книги / Справочник по расчету режимов работы электрических конденсаторов

случаев

потерями сквозной проводимости

можно

пренебречь.

диапа­

Потери в металлических

частях

конденсатора в

реальном

зоне частот обычно невелики (до

10 % от потерь в диэлектрике). При

необходимости эти потери сравнительно просто рассчитываются.

Кро­

ме

того,

необходимо иметь в виду, что этот

вид

потерь

учитывается

интегрально вместе с диэлектрическими потерями в том случае,

кот да

параметры релаксаторов определяются по

частотным

характеристикам

конденсатора, а не диэлектрика.

потери

вносят релак-

Таким образом, основной вклад в суммарные

сационнные потери в диэлектрике. В этом случае эквивалентная

схема

конденсатора представляет собой

набор

конечного числа (обычно 3 . . .

6) парал­

№

лельно включенных цепочек С* R {, каж­

U,(t)

дая

из

которых

моделирует

единичный

Г

П

релаксатор с постоянной времени релак­

сации

тi = CiRi

(рис. 2.8, в).

1

При

использовании аналитических

nI

tu

, u

t

методов

и при

известных

параметрах

Та

j1 .

всех

k

ветвей эквивалентной

схемы за­

1

дача

расчета сводится к расчету потери

U,(t-tu)

1

в t-м релаксаторе: рассчитывается сред­

—---- ГТ- I

Г

T f l .

няя мощность потерь за период повторе­

Q(t)

1

ния несинусоидального напряжения Рп{.

Рис. 2.9. Временная

диаграмма

прямо­

Q'M eW

I

0

______ 1

угольных импульсов (а) и характер

из­

менения заряда на конденсаторе

Ct

(б)

Общая

мощность

релаксационных потерь всей

модели

конденсатора

на

последнем этапе

находится

суммированием

потерь во

всех

релак­

саторах:

t= 1

<2Л8>

Рассмотрим методы расчета мощности потерь в

установившемся

режиме

на примере

простейшего

несинусоидального

напряжения —

последовательности

идеальных

прямоугольных

импульсов

размахом

(/

периодом повторения Тп и длительностью tu (рис. 2.9,

а).

(f/p

npi <><*<*.;

(2.19)

I 0

при /и < t « Гп.

u(t)

«

u ^ t)

— ux(t — t j ,

(2.20)

где ux(t)

t/p при 0 <

/ <

oo;

ux(t — tx) =* i/p

при /и < / < o o .

При

таком

представлении напряжения запасаемый

в конденса­

торе €( заряд Q[ (0

во время

действия первого перепада напряжения

(рис. 2.9,

б) определится

произведением

Qi (0 -

UPC( [1 -

А (01 - и рСЛ\ -

ехр С-//ТД,

(2.21)

где

А (/) =

ехр (—//т*> — переходная

функция

единичного

релаксатора.

изменяющаяся в пределах от А (0) = 1

до Л (оо) = 0; Т/ =

R f i i ^

постоянная времени релаксатора.

конденсатором заряд

QJ(/)

во

Аналогично

определяется

отдаваемый

время

паузы между

первым и вторым импульсами, как реакция

цепи на

второй

перепад

напряжения:

<гг <0 =

u pc t О -

ехр [ -

(t -

g /т,]}.

Результирующий заряд за первый период

повторения в соответствии

с выражением (2.20)

Cl (0 = Qi (0 - СГ(0 =

СрС( (ехр t j x t -

1)ехр ( - t/xj) =

(2.22)

= C„ехр (—t/xi),

где введено

обозначение

См *»'u pc t (ехр/и/Т| — 1).

(2.23)

Закон изменения заряда в установившемся режиме найдем, вос­

пользовавшись

принципом суперпозиции,

в соответствии с которым

заряд при действии (л +

1)-го импульса ищем в виде суммы слагаемых,

t

ввести время (t — T J и т. д. Заряд же от действия первого перепада

(я

1) - го импульса с;+,(0 определится формулой (2.21) подстановкой

в нее времени (/ — пТп).

