книги / Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек

В качестве средств прогнозирования компромисса {F j№ )} в 2.4.3. рассмотрены модели и методы, основанные на: оптимальной линейной аппроксимации области, Парето (2.32); по возможности равномерном заполнении (2.32) точками решений МКЗ; аксиомати­ зированном подходе к выбору модели компромисса { F ( £ ) } в

2 .4 .2 . Постановки многокритериальных задач оптимизации

Когда на начальных этапах решения, задач ОПК однозначное за­ дание цели невозможно, многокритериальный подход позволяет сформулировать задачу проектирования и предложить некоторые рациональные схемы анализа, на основе которых в конечном сче­ те будет найдено компромиссное решение.

Аксиоматический выбор принципа оптимальности в задачах проектирования подкрепленных оболочек по критериям надежно­ сти, веса и долговечности. Характерной чертой постановок задач ОПК с указанными критериями является то, что все еще отсутству­ ют достаточно полные исследования, соответствующие норма гивы и рекомендации по выбору допустимой надежности конструк­ ций, особенно для систем с неэкономической ответственностью [7; 27], а срок эксплуатации устанавливают ориентировочно. Вме­ сте с тем в ряде работ показана существенная зависимость эко­ номических характеристик от уровня надежности. Таким образом, формализация задач ОПК с учетом показателей веса G надежно­ сти Я, срока эксплуатации Т происходит в условиях неполной информации.

Противоречивый характер, несопоставимость показателей {G, Р, T jf а также их взаимообусловленность, требуют примене­ ния многокритериального подхода, который точней отражает ре­ альные условия проектирования. Причем здесь для обоснования компромисса частных критериев в форме максимина вида (2.52) может быть применен аксиоматический подход [26], описанный далее в 2.4Д

Рассмотрим класс задач проектирования подкрепленных обо­ лочек, для которого существенными являются флюктуации полей сжимающих напряжений по одной пространственной координате Z ! Остановимся на методе оценки надежности с по­ мощью аппарата теории выбросов случайных полей из допусти­ мой области, разработанном в [7].

Принимается, что сжимающие усилия создают случайное узко­ полосное [19] поле напряжений Q(Zt t ) стационарное по своим переменным. Расчет оценок надежности проведем для однородно­ го случайного поля, вероятностные характеристики у которого ин­ вариантны относительно сдвигов координат.

При конструктивных параметрах 1 , допустимом уровне на­ грузки Q *{£)r который достаточно высок, и заданном сроке эк-, сплуатации Т оценка надежности Р может быть представлена как [7]

(2.33)

uZ i

где

t6 [o ,r]}, »met,(Q. *(Z ))

- математическое ожидание числа максимумов поля Q(Z, •*) на единице поверхности в единицу времени, превышающих уровень Q*№). Считаем, что нагрузка создает поле Q (Z ,*) - гауссов­ ское однородное узкополосное и стационарное по обеим перемен­

мер, ограничения по прочности, устойчивости и т. д.), то для оцен­ ки надежности величина 0*(Х) формируется из условия

С учетом сказанного приходят к расчету надежности Р при задан­ ном сроке эксплуатации Т в виде

<**>

Оценка надежности Р « Р(2*) согласно (2.35), (2.36), когда Q-(Z) представляют критические силы потери устойчивости кон­ струкций и элементов, зависящие от параметров волнообразова­ ния m и л , практически носит алгоритмический характер.

Исследуем вопрос обеспечения надежности Р совместно с анализом оценок Т и реса Q в рамках многокритериального под­ хода как задачи обоснования компромисса критериев { ( 7r Pt Т ),

При формулировании свойств рационального компромисса кри­ териев {G f Pf Т} учтем следующее: во-первых, уровень информа­ тивности - предполагается известной лишь информация об исход­ ных диапазонах изменений некоторых показателей; во-вторых, свойство множества критериев F -{G ,P t Т } \ устанавливаемое на основе соотношения (2.33). Здесь имеет место связь, характер

которой согласуется с рассмотренной в 2.4.1, 2.4.3, гарантиру­ ющая единственное решение с известными свойствами для прим ципа оптимальности вида (2.52); .принцип гарантированного ре­ зультата отражает также полноту системы критериев [14). Ввиду наибольшей информативности компромисса (2.52) применение его для исследования исходной проблемы проектирования здесь оказывается более целесообразным, чем использование других моделей.

