книги / Непараметрическая статистика

со

£(*(*>)= 21 [1—Q«(01, (3.3.8) г-0

г=0

Где Q ( i ) = I г(,) (/?, iV—i ? + l ) — неполная бета-функция.

§ 3.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРАЙНИХ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

Рассмотрим статистические свойства порядковых статис­ тик при неограниченном возрастании объема выборки. Для простоты начнем со случая равномерно распределенных слу­ чайных величин. В этом случае (3.2.8) запишется в виде

Теперь, если iV->-oо, следует различать два случая: когда X(i{) близко к крайним значениям выборки, и когда х(д) на­ ходится в среднем диапазоне выборочных значений, посколь­ ку предельные распределения для этих случаев различны.

В данном параграфе мы будем рассматривать предельные распределения порядковых статистик, отстоящих на фикси­ рованном месте R от начала упорядоченной статистики. Из (3.4.1) легко получить распределение величины уц=Ых^я):

т. е к гам'ма-распределению с параметром R. Например, наи­ меньшая порядковая статистика (/? = 1 ) распределена асимп­ тотически экспоненциально.

Аналогичным образом можно получить предельное рас-

'пределение для порядковых статистик, отстоящих на фикси­ рованном месте (N—R) от правого края упорядоченной ста­ тистики:

73

(здесь принято у \ - к — N( 1—лг(л_i?>). Чтобы получить пре­ дельное распределение крайних порядковых статистик для произвольного непрерывного распределения F(x), достаточно вспомнить, что величина z — F(x) распределена равномерно, п, следовательно, можно получить интересующие нас распре­ деления, подвергнув (3.4.3) или (3.4.4) соответствующим пре­ образованиям.

Например, для произвольных фиксированных R и для рас­ пределений F(x) экспоненциального типа Гумбель [1] полу­ чил таким методом следующее предельное распределение:

Многие выдающиеся математики изучали асимптотические свойства крайних ( R = 1 или R = N ) порядковых статистик. Наиболее полно и строго этот вопрос рассмотрел Б. В. Гне­ денко [1, 2]; основные результаты в этом направлении можно изложить следующим образом (для определенности будем пока говорить только о Х(л/>).

Не при любом распределении F (х) исходной выборки су­ ществует устойчивое предельное распределение порядковой статистики Хщ). Если F(х) таково, что это предельное рас­ пределение существует, то последнее может быть только од­ ного из трех типов, а именно:

Основная идея доказательства этого утверждения состоит в следующем. Пусть существует предельное распределение А (х) для X(N)- Разобьем выборку объема N на п подвыборок объ­ ема т\ N=mti. Тогда Хщ) является не только наибольшей из N величин, но и наибольшей из п наибольших в своих подвы­ борках величин. Так как мы предположили существование предельного распределения Л(х) при N-+оо, то и при т~*~оо

распределение наибольшего в подвыборке значения должно стремиться к Л(х). Отсюда Л(х) должно обладать свойством

74

которое просто означает, что наибольшее значение в выборке объемом п из совокупности наибольших значений распреде­ лено так же, как и элементы этой совокупности — с точностью до линейного преобразования аргумента функции распреде­

можно принять за нуль). Оказывается, что требования, предъ­ являемые к Л(х) как к функции распределения, в совокупно­ сти с'необходимостью удовлетворения (3.4.9), дают единст­ венное решение для каждого из указанных классов, кото­ рые и соответствуют распределениям (3.4.6) — (3.4.8).

Не вдаваясь в тонкости доказательств и лоступясь кое-где строгостью, укажем характер необходимых и достаточных условий, которым должно удовлетворять F(x), чтобы распре­ деление д-(V] сходилось к одному из трех асимптотических

х-*-—о 1—F ( x —)—XQ)

3) Условие для А (х )= А з(х ) (3.4.8) является несколько более сложным, но по существу требует, чтобы 1—F(x) убы­ вало с ростом х не медленнее, чем е~х. Во всяком случае, это­ му условию удовлетворяют все распределения экспоненциаль­ ного типа (нормальное, экспоненциальное, логнормальное, ло­ гистическое, релеевское, гамма-распределение, и т. п.), т. е.

* История здесь такова (см. Сархан и Гринберг [1], гл 7). В 1927 г. Фреше нашел одно решение уравнения (3.4.9). Фишер и Типпет в 1928 г. нашли то же и еще два решения. И, наконец, Гнеденко в 1941 г. показал, ьто существуют только эти три решения, и нашел необходимые и достаточ­ ные условия для существования каждого из них.