Таким образом,* закон изменения заряда

при действии (л+1)-го

импульса в интервале времени пТ0 < t < пТп +

tB

<?„ (О = V f r - и *С*

Г - l7p((-7 ^ /4 /T<1 ехр (- ' 7т<)- (2,24)

1 - е х р ( - / и/т,) _

)•

(2.26)

1 — exp ( - T J т,)

'и

Г ‘П

Рп( =

^

{ IRt W и (t')ldt']t dt' + J

Rl [dQn (П /dt'l8 d f J .

(2.26).

o

To же

самое

значение

Pni,

но

при

меньшем объеме вычислений

(в чем нетрудно убедиться),

получим,

воспользовавшись формулой

* и

РЫ=* T~n § u(t) № * <*'> dt' i dt’’

(2-27)

"о

где и (t) — закон

изменения

напряжения

во время действия

импуль­

са, определяемый

из

выражения

(2.19).

Подставив в

формулу

(2.27)

значение и (/) = (Jp

и

производную

от QH(/'),

после

несложных

пре­

образований

получаем

U\C{

{1 -

exp ( -

(Т„ -

g /т,]} [1 -

ехр ( - / н/т,)]

_ 1*

ы

Т„

1 — exp (— Tn/%t)

=

f/2 Q

—S —

Мц-

(2.28)

В выражении

(2.28)

1

П

„

.

{1 -

ехр [ -

(Тп -

/и)/т,]} [1 -

ехр (- < и/т,)]

а

1 — ехр ( - T J т,)

—безразмерный коэффициент, характеризующий потери

в *-м

релакса­

скважности следования импульсов

q = 77/и можно

найти

исследо­

ванием функции N il = f(q) на экстремум. Полагая

Тп =

const, нахо­

дим /и, при котором N ц будет максимальным. Дифференцируя

dNn

ехр (— t j i j )

— ехр [— (Тп — д/т,-]

dtK ~

т ,[1 — ехр(—Гп/т,)]

и приравнивая производную нулю,

получаем равенство

ехр ( - Г п/т,) »

ехр (—2^и/х^),

откуда максимум функции

будет при Тп = 2/и, т. е. при скваж­

ности q = 2:

“

СО = UR (0

+

ис (0-

(2.29)

Известно, что uR (t) =

R{ dQ (1)/dl

;

uc (/) =

Q (t)/Ct, где Q (t) — заряд,

R t dQ (t)/dt +

Q (t)/Ci = и (t) или

dQ (t)fdt + Q (0 /T , = и (t)/Rt.

(2.30)

Интегрирование

уравнения (2.30)

при заданном u(t) дает закон

изме­

нения запасаемого заряда Q (7),

который в C B O I O

очередь позволяет

рассчитать мощность потерь но формуле (2.26) или

(2.27).

пряжения (рис. 2.9, л). Решение уравнения (2.30) следует

произво­

дить для двух временных интервалов:

t <

/и)

во время действия

импульса

напряжения (0 <

<2„ W =

u P° i + А ехР (-*/**);

(2.31)

во время паузы (0 <

t <: tn)

Qn (/) =

J5 exp (—//T,).

(2.32)

емся

Для

определения

постоянных интергирован ия А

и В воспользу­

двумя условиями:

из которого следует ’равенство

зарядов

непрерывности кривой Q (t)^

на границе интервалов

QH(^и) =

Qn (0);

установившегося импульсного режима, или условием периодичности

процесса

Q (t) — Q (t +

Тп).

В конкретном

случае это условие означает

равенство

<ЭИ(0) = <?п (/„).

для

С учетом этих условий составляется система из двух уравнений

определения А и В.

Решая

эту систему и

подставляя

значения

А и В в выражения (2.31) и (2.32), получаем:

действия

закон нарастания заряда на конденсаторе С{ во время

импульса напряжения

(интервал 0 < t <

/и)

1 — ехр (—7„/Т/)

Сн (0 =

UpCl

А—ехр{—

ехр

^т<)»

(2-33)

закон убывания заряда

в

паузе между импульсами

(интервал

о < / <

/„)

1 — ехр (—/и/т {)

(-'/» ,)•

е-*>

По

формулам

(2.26)

и (2.27)

рассчитывается мощность потерь для

конкретного и (7)

(рис.

