книги / Непараметрическая статистика

векторов теперь существенно зависят от того, одинаково ли распределены X и У. В самом деле, при одинаковых распре­ делениях X и У их выборочные значения в смешанной вы­ борке имеют статистическую тенденцию к равномерному пе­ ремешиванию; и, наоборот, при различии распределений бу­ дет происходить их статистическое разделение в смешанной выборке. Например, при альтернативе сдвига статистически меньшая величина будет иметь тенденцию к обладанию мень­ шими рангами; при различии дисперсий — значения менее разбросанной величины имеют тенденцию занимать в сме­

жировки и типом решаемой задачи, приведем третий пример. Пусть имеется двумерная выборка {(хг, у ь)}\ требуется ус­ тановить наличие или отсутствие статистической связи меж­ ду компонентами X и У выборки, и сделать это необходимо, используя только ранговые методы. В данном случае выбор­

предыдущих двух примерах, но наличие или отсутствие свя­ зи между X и У при таком способе ранжировки приводит к наличию или отсутствию связи между Rx и R r, которую за­ тем и обнаруживают тем или иным образом. Впоследствии мы будем говорить об этом детальнее, а сейчас снова под­

д л я з а д а ч и и н ф о р м а ц и я .

Итак, решение всякой статистической задачи ранговыми методами начинается с выбора такого способа упорядочи­ вания, при котором изменения исследуемого фактора приво­ дят к известному изменению свойств рангов, ранговых век­ торов или матриц.

* Разумеется, величины X и Y должны быть одной физической природы

и размерности.

93

Следующий подготовительный шаг во всякой ранговой процедуре состоит в отборе или рассортировке полученных рангов: в первом примере нам потребовалось отделить ран­ ги положительных величин от рангов модулей отрицатель­ ных; во втором примере — ранги х-ов от рангов у-ов; и т. п.

Во всех примерах специально подчеркивалось, что при ран­ жировке сохраняется признак принадлежности данного выбо­ рочного значения к тому или иному подмножеству; именно по этому признаку и осуществляется последующий отбор нужных рангов.

Для того, чтобы формализовать операцию отбора и иметь возможность выражать ее аналитически, вводится специаль­ ный оператор, называемый и н д и к а т о р о м и обозначаемый символом Zia . Индекс i индикатора есть натуральное число,

индекс а характеризует признак того подмножества, которое нас интересует, а сам индикатор принимает либо нулевое, либо единичное значение. Индикатор, по существу, является

из них (а) может быть вообще не числовым.

Предположим, что символ Кронекера можно применять для индикации множеств: пусть б р = 1 , если множества а и Р совпадают, и бар = 0 , если они различны. Тогда индикатор Zja можно представить как произведение двух символов Кронекера:

1, i ~ k и а=р

zZik

О, i=j=k или а=^р.

Индикатор можно употреблять и как показатель степени, и как множитель. Так, примененный к рангу К[ элемента wt смешанной выборки из второго примера индикатор дает:

Естественно, индикатор можно употреблять не только по отношению к рангам, но и к элементам любых множеств, состоящих из дискретных подмножеств.

§ 5.2. СВОЙСТВА РАНГОВЫХ ВЕКТОРОВ ПРИ ИНВАРИАНТНОСТИ К ПЕРЕСТАНОВКАМ

Как явствует из рассуждений предыдущего параграфа, статистические свойства рангов прежде всего определяются

94

двумя факторами: 1) статистическими свойствами выборки и 2) способом упорядочивания выборочных значений. В дан­ ном параграфе рассмотрим свойства ранговых векторов для случая, когда распределение выборки инвариантно по отно­ шению-к перестановкам аргументов, т. е. когда распределе­ ние симметрично относительно своих переменных (например, если выборочные значения независимы и одинаково распре­ делены) .

Сначала рассмотрим случай, когда упорядочивание про­ изводится непосредственно по алгебраическим значениям из­ меряемых величин (будем по-прежнему пока рассматривать непрерывный случай). Как отмечалось в § 5.1, совокупность упорядоченной статистики {х (R)} и рангового вектора {R,}

находится во взаимно однозначном соответствии с исходной выборкой {Х;}. Следовательно, совместное распределение f векторов {Х(Л) } и {./?;} совпадает с распределением выборки:

При инвариантности к перестановкам (5.2.1) упрощается:

(Во избежание недоразумений следует помнить, что хотя в (5.2.2) ранговый вектор явно не фигурирует, он исчез при переходе от (5.2.1) только из-за предположений инвариант­ ности) .

Учитывая, что безусловное распределение рангового век­ тора (при соблюдении инвариантности!) является равномер­ ным:

что безусловное распределение упорядоченной статистики да­

р а с п р е д е л е н и я в ы б о р к и по о т н о ш е н и ю к п е ­ р е с т а н о в к а м у п о р я д о ч е н н а я с т а т и с т и к а и р а н г о в ы й в е к т о р с т а т и с т и ч е с к и н е з а в и с и м ы (теорема Гаека).

95

Прямым следствием этого факта является равенство соот­ ветствующих условных и безусловных распределений:

Другим важным следствием статистической независимости упорядоченной выборки и рангового вектора является сле­ дующая теорема (Гаек и Шидак [1]).

П ри и н в а р и а н т н о с т и р а с п р е д е л е н и я вы­ б о р к и к п е р е с т а н о в к а м д л я л ю б о й с т а т и с ­

тистику и упорядочивание абсолютных значений. Определим знаковую функцию как

I— 1, х < 0 ,

изнаковую статистику sign (x;). Тогда имеем следующую со­ вокупность векторов, связанных с исходной выборкой:

знаковый вектор {sign *,},

вектор абсолютных значений { | хг|},

ранговый вектор абсолютных значений {R(+}.