75

весьма часто встречающиеся распределения, благодаря чему Л3(л:) изучалось детальнее остальных.

До сих пор мы говорили лишь о наибольшей порядковой статистике, Х(Ь) . Конечно, подобные же результаты справед­ ливы и для x{i, : соответствующие три типа асимптотических распределений таковы:

(Естественно, в условии существования Аг(х) фигурирует те­ перь ограниченность X слева, а в условиях для Ai и Лг рас­ сматриваются пределы при х-*— оо). Следует иметь в виду, что X(i) и X(N) из одного и того же распределения F(х) могут обладать асимптотическими распределениями как одного, так и разных типов, так как решающим является поведение F(x)

вразных областях значений X

§3.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ

КВАНТИЛЕЙ

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение порядковых статистик, занимающих «средние места» в упорядоченной ста­ тистике Под этим мы будем понимать, что нас интересует асимптотическое поведение порядковой статистики при усло­ вии, что при любых N она разделяет упорядоченную стати­ стику на две части в заданной пропорции. Для этого нам при­ дется отказаться от фиксации ее номера R и рассмотреть

1 P V N Y ' П ( 1 - P ) V * I

7b

зуя формулу Стирлинга для факториалов, можно показать, что

Теперь видно, что (3.5.4) при iV-voo равномерно сходится к функции

т. е к нормальному распределению Переходя теперь к случаю произвольного распределения

F(x), получим, что асимптотическая функция распределения порядковой статистики X(\,,N) выразится как

Из (3 5.6) вытекает, что при N-*~oо F(X(Npn) ) сходится по вероятности к р. Следовательно, если для F(x) существует единственный квантиль хр, то X(NPn) сходится к нему по ве­

роятности. В силу этого оказывается, что в случае существо­ вания в окрестности квантиля хр плотности вероятностей р(х) X(t4PN) распределено асимптотически нормально со сред-

77

ним Хр и дисперсией р (1—p)/Np2(xp) . Например, при р== 0,5 x(NpN) является оценкой медианы, и если X распределено нормально с параметрами а и о2, то эта оценка асимптотиче­ ски нормальна с параметрами а и na2/2N.

Факт сходимости порядковой статистики к квантилю соот­ ветствующего уровня является одним из важнейших н е п а- р а м е т р и ч е с к и х фактов; обсудим его поэтому подробнее.

где усреднение ведется по распределению f (3 4.!). С другой стороны, только что было показано, что F (х^ю ) не только в среднем равно R/(N-\-1) при любом N, но сходится к R/(N-\-\) по вероятности при JV-voo. Поэтому можно запи­ сать приближенное равенство

рес для непараметрической статистики, поскольку они спра­ ведливы для весьма широкого класса функций F. Так как ЛГ(Я), R и N известны в данном эксперименте, то, например,

не единственно возможные использования данного непара­ метрического факта. В связи с этим следует упомянуть, что в некоторых случаях можно попытаться улучшить точность приближения, в особенности, формулы (3.5.9). Всякое такое уточнение, естественно, возможно лишь при дополнительной

78

*<*)=- ф -'

Другой путь уточнения (3.5.9) состоит в разложении пра­ вой части точного равенства Х(ю=Г~1(у^ ) в ряд по У(Я) около точки R/(N-+-1) и учета членов более высоких поряд­ ков, что возможно (подчеркнем это еще раз!) опять-таки лишь при известности функции F K

В заключение параграфа приведем без доказательства (которое можно найти у Мостеллера [1]) теорему, характе­ ризующую асимптотическое поведение совокупности выбороч­ ных квантилей:

Если р(х) дифференцируема в окрестности квантилей х\

~>ч) является асимптотически нормальным со средними х\1У хч , ..., х \k и ковариациями

cov(x,s_„ , , V ) _ К , .

ГЛАВА IV

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ИНТЕРВАЛОВ И БЛОКОВ

§ 4.1. ВЫБОРОЧНЫЕ БЛОКИ И ИХ ПОКРЫТИЯ

Пусть Х(0), *(i), ..., Х(\), лг(\н 1 ) — дополненная упорядо­

ченная статистика (ом. § 3.1) одномерной выборки. Интерва­

крытия, рассматриваемые как случайные величины, не яв­ ляются независимыми.