2.&,

а).

U (Р) = (Ир/Р) [1 - ехр (—р/и)]/[ 1 - ехр ( - р Г п)].

(2.35)

Uj,Cl

1 — ехр (—ptH)

(2.36)

/ (Р) = U (р) К (р) = 1 + pTi

1 _ ехр (—рТп)

*(0 = *с, ( 0 + *прЮ.

(2-37)

;пр (t) = i (t) - ;св (t).

(2.38)

1 — ехр tu/тt

*св (0 = Res [/ (р) ехр (pt)]Pi =

t —ехр T 'J T} 6X9

(2'39)

Un

ехр Ттл[Х:

*• (t) 1

(2.41)

ных функций, синусоид, экспонент). При этом очень сложные

формы

импульсного напряжения трудно представить суммой

простых

функ-.

ций^ в этом — недостаток данных методов. Метод,

основанный

на ин­

тегрировании дифференциального

уравнения,

требует

только

функци­

онального описания закона

изменения

и (t)

на отдельных временных

интервала к

импульса,

в чем его

преимущество.

кон­

Пример 2.5. Рассчитать

мощность

потерь в

коммутирующем

денсаторе тиристорного преобразователя, на который

действует

на­

пряжение довольно сложной формы, изображенное на рис. 2.10.

Вос­

пользуемся методом, основанным на решении дифференциального

урав­

нения модели релаксатора.

на

отдельных

временных

интерва­

Закон

изменения

напряжения

лах действующего на

релаксатор

импульса

можно

записать

в

виде

Ги р/2 [1 — (совя//ф)/]

при 0 <

t <

*ф;

£/„

при 0 <

/ <

*в1?

=

/ u . - [ ( U p +

U n)/tc]t

при 0 <

t <

tc;

(2.42)

- U „

при 0 <

/ <

<^1

при 0 <

t <

<п.

для

интервала 0 < /< (Ф

U.Ct

U Pc 4

я

*

2т^ d n - f - / +

Q i(0 = - F -

2 (^ф+

■cos —

t

ГФ

2 (*ф + я*Г{>

+ в * « р ( - т ) ;

(2.43)

для интервала О<

/ <

/ в1

Qa (О = ^ РС,-+ QBl exp (—//Т,);

(2.44)

для интервала О< / < <с

Qa (О = ^ рСг -

[(С/р+

f/n) / y

(* - тг) +

Qc exp (—//т#);

(2.45)

для

интервала О <

? <

<?4 (О =

- U

nC i + <?в2 ехР (—<т«)8

(2-46)

для интервала О<

t <

fn

Q. (О = Qn (-'/* .)•

(2.47)

I Qi (0) = Q6 (У ;

Qt (V =

Q. (0);

< Qa (y)=*Qa(0);

(2.48)

Qa ( g -

Q« (0);

Q« (У ) =

Qa (0).

[1.+ ехр (—/ф/ t f ) ! {ехр [— (/в1 + <с +

<в2)/тЛ + ехр (—t„/x{)}

_

Х

1 - ехр(—Гп/т,)

i \

[1— ехр(—<с/т,)]{1 —ехр[— (Гп — /с)/т,]>

/

U ' 2

0 4 )

1 — ехр (— T J X i )

+

Ul 1 + ’ехр (—Tn/ii)

\

UjCi

+

Щ 2 [1- ехр (—Тут,)!^ (8/2ф + яЧ 2) J “

Гп

Л/ц.

(2.50)

U \ct 7 Tt

х\

[1 — ехр (—/С/Х()1 {1 -

ехр [ - (Гп -

/с)/т,]}

п1~

Т п [ tc

t2

1

ехр (

Tn/xi)

_

Ь (П2Т;)

2<с(<ф + " !т<)

Х

[1 -f ехр (— /ф/Т;)] [1 — ехр (—/с/т,)] [ехр (—<в/т() + ехр (—гп/т,)]

Х

1— ехр (—T’H/TJ)

(я2т|)2

[ 1+

ехр (—*ф/тг)] {1 + .ехр [—(Гп — /ф)/т^}

+

4 ( /| + я 2чф2

1 -

ехр (-Т„/Х{)

+

" 2т^ф

|

(2.51)

+

8 (/ф -+• я 2т2)

Г

Выражение (2.51)

в

предположении

=

0 и tQ= 0

преобразу­

и (/) = ut (0 +

и, (0— «3 (0 -

«4 (0.

(2.52)

где иг (t) — (Uр/2) [1

cos (я/ g

/],

~2 v*/(О —=

vwp(^р/2) [1 — cos (я//ф) X

X (t— /ф)]; «з (0 = (^р/2) [1 — cos (я/ g

(/ — /ф — у ] ; «4 (t) =

(Upl2)X

X [ 1 — cos (я/ g

(/ — у

].

Применив

теорему

запаз­

дывания,г найдем

изображение

первого импульса

по Лапласу

с учетом выражения (2.52)

- ч

r V e

___ hi_____

/с

и

в

---------------Zb— 1 -

Тл

'

« 1

(Р) = t/p«*/2/> (я* +

Р2ф

{1 + exp С—p/*) -

— ехр [—р (/ф +

<в)] — ехр (—р/и)}.

Изображение же всей последовательности трапецеидальных им­

пульсов в интервале времени

0 < /

<

оо

V

2

1 +

ехр (—р ф

V(p)=

P2tф)

1 +

ехр 1-рТ„/2)1

2Р (я 2 +

Изображение тока с учетом передаточной функции цепи C{R{

U^n'Ci

1 + ехр (—р/ф)

/(р) = 2(1+рт,)(я2+ р 2ф

1 + «Ф ( - P T J 2 )

*

Оригинал свободного тока ищем как вычет функции

Г(р) ехр (pf)

относительно

полюса передаточной

функции цепи

= — 1/т/г

(0 = Res и (р) ехР (Р<)]л

(/рСдпЧ,

X

2 ( ' | + я 8т?)

1+ ехр ф т ,

I

t

\

(2.53)

1 + е х р Г п/2т,еХр(

t ,

J*

воздействия

только

напряжения .^(7) в виде суммы вычетов выраже­

ния относительно полюсов рг =

— l/t{, р2 , 3

в

=Ь /л/t

‘• '( 0 =

2 Res

UpCjn*

ехр (р0

2(1+рт;)(па+ р *ф

Р 1» Р2,3

*2 - »- -т2т?\

< + ят/ [ехр (—t/ r{)— cos (я/ф /]}.

: U pCml2 (<| +

я 2т|) {(фsin (я/ф

(2.54)

Полный

ток

при действии

вершины первого

импульса

находится

аналогично,

только

необходимо учитывать

действие

суммы

напряже­

ний ux(t) +

u2(t):

V p C in a [1 + exp (—рф]

*' (0

Res

exp (p/)J.

PI, P2,3

L 2(1 + рт,)(я* + рф

^

(-*)■

=

^ p Q n 4 f[l +

exp (ф т;)]

2 ( ^ + „ST2)

•exp

(2.55)

При нахождении полного тока во время действия спада импульса

учитывается

действие

на релаксатор алгебраической

суммы

напряже­

ний иг( 0 +

u2(t)

— u8(t):

r <

„ -

£

+

exp (—рф — exp (—рГ„/2)]

(1 + р т ,)(я * +

р*ф

exp (p<)}=

Pit P2t3

=

UbCin*it

~2^

+ П2Т2}" И + exp (/ф/т,) — exp (Tn/2rt)] exp (—#/x,) —

t/DC,n

(2.56)

-

s!n я /'ф V -

TJ 2) -

cos я/<ф (t -

Taf2)J.

2 (/2 ^ a2)

Щ

Необходимые для

интегрирования токи

установившегося процес­

са на отдельных временных интервалах импульса

в соответствии с фор­

мулой (2.38) определяются

алгебраическим суммированием выражений

(2.54) и (2.53) для интервала времени 0 <• / «

(2.55) и (2,53)

*пр (0 =

*' (0 — *св (0;

(2.57)

для

интервала

< / < /ф +

/в:

*пР « =

(0 +

(2.58)