Связь между компонентами этих векторов выражается

96

Кроме того, очевидно, что при статистической независи­ мости двух случайных величин X и У их упорядоченные ста­ тистики и ранговые векторы, независимые для каждой из величин в теореме Гаека, независимы между собой.

§ 5.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГОВОГО ВЕКТОРА ПРИ ОТСУТСТВИИ ИНВАРИАНТНОСТИ К ПЕРЕСТАНОВКАМ

несимметричности распределения выборки относительно пе­ рестановок аргументов, либо (при симметричности распре­ деления) благодаря специально выбранному способу упоря­ дочивания, обеспечивающего нарушение равновероятности различных реализаций рангового вектора при отходе от ну­ левой гипотезы.

(5.3.1) обычно затруднительно; поэтому представляет боль­ шой интерес приведение его к более удобной форме. Зададим произвольную плотность р(х 1 , ..., XN), удовлетворяющую толь­

ко двум ограничениям:

а) р является функцией, симметричной относительно пе­ рестановок аргументов; б) р > 0 везде, где q> 0 Помножив

97

Теперь (5.3.3) выглядит как условное математическое ожи­

н а л ь н а м а т е м а т и ч е с к о м у о ж и д а н и ю о т н о ш е ­

з а д а н н о м у р а н г о в о м у в е к т о р у .

Эта теорема может быть обобщена на случай совокупно­ сти рашовых векторов нескольких выборок или совокупно­ сти векторов многомерной выборки (Фрэйзер [1]):

P q({Ru\, {*2,},..., {**.}) =

Перейдем теперь к обобщению теоремы Хёфдинга на слу­ чай, когда распределение исходной выборки симметрично от­ носительно своих переменных, а неинвариантность распреде­ ления рангового вектора обязана своим происхождением со­ ответствующему способу ранжировки. Начнем с двувыбороч­ ных задач, для которых подготовительными операциями яв­

рядочивание смешанной выборки; в) отбор рангов, принад­ лежащих одной из исходных выборок. Пусть для простоты распределения q не только симметрично, но и факторизуемо (т. е. {х;,} — независимы). Тогда распределение рангового вектора {Ron } выразится как

98

(5.3.7)

Переход к одновыборочным задачам (типа задач на сим­ метрию распределения) несколько осложнен тем, что при образовании смешанной выборки из модулей выборочных значений (при проверке симметрии относительно нуля) чис­ ло компонент каждого из ранговых векторов {R+} и {R~} яв­

но большим выборочным значением, мы ожидаем, что оно получит сравнительно высокий ранг. Проведем, однако, более конкретное рассмотрение статистической связи случайных величин X и R.

Прежде всего, наличие такой связи выражается в нефакторизуемости совместного распределения X и R или в нера­ венстве соответствующих условных и безусловных распре­ делений. Пусть, для конкретности, наблюдаемые величины Х\, Х2, .., XN независимы и одинаково распределены с плот­

ностью р{х). Безусловное распределение величины X, (когда в качестве условия фигурирует знание ранга Rt ), очевидно, характеризуется плотностью

( 5 .4 . 1 )

99

распределения, характеризующие ситуацию. Так как безус­ ловное распределение ранга в наших условиях равномерно (см. § 5 2 ) :

(5.4.3)

Р ( й ) = д

то совместное распределение f(xt , R) равно /(* „ R ) = f ( x l'R) -P(R) -

(N-1)!

F*~ \xt) [ l - F ( x l)]W Rp(xt). (5.4.4)

(К -1 )! (N—R)\

(Отсюда, кстати, можно формально получить (5.4.1): f(xt ) =

и R полностью определяется приведенными выше распреде­ лениями, интересно, однако, рассмотреть некоторые частные характеристики статистической связи между этими случай­ ными величинами (Ф. П. Тарасенко и В. П. Шуленин [1]).

Начнем с линий регрессии, E(R!x,) и E(xl/R).

E( R х , ) — 2 R ’ P ( R I X i ) =

к

R2

F*(xt) - n - F ( x . ) \

/г- i N F ( x t)

1

NF(Kt)

:R2> D ,

шо

где < i? 2;> £)— средний квадрат величины, распределенной биномиально, который можно вычислить, например, с помо­ щью производящей функции моментов. Окончательно имеем:

Вычислим теперь E(xJR).

Е{х, '/?)= J JC,• / (xJR) dxt=

№

xl Fli- l (xl) \ l —F(xt)]N- Rp(xt) d x l=

(Л -1 )! (N—R)\

N1

J Л -1(у ).у * -1-(1~У )А,_я<ф. (5-4.7)

( R - l ) \ ( N - R ) \

Дальнейшие аналитические выкладки возможны лишь при конкретизации F (x). Пусть, например, F(x)—x, лге[0, 1]. Тогда

£ (х ,Л ) == ---------—----------- У^( 1—y)N~Rdy =

между линиями регрессии неограниченно убывает, что говорит об у с и л е н и и с в я з и при в о з р а с т а н и и N.

Рассмотрим другую меру статистической связи—.коэффи­ циент корреляции рхя между хг и R. По определению,

12

101

Подставив (5.4.11) в (5.4.10) и приводя подобные члены, окончательно имеем:

Соотношение (5.4.12) интересно тем, что коэффициент кор­

* Разумеется, имеются в виду лишь распределения, для которых суще­ ствуют интегралы, входящие в определение коэффициента корреляции.

102