79

Аналогичные понятия можно ввести и для многомерных случайных величин. Как мы уже говорили в § 3.1, упорядочи­ вание многомерных выборочных значений производится с по­ мощью упорядочивающих функций h{xu ..., x m ) = w . Сово­ купности порядковых статистик шщ, . w Ы) соответствует со­ вокупность гиперповерхностей й(хь ..., х т ) = ш (/г)> которые

разбивают все пространство на (A- fl) подпространств В{™],

, называемых в ы б о р о ч н ы м и б л о к а м и .

(Верхний индекс указывает на размерность блока; выбороч­ ные интервалы есть выборочные блоки размерности едини­ ца). Таким образом, выборочным блокам одномерной вели­ чины W поставлены в соответствие m-мерные выборочные блоки величины (Aj П А2 П П Хт ) . Покрытия {ur} блоков одномерной величины W одновременно являются покрытия­ ми m-мерных блоков {В{™]}исходной многомерной величины.

**

в. '6ГО' е,

А,

Рис 4 1 2

Обсудим несколько подробнее вопрос об упорядочивающих функциях h(x\, ..., xm)\ для наглядности возьмем двумерный случай. Как уже упоминалось, единственное ограничение на функции к(хь х2) состоит в том, чтобы F(w) было непрерыв­ ным; в остальном эти функции произвольны. Поэтому можно предложить несколько различных способов упорядочивания двумерной выборки.

Первый, очевидный, способ состоит в задании некоторой единственной аналитической функции. Тогда плоскость Х\Ох2

разбивается на блоки В 2) кривыми h(xь x2) = W(R), проходя­ щими через соответствующие выборочные точки (яця), *2(/?)) (см. рис. 4.1.1).

Другой способ, предложенный Вальдом [1] и обобщенный Тьюки [1], по сути, состоит в последовательном использова­ нии нескольких упорядочивающих функций, {ht (xlt х2)}, 1= 1, 2, ..., N. Первая кривая W(i)~~hi(xu х2) делит плоскость

80

ются лучами и отрезками прямых.

Фрейзер [1] предложил еще несколько способов упорядо­ чивания многомерных выборок — с помощью последователь­ ности кривых первого и второго порядка.

Как видим, упорядочивание многомерной выборки, а с ним и разбиение выборочного пространства на блоки не яв­ ляются однозначными. Хотя, как это будет показано ниже,

кретных статистических задачах некоторые упорядочиваю­ щие функции могут оказаться предпочтительнее других.

§ 4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКРЫТИИ И ИХ СУММ

Согласно определению, приведенному в § 4.1, покрытия

чайными переменными. Свойства покрытий очень интересны и полезны для построения непараметрических процедур.

Рассмотрим сначала случайные величины г/(«)=К(Х(щ).

R

Очевидно, г/(Д )= 2мг- С другой стороны, все {у^)} статисти- I =i

чески независимы и равномерно распределены в интервале [О, 1]. Поскольку (у( 1 ), у(2), ..., у(л-)) является упорядоченной

статистикой выборки из равномерного распределения, то лю­

Из формулы (3.2.10) следует:

/ (V(fti), У(к,+к2),■••, У(М*.+ +*5>)=

_____________________________ М ___________________________ х

(k,-1)1 (k2—1)!... (fe4— 1)!(Л/— —k2—...—ks)\

С помощью этого распределения легко найти распределение сумм любых покрытий. Найдем, например, распределение

81

размаха выборки, который определяется как разность наи­ большей и наименьшей порядковых статистик,

®1\=У(ло—Уа>,

т. е. является суммой покрытий всех интервалов между Х(п

От переменных (г/р), z/(W)) перейдем к переменным (Ущ, Щ/v)- Якобиан перехода равен 1, следовательно

/(У(П, VIN) = N ( N ~ \ ) V"~2, 0<«/(1)<(1—« IIVX I .

Интегрируя Кущ, vlN) по у(ц, получаем:

их статистическая эквивалентность. Это свойство выражает­ ся в том, что ни распределение любого из покрытий, ни рас­ пределения любой совокупности покрытий не зависят от их

Далее, поскольку якобиан перехода от {г/(Я)} к {иг} равен единице, совместное распределение всех покрытий, согласно (4.2.1), равно

откуда можно найти любые интересующие нас распределе­ ния. Например, для любых R и S

82