Выражения для критериев эффективности представим в ви­ де [26]

3) F, (X) = GOT) => min ,

где D j. - допустимая область выбора решений (2.4) - (2.14). До­ стижимые оценки критерия Q(X) находятся из решений скаляр­ ных задач оптимизации. Если предположить, что связь критериев Q и Т в течение всего срока эксплуатации Т е [7jnin> нв изменяется, то нормированные оценки критериев будут наиболее простыми:

обоснование компромисса в форме (2.52) и принятие частных кри­ териев эффективности по (2.37) завершает постановку многокри­ териальной задачи. В 3.10.1 обсуждаются результаты проектиро­ вания многослойных стрингерных оболочек на основе принципа оптимальности (2.52).

Многокритериальные модели стохастического программирова­ ния. Оптимальные проекты оболочек X полученные при сведе­ нии задачи ОПК к модели нелинейного программирования, как правило, находятся на границе области J) поскольку минимум критерия, например веса достигается при X = 0. Следова­ тельно, проекты могут оказаться недопустимыми {Х°ф Ъ ^) уже при малых отклонениях конструктивных параметров от оптималь­ ных значений [23; 32; 27], особенно с учетом требований надежно­ сти [27].

_ Рассмотрим вопрос о возможности использования проектов Х°, полученных из решений задачи НЛП (2.52) при допущении слу­ чайных малых отклонений от X имеющих место в процессе из­ готовления оптимальной оболочки; считаем вектор искомых пара­ метров случайным: X = X ^ .

учитывал рассеяние значений Х±, выделим два аспекта проб­ лемы: 1) оценка гарантии того, что решение задач НЛП (2.52) будет

ния Х ° путем замены значений х? ближайшими из сортимента X is [22]. Рассмотрение этих вопросов позволяет установить це­ лесообразность применения модели НЛП по сравнению с более сложными подходами: 1) стохастического [35], 2) дискретного [ 12; 35] программирования.

Сформулируем многокритериальную задачу стохастического программирования (ЗСП), имеющую детерминированным анало­ гом модель проектирования (2.52), (2.37). Для случайных реализа­ ций X| вес оболочки £?(Х, t )= G t является многомерной случай­ ной величиной. Введем вероятностные оценки (?., Рассмотрим два типа таких характеристик и соответственно два* вида постано­

вой оптимальности оболочки при стохастическом векторе 3L ,a целевая функция, заменяющая третье уравнение (2.37), примет !ид

. { '% P V s 6 * )3sPew ;

б) мерой (?(1) выберем среднее значение реализаций Q. : & L ) тогда целевая функция, заменяющая третье уравнение-(2.37), примет вид

где М - знак математического ожидания [35].

С учетом (2.39), (2.40) задача оптимального проектирования многослойной ребристой оболочки сводится, в соответствии с классификацией скалярных постановок задач стохастического программирования [35], к: а) многокритериальной Р-модели; б) многокритериальной М -модели стохастического программиро­ вания (обе модели рассмотрены в 3.10.2).

Оптимизация ребристых цилиндрических оболочек многоцеле­ вого применения. Различными классами задач ОПК являются [6; 23]: выбор параметров конструкции {X 9} , оптимальных при за­ данном воздействии Q0; создание оптимальных систем для не­ скольких видов воздействия {Q j}{ . Последнее может рассмат­

риваться как проектирование при неопределенности условий эк­ сплуатации относительно характера нагрузки. При исследовании ребристых оболочек здесь возможно: 1) выделение одного вида

Критерии оптимальности оболочек многоцелевого применения при неполной информации часто связаны с обеспечением ограни­ чений проектирования, требований работоспособности для всех q,c наиболее полным учетом имеющейся и возможностью полу­ чения дополнительной информации об условиях .эксплуатации.

В исследованиях многофункциональных конструкций [6; 23; 32] найдены условия оптимальности, обеспечивающие минимум веса (объема), и соответствующая целевая функция не задавалась при формулировке задачи ОПК. Получение подобных соотношений в случае проектирования ребристых оболочек при частично целочи­ сленном наборе X , учете общих и частных форм потери устойчи­ вости оболочки, учете ограничений прочности и устойчивости эле­ ментов и т. д. не представляется возможным; задача ставится в терминах нелинейного программирования [12; 34].

Выберем мерой эффективности проекта при некотором воздей­

стрингеров и шпаунгоутов; д = 9,8 м /с2; Ф= r fL ; bp=p0r 5; р с =

=/с/Я0; (\ц=Р ш /Р0; Po.Pc.Pwплотности материалов обшивки, стрингеров и шдангоутов соответственно. Обозначим V- v(£)Jbft.

Учет возможности многоцелевого применения оболочки дости­ гается путем введения дополнительных ограничений в задачу ОПК или на основе многокритериального подхода, в зависимости от целей и имеющейся информации об условиях эксплуатации. При детерминированных Q j наиболее известен в качестве компро­ миссного принципа оптимальности принцип равенства

Рх - парето-оптимальные оболочки. Реализация (2.42) также воз­ можна при минимизации (2.41) и объединении различных ограни­ чений задач НЛП, составленных для каждого вида воздействий Qj.

В постановках, где критериями качества служат оценки несу­ щей способности оболочки при нескольких нагрузках, задается ресурс / = и ставятся двойственные к (2.41) задачи [34] выбо-

ра параметров 2 ° , макисмизирукицих допустимые величины воз­ действий {Q ;}^ Здесь определение рациональных значений воз­ действий {fly Ш } можно представить в виде

Постановки (2.43), (2.44) предполагают решение следующих од­

чимость режимов воздействий Q j, связанная, например, с инфор­ мацией о частоте их возникновения, может учитываться введени­ ем в (2.43), (2.44) коэффициентов XjtZJ \ j =1 .

При условиях, когда возможны отклонения амплитуд многова­ риантной нагрузки от расчетных значений, возникают вопросы вы­ бора запаса несущей способности конструкций [7; 22]. Сформули­ руем соответствующую модель многокритериальной оптимиза­

ции. Пусть - вес оптимальной многофункциональной

= С -др*, С > 1 , удовлетворяющую требованиям проектирования

ющих указанным условиям и содержанию категории оптимально­ сти, выполняется за счет постановки задачи ОПК с критерием вида

F($h<P0'

где Kj - коэффициенты, учитывающие информацию о возможных изменениях внешних воздействий j -й природы; если таких дан­ ных нет, то A j - j J, 1c e [ l 7 J .

Помимо названных постановок (2.41) - (2.46), сводящих пробле­ му проектирования подкрепленных цилиндрических оболочек при нескольких видах нагружения к многокритериальной задаче не-

В рамках изложенного алгоритма t -критериальная задача сво­ дится к последовательности двухкритериальных. Рассмотрение двухкритериальных задач опирается на гипотезу „бинарности сравнений” : ЛПР устойчиво сравнивает объекты, отличающиеся по двум критериальным свойствам [24]. Блок-схема и описание ал­ горитма оптимальной аппроксимации Рр даны в приложении.

Процедура многокритериальной оптимизации'подкрепленных оболочек с равномерным размещением точек в области компро­ миссных решений. Отличительной чертой рассматриваемого под­ хода к решению МКЗ является стратегия рационального исследо­ вания области Парето (2.32) с помощью определенным образом подобранных „скалярных" моделей задач ОПК. Эти задачи априори (за счет своей формулировки, а не в результате отбора из некото­ рого множества пробных точек, заданных в пространстве, пара­ метров проектирования [33]) обеспечивают, по возможности, „рав­ номерное", согласно [33], размещение решений в области (2.32). Реализация класса возникающих здесь задач ОПК проводится ме­ тодами случайного поиска, приведенными в 2.2. Эффективность этих алгоритмов обусловлена тем, что на определенных этапах случайный вектор Xь е 2 ^ , нв пРиг°Днь,й Аля одной из задач ОПК, может оказаться приемлемым для некоторой другой. Тем самым обеспечивается снижение ресурсов ЭВМ на реализацию совокуп­ ности искомых решений.

Подход с использованием равномерного зондирования Рр пред­ ставляется более обоснованным при достаточно большом числе критериев эффективности {fy ( I) } . На его основе происходит де­ композиция процесса проектирования на следующие этапы: 1) ап­ проксимация (подготовка диалога с ЛПР);Ч2) прогнозирование {F.C(X)} и выбор оптимума ^ p t (диалог „ЭВМ-ЛПР"); 3) расчет

Построение модели аппроксимации области Парето по р-узлам: А р £ А $ ,+(1-£)Ар<*1>ec[0,1]

Ш-расчет параметров оптимальной конструкции

Рис. 4

оптимальных параметров Xopf (рис. 4). „Равномерное” заполне­ ние P f „узловыми" точками позволяет повысить качество соот­ ветствующей аппроксимации Ар^ (2. 32), а подготовительный

этап сокращает время обращения к модели (этап „диалога" „ЭВМ-РПР” ) до приемлемого для проектировщика.

После выбора на к -и шаге установленная структура

предпочтений ЛПР (и „узлы” Р р ) переносится на часть области (232) и процесс расстановки точек в Рр, построения аппроксима-