче ОПК. [18; 12]. Такими множествами могут быть: М1) - множество объектов; М2) - мно­ жество условий; М3) - множество целей; М4) - множество этапов; М5) - множество'вариантов постановок. Классификация М1) - М5) фиксирует условия, определяющие векторный характер задачи ОПК.

Рассмотрение векторного критерия FiX) (22) приводит к изме­ нению смысла решения задачи ОПК, так как совокупность частных критериев [Fj (X)} позволяет лишь сузить допустимую область (2.4) - (2.14), задавая в ней область Парето [18; 33] Рр (множество компромиссно-оптимальных проектов конструкций Х \ оценки кри­ териев которых не могут совместно улучшаться) вида

PF= { i'|i'еВд, [i|F (X )sF IX ) ]п ъ х =>&}, (2.32)

где *8 - знак пустого множества. /J. является объективной харак­ теристикой многокритериальной задачи (МКЗ). Дальнейший выбор в Рр основан на использовании неформальных элементов и ра­ циональных методов анализа [14; 18; 33].

В зависимости от объема, рода, способа получения и использо­ вания дополнительной к (2.2) информации можно выделить четыре основных метода решения многокритериальных задач.

1. Определение множества компромиссночшимальных констркций (неулучшаемые, эффективные, недоминируемые реше­ ния). Здесь дополнительная информация отсутствует. Задание (2.32) является частным случаем подхода, основанного на бинар­ ных отношениях между оценками частных критериев [24; 12].

2.Априорное сужение области (2.32) с помощью скаляризации [18], информации о важности частотных критериев [24] (первый случай предполагает наличие всей необходимой информации, вто­

рой - наличие информации определенной структуры, позволяющей исключить часть Рр1

3.Аксиоматический выбор принципа оптимальности {F j(X )}• в (2.2) [12; 26] (апостериорный подход; информация о приемлемости аксиом в конкретной задаче ОПК).

4.Адаптивный подход: человеко-машинные процедуры [12; 33] (поэтапное использование частичной информации).

Общие постановки МКЗ подкрепленных оболочек (2.2) могут быть реализованы на основе любого из подходов 1 - 4 . Отметим, что процедуры оптимизации конструкций в условиях многокрите­ риальности становятся особенно эффективными в том случае, ког­ да они обеспечивают возможность прогнозирования характери­ стик компромисса критериев в Р^_ (2.32),