книги / Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек

отыскивать такие значения Л, Йв,й ш,К и Jc1f чтобы при заданной нагрузке оболочка имела минимальный объем

и одновременно выполнялись условия прочности (3.48), устой чивости (3.62), а также геометрические ограничения на размеры варьируемых параметров и условия целочисленности.

целочисленного НЛП: найти неотрицательные значения перемен­

2 7 T v £ x ia ( 1 + ^ x 4 ) ^ N ,

X}, Х-, x g и х^ - целые числа.

Найдем оптимальные параметры шарнирно опертой по торцам цилиндрической оболочки, подкрепленной стрингерами и шпангоу-

тами, при следующих данных: L = 2 м; г - 1 м; N = 83,5 - 104 Н; <£= =Q532’ 104 Н/м2; £ = 6,8 • 10е Па; [(Гт ] = 1,47 • 10 Г1а; f / = 0,3; Д =

возможны лишь те случаи потери устойчивости, которые описыва­ ются выражениями (3.56) - (3.58), (3.60), (3.61) и (3.64). Для частных случаев потери устойчивости учитывалась кратность параметров волнообразования числу стрингеров и шпангоутов. Результаты вы­ числений приведены в табл. 9, из которой следует, что оболочка наименьшего объема соответствует пятому частному случаю по­ тери устойчивости, где определяющим явилось ограничение по прочности. Однако в качестве оптимальных параметров следует взять результаты, соответствующие четвертому частному случаю, так как ему отвечают наименьшие критические напряжения. Про­ веденные для серии оптимальных подкрепленных оболочек иссле­ дования подтверждают известное положение о необходимости учета частных случаев, потери устойчивости оболочек с дискрет­ ным расположением, не ограничиваясь рассмотрением оболочки как конструктивно-ортотропной, с учетом лишь общего случая вы­ пучивания.

Таблица 9

3.5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ

При проектировании конструкций, подвергающихся воздейст­ вию динамических нагрузок, для предотвращения нежелательных эффектов типа флаттера, резонанса и др., необходимо обеспечи­ вать заданные динамические характеристики и одновременно стремиться к уменьшению веса (или объема) этих конструкций.

Здесь рассматривается весовая оптимизация при ограничени­ ях на собственные частоты колебаний для ребристых цилиндри­ ческих оболочек, которые часто используются в инженерной прак­ тике в качестве элементов конструкций, испытывающих динамиче­ ские нагрузки.

Рассмотрим шарнирно опертую по торцам круговую замкнутую цилиндрическую оболочку, усиленную регулярной перекрестной системой ребер, эксцентрично расположенных относительно сре­ динной поверхности. Методика определения частот колебаний таких оболочек с учетом дискретного размещения ребер описана в гл. 1 и работе (11). Там же в результате сопоставления расчет­ ных и экспериментальных данных показано, что предложенный подход позволяет определить минимальные собственные частоты с достаточной точностью.

При решении задачи оптимального проектирования оболочки ее длина l t радиус г, а также характеристики материала обшивки и ребер (модуль упругости Е, удельный вес jf и коэффициент Пуас­ сона f i ) считаются заданными. Продольные и поперечные ребра, подкрепляющие оболочку, имеют прямоугольное сечение с толщи­ нами соответственно h i и отношение А высоты поперечного сечения к толщине ребра принимается заданным. Определяются значения Тц, /?г,числа продольных и поперечных ребер К и к ^ и толщина обшивки h, при которых оболочка имеет минимальный объем Ут {п и основная частота собственных колебаний ее удов­ летворяет заданным ограничениям. Рассматриваются два вариан­ та этих ограничений:

для у-го случая деформации оболочки (классификация случаев де­ формации приведена в гл. 1); / * , / * - минимальные собствен-

ные частоты колебаний неподкрепленной оболочкой и ребер соот-

веденным в [ 11]. Вводим обозначения:

Поскольку f(i и к могут быть только целыми числами, получаем задачу частично целочисленного нелинейного программирования:

и удовлетворяют ограничениям (3.6В) или (3.69) и геометрическим ограничениям на варьируемые параметры. Анализируя характер математической модели данной оптимизационной задачи, необхо­ димо отметить следующие особенности, существенно усложня­ ющие ее решение:

а) переменные входящие в ограничения (3.68) или (3.69), связаны там нелинейными и трудновычислимыми зависи­ мостями;

б) параметры подкрепления связаны с независимыми пара­ метрами волнообразования при колебаниях 2 IX» и 2/П1 (числом полуволн в окружном и осевом направлениях). В связи с этим в процессе оптимизации дополнительно возникает необходимость выбора формы колебаний, отвечающей минимуму собственной частоты для каждого конкретного случая деформации [ 11];

в) для частных случаев деформации оболочки нужно учитывать кратность параметров волнообразования числу ребер; это приво­ дит к тому, что функции, входящие в левые части неравенств (3.68) и (3.69), имеют точки разрыва первого рода.

Отмеченные особенности, делающие задачу многоэкстремаль­ ной, с „дышащими" ограничениями, в значительной степени за­ трудняют применение известных методов математического про­ граммирования, в частности традиционных алгоритмов метода случайного поиска, и вынуждают идти по пути использования спе­ циальных алгоритмов, описанных в 2.2.

Численный эксперимент по оптимальному проектированию обо­ лочек проводился с использованием алгоритма из 2.2 при следу­ ющих значениях исходных данных: I = 45 см; г* = 20 см; £ = 6,8 * х 1(Г кг/см 2; У = 0,3; = 2,6 г/с м 3; Л = 13. Рассматривались два класса оболочек, отличающиеся геометрическими ограниче­ ниями на основные варьируемые параметры. Для оболочек I клас­

Полученные результаты свидетельствуют о том, что в рассмот­ ренном диапазоне параметров, который, как правило, может быть

задан из технологических или конструктивных соображений, оп­ тимальны оболочки, имеющие относительно слабую обшивку и до­ статочно большое число сильных ребер. Следует также отметить существенную зависимость основных параметров оптимального проекта от величины заданной собственной частоты колебаний оболочки.

Ниже, в постановке задачи (3.68)-(3.70)1 проведено исследо­ вание влияния знака эксцентриситета ребер и их дискретного размещения на параметры оболочки минимального веса при огра­ ничении на минимальную собственную частоту колебаний.

При выполнении вычислений считались заданными генераль­ ные размеры, а также характеристики материала обшивки и ре­ бер. Принималось, что оболочка подкреплена стрингерами и шпан­ гоутами, имеющими сечение в виде прямоугольника с толщинами соответственно Ьс и Ьш(как и вышв, Л предполагалось задан­ ным). В качестве варьируемых параметров принимались: толщина обшивки Л; толщины ребер Ьс и Ьш; их числа к и kv а также пара­ метры волнообразования в окружном и продольном направлени­ ях - п и т . Оптимизация проводилась для оболочки со следящ и­

зультаты численного эксперимента, выполненного для трех вари­ антов f * приведены в табл. 11 (знак 8С и 8Шв таблице указывает, на какой поверхности обшивки размещены ребра: на наружной

Анализируя-результаты вычислений, видим, что знак эксцен­ триситета продольных ребер относительно слабо влияет на мини­ мальный объем оболочки, причем с увеличением f 3 влияние знака эксцентриситета продольных ребер уменьшается. Знак эксцентри­ ситета кольцевых ребер влияет на объем более существенно, при­ чем его влияние с ростом / 3 увеличивается. Оптимальной для f 3 - 400 и 450 Гц является конструкция, оболочки, усиленной на­ ружными кольцевыми ребрами. Д л я = 350 Гц ^ оказался для оболочки, усиленной ребрами, размещенными на внутренней поверхности оболочки.

Характер возможного движения оболочки описывается диффе­ ренциальным уравнением относительно функции времени Wmn -

вости по заданной форме с параметрами волнообразования т и П; to - частота собственных колебаний по той же форме. Предпо­ лагается, что потеря устойчивости может произойти только для

Решение уравнения (3.72) будем искать в виде степенного ряда

Следуя [3], критическое время действия нагрузки будем искать

Подкрепленную оболочку будем считать не потерявшей устой­ чивости, если длительность импульса <Г сжимающей нагрузки за­ данной интенсивности не превышает критического времени t Kp.

При воздействии на оболочку линейно возрастающей по закону

N (t) - £ * t осевой сжимающей нагрузки закон изменения напря­ жений может быть записан как б-ct, где С =C*/(F+ kFc)~

скорость изменения напряжений. Дифференциальное уравнение движения оболочки (3.71) в этом случае имеет вид

Решение уравнения (376) с точки зрения изучения динамиче­ ской устойчивости оболочки представляет интерес при ct > 6ПМ ,

£t> т п

Минимизируя выражения (3.74), (3.81) по параметрам волнообразованилт и л , определяем наименьшие значения соответству­ ющих величин, которые и принимаем за расчетные.

Задача о выборе оптимальных параметров подкрепленной ци­ линдрической оболочки является задачей о нахождении минимума ее массы

и устойчивости:

а) при действии нагрузки, поведение которой определяется прямоугольным импульсом,

б) при действии быстро возрастающей по линейному закону

где N- суммарная внешняя сжимающая нагрузка, приложенная по торцам оболочки. В ограничении (3.85) учитывается влияние скорости деформирования на механические характеристики ма­

Принимая в качестве варьируемых параметров величины п , пс К и вводя обозначениях ^ Н ,х г- h c, x ^ h ^ x ^ k ,

(последние два параметра могут принимать только целые значе­ ния), сформулируем следующую задачу нелинейного программи­ рования: