книги / Непараметрическая статистика

а для альтернативы сдвига

Нш I / F И / Т / ^ ) ] - ' } - и л / ^ ' и м н о ,

ЛА-*-®

равномерно поЛ для всех f e [ 0 ,l] .

Применим эти результаты и теорему 9.6 1 для вычисления мощностей конкретных тестов. Например, для ДЛг-теста при масштабной альтернативе имеем:

Пт РяЛ( F t ) = l —P {|г(0-5(^ , 8)|< C.(DN)},

N-*оэ

где

S ( t , 6 ) = - 6 F - ' ( t ) - f [ F - ' ( t ) ] .

Аналогично, для Dt- при той же альтернативе получаем

Нш рд+ ( F t ) = l - P { z ( t X s ( t t 8)+Ся (£>£)}, O C t< \.

Лг-»-со Л

Для семейства симметричных относительно нуля распре­ делений и масштабных альтернатив Гельцер и Пайк [1] предложили тест, основанный на абсолютных значениях наб­ людений. Тестовая статистика записывается в виде

i l t )

Вычисление мощностей в случае, когда функции s(t, б) или s*(t, б) являются линейными, производится сравнительно просто; Я- Гаек и 3. Шидак [1] приводят многочисленные примеры такого рода. Некоторые результаты можно получить, если нелинейные функции s и s* ограничить кусочно линей­ ными функциями (смотри, например, Квайд [1], Гельцер [1]), хотя уже и в этом случае возникают большие трудности Если нас интересует лишь качественное сравнение мощностей, то можно воспользоваться тем фактом, что для неравенства Pi>Рг достаточным условием является неравенство S \(f, б) < >5г(Г б). Например, для двойного экспоненциального рас­ пределения и масштабной альтернативы s* (t, б) ^ s ( t , б) для

всех / и б. Следовательно £>дг -тест в этом случае обладает

но ограничивают возможности данного метода.

Таким образом, рассмотрев известные аналитические под­ ходы к сравнению тестов по их мощности, мы приходим к об­ щему утверждению, что эти подходы позволяют сравнивать не любые тесты и не при любых альтернативах.

§ 9.7. О Б О Д Н О М Э В Р И С Т И Ч Е С К О М М Е Т О Д Е С Р А В Н Е Н И Я М О Щ Н О С Т Е Й Т Е С Т О В С О Г Л А С И Я С 1 Р У К 1 У Р Ы

Можно сформулировать несколько типичных задач, в ко­ торых возникает необходимость сравнения тестов по их мощ­ ности.

1. Если задано несколько альтернатив Gb ..., Gk , то как упорядочатся мощности РЛЕ, Gi), ..., ,(F, Gk) теста согла­ сия с F, основанного на заданном расстоянии р (заданной статистике 5)?

2. Если задана конкретная альтернатива G и некоторый класс тестов на однотипных расстояниях*, то такой тест из этого класса будет наиболее мощным при данной альтерна­ тиве?

3. Если задан набор альтернатив Gu ..., Gk и набор тестов 5 Ь ..., S t , основанных на разнотипных расстояниях, то какие пары «тест— альтернатива» предпочтительны в смысле мощ­ ности?

4. Если задана альтернатива G и два разнотипных теста, то какой из них предпочтителен?

Если бы у нас были методы аналитического вычисления мощностей любых тестов при любых альтернативах, ответить на эти вопросы было бы просто. Однако сложность (а иногда невозможность) вычисления мощностей вынуждают нас ис­ кать других путей. На то, что такие пути должны существо­ вать, указывает сам характер перечисленных задач: нам не требуется знать ни точного значения мощностей, ни даже только их разности; мы вполне удовлетворились бы знаком разности. Таким образом, мы приходим к следующей задаче: для каких тестов {5} и при каких альтернативах {т(и)} мож­

236

По отношению к тестам согласия структуры d в ряде случаев на этот вопрос можно ответить, опираясь на некоторые общие свойства классов тестов, рассматриваемых альтернатив и тес­ товых статистик. Перейдем к обсуждению этих свойств*.

Согласно теореме Чэпмена (см. § 9.6) о мощности моно­ тонного теста структуры d при альтернативах, подчиняющих­

случае сравнение мощностей сводится к сравнению альтер­ натив.

Для удобства будем рассматривать альтернативы в кано­

т^то, либо т^то). При фиксации медианы и квантиля уров­ ня, отличного от 0,5 (например, 0,95), все симметричные рас­

следующим образом в порядке возрастания степени затяну­ тости хвостов: нормальное, логистическое, двойное экспонен­

хвостов влияет на различие между гипотезой и альтернати­ вой в канонической форме: на рис. Д.5.1 приведены графики альтернатив правостороннего сдвига при одинаковом (0= 0,4) сдвиге; нумерация кривых соответствует номеру распределения в вышеприведенном ряду. Опираясь на час­ тичную упорядоченность тестов структуры d и характер ука­

торых можно делать столь же однозначные выводы о срав­ нении мощностей? 2) какие заключения можно сделать в тех случаях, когда неравенство между альтернативами выполня­ ется не для всех «?

Ответ на первый вопрос можно получить, лишь обобщив понятие частичной упорядоченности, введенное только дляод-

Д. М. Чибисов [3] указал на недостаточную строгость обоснования метода. В данном параграфе метