книги / Непараметрическая статистика

в качестве оценки G(x). Получаемые при этом статистики оказываются симметричными относительно величин F(хi),

д л я таких статистик введено специальное наименова­

ние с т а т и с т и к с т р у к т у р ы d*. Различие критериев внутри этого класса достигается выбором конкретного «рас­ стояния» d(F, G). Многие из критериев этого класса доста­ точно хорошо изучены и поэтому мы ограничимся лишь упо­ минанием их основных свойств и ссылками на соответствую­ щие работы.

1. К р и т е р и и К о л м о г о р о в а - С м и р н о в а предна­ значены для проверки гипотезы Н0 против альтернативы Н\

(Dn — критерий Колмогорова) и при альтернативах H t или Hi (DN , D N — критерии Смирнова) **. К статистикам Смир­ нова приводит использование расстояния d[(F, G) с i|>(f) = l. Эти статистики записываются в виде:

Bo многих работах приводятся распределения этих стати­ стик; за подробностями мы отсылаем читателя к обзорным статьям Дарлинга [1] и Залера [1]. Их асимптотические рас­ пределения не являются нормальными. Например, обе ста­

тистики D N и D N асимптотически имеют распределение

lim Р [Dt V W <аГ} = 1

пределены равномерно. Хотя этот факт почти тривиален, многие авторы, желая подчеркнуть его значение, формулируют его в виде теоремы о непараметричности (distribution-free) статистик структуры d.

** Здесь и в дальнейшем для удобства критерий, основанный на стати стике S, будем называть S -критерием.

215

то статистики критериев задаются выражениями

216

му для вычисления критических значений соответствующих статистик достаточно знать распределения статистик R t (b, 1)

и R A b , !)•

Асимптотические распределения этих статистик были най­

Таблицы этих распределений можно найти у Большева и

ния х». Эти критерии, в отличие от рассмотренных выше, соответствуют выбору «расстояний» в интегральной форме. Так, например, выбрав расстояние do( F, G) , получим стати­

стику, предложенную Мозесом:

Статистика Мозеса также является статистикой структу­

ры d. Статистика ТЛ при гипотезе Н0 имеет асимптотически нормальное распределение со средним значением, равным '/г и дисперсией l/uN.

Другой статистике, предложенной Пирсоном [1], соответ­

ем произведения вероятностей Пирсона. Критическая область гс~-теста охватывает малые значения статистики.

Критерии Андерсона и Дарлинга соответствуют выбору «расстояния» di(F, G). Статистики этих критериев, предна-

217

значенных для проверки гипотезы Н0 против Ни записывают­ ся в таком виде:

J [ О д ^ Ь /З Д Ч И * ) ] d F( x) =

| ^ ф 1 И ^ о ) ] - ^ ф 2 [ / г( ^ ) ) ] } + о/ ( 1 - 0 * Ф ( 0 ^ ,

где

t

Эти статистики также являются статистиками структуры d и, следовательно, их распределения не зависят от F(x) при

гипотезе. Асимптотическое распределение статистики Моль которое оказывается не нормальным при гипотезе Н0, впер­ вые было получено Смирновым [3]; позднее Андерсон и Дар­ линг [1] получили более точный результат и табулировали величину

lim P(N ®>2^ <»).

N-±a>

Распределение величины при малом объеме выборки бы­

ло исследовано Пирсоном и Стефенсом [1], которые пока­ зали, что сходимость к предельному распределению с увели­ чением N является очень быстрой. Для выборок объема Я >20, асимптотическое распределение отвечает всем прак­ тическим требованиям к точности.

Модификация статистики А/ю^, предложенная Андерсоном

более чувствительным к отклонениям на «хвостах» распре­ делений. Этими авторами было получено асимптотическое

218

2

распределение статистики Q«, а Льюис [1] табулировал его и исследовал распределение для малых объемов выборки. Оказывается, что сходимость к предельному распределению, как и для статистики Wcoh , является чрезвычайно быстрой, и уже при У > 1 0 асимптотические результаты дают удовлет­ ворительную аппроксимацию.

Укажем на один метод, позволяющий в ряде случаев быстро получить асимптотические распределения тестовых статистик структуры при гипотезе. Этот метод основан на представлении тестовых статистик в виде некоторого случай­ ного процесса, как это впервые проделал Дуб [1]. Введем процессы

yiN( x ) = VI T \ Fv ( x) ~F( x) }

тистики данного "йараграфа могут быть выражены через слу­ чайный процесс l N (t). Например,

Согласно лемме 2 (§ 8 гл. IX, Гихман и Скороход [1]),

Иш Р >MlN(t))<x}^P\<p(Ut))<x},

219

где ф — непрерывный на D[o,i] функционал (приведенные выше представления статистик удовлетворяют этому свойст­ ву) . Последнее соотношение и позволяет находить асимпто­ тические распределения соответствующих тестовых статис­ тик. Примеры, иллюстрирующие такой подход, смотри у Гихмана и Скорохода [1], Конюховского [1], Гельцера и Пайка [1], Дуба [1] и др.

§ 9.4. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ НА ВЫБОРОЧНЫХ ИНТЕРВАЛАХ ПРИВЕДЕННОЙ ВЫБОРКИ

Если при построении тестовой статистики пользоваться оценками распределений, основанными на выборочных интер­ валах (т. е. полиграммами или их интегралами), то возника­ ет класс критериев согласия, свойства которых связаны со статистическими свойствами выборочных интервалов. Дадим краткий обзор данного класса критериев согласия, заметив при этом, что многие тестовые статистики этого типа были предложены чисто эвристически, так что пока не всегда мож­ но указать, какому «расстоянию» соответствует данная ста­ тистика.

Эудем рассматривать далее лишь критерии, основанные на выборочных интервалах приведенной выборки. Пусть хи

симметричные относительно своих переменных, будем называть ст а т и сти к а м и « с т р у к т у р ы D» (Тарасенко [7]). Поскольку при совпадении функции преобразования F с ис­ тинной функцией распределения G выборочные интервалы {А#} распределены известным образом независимо от типа распределения (см. § 4.3), статистики структуры D, на том же основании, что и статистики структуры D, могут быть на­ званы непараметрическими (distribution — free). Статистиче­ ские свойства статистик структуры D при гипотезе могут быть получены с помощью теории случайного разбиения единич­ ного отрезка (Моран [1, 2], Кимбалл [1] и др.).

К настоящему времени наиболее детальные результаты получены для тех критериев согласия, которые основаны на полиграмме первого порядка (см. § 7.5); напомним, что со­ ответствующая оценка функции распределения выразится в этом случае как*

* Впервые оценка функции распределения (9.4.1) была предложена Пайком [2].

220

Кроме того, эвристически были предложены статистики, ис­ пользующие функции выборочных интервалов, например, их отношения, упорядоченные интервалы, их частичные суммы и т. д.

Наибольшее внимание исследователей привлекли статис­ тики, имеющие аддитивную структуру, т. е. имеющие вид

дено выражение для характеристической функции статистики Т при произвольной функции h (х):

Используя это выражение, нетрудно получить моменты ста­ тистики

р,==£7’==Л,(Лг+ 1 ) [ (1 -~x)N- 1h(x)dx,

о

р8= £ Р =Л Д Л Г+1) / ( 1 —л:)^-1 A2 (JC) flfjc +

(Естественно, эти же формулы получатся при непосредствен­ ном использовании распределений § 4.3). Исследуя асимпто­ тическое поведение характеристической функции (9.4.3) при заданной h(x), можно установить асимптотическое распреде­ ление данной статистики.

Приведем теперь результаты для наиболее изученных ста­ тистик вида (9.4.2).

Статистики типа

ЛЧ-1

П = 2 А* - а^ 1 (9.4.5) »=i

221

потезе; в дискуссии по статье Гринвуда Ирвин предложил

рассматривать статистику 'jv-j-l) ’ асимптотическая

нормальность которой при гипотезе была доказана Кимбал­ лом [1]. (Заметим кстати, что статистики Ирвина и Гринву­ да эквивалентны, поскольку ЕАд = 1). Случай произвольного

нормальность статистик Кимбалла Т\- (T'I ~ N ( Hn , aN))- Па­ раметры (% и oN соответственно определяются выражениями

|Г (2а + 1 )-(а 2 + 1)Г2(<х-г1Г

стремится при N-*oо к стандартному нормальному распре­ делению.

Следующий тип статистик (9.4.2) можно получить, ис­ пользуя «расстояние»

которая была предложена Кендаллом (в дискуссии по статье Гринвуда [1]) и детально изучена Шерманом [1]. Последний доказал асимптотическую нормальность статистики Г2 при гипотезе и нашел выражение для ее моментов также при ис­ тинности гипотезы:

222

стремится при N-+oо к стандартному нормальному распре­ делению при истинности гипотезы.

Рассматривая различные возможности определения функ­

(Здесь С=0,577... — константа Эйлера). Асимптотическое распределение 7'4 не является нормальным в связи с неогра­ ниченностью моментов величин 1/Д Л (см. § 4.6).

При использовании в качестве «расстояния» кульбаковской дивергенции информации

* Статистика рассматривалась также в работах Кейла и Годачбе [1], Тарасенко [3].

223

предложенная Кейлом [2]. Геберт и Кейл [1] показали асим­ птотическую нормальность Т5 при истинности гипотезы; сред­

нее и дисперсия Т*, равны соответственно ЕТ5= \ —С и

Особый класс тестовых статистик возникает при исполь­ зовании упорядоченных выборочных интервалов. Основанием для этого служит тот факт, что при отклонении распределе­ ния от равномерного должно происходить (статистическое) уменьшение малых интервалов и увеличение больших. Ес­ тественно поэтому, что прежде всего уделялось внимание та­ ким статистикам, как

Статистики (9.4.16) можно получить и алгоритмически, если взять в качестве «расстояний» между распределениями вы­ ражения типа (Кейл [1])

d = sup d G _ x X d x

flf+=sup —

\ d x

dG\

d~ =sup f 1

d x / ’

В дискуссии по статье Гринвуда [1] Кендалл предложил так­ же использовать статистики

Однако позднее Вайсс [2] показал, что асимптотически ста­ тистика Г8 эквивалентна Те, а Тд эквивалентна Тт■Далее, Дар­ линг [2 ] показал, что статистики Г6 и Г7 при истинной гипо­

тезе асимптотически независимы и экспоненциально распре­ делены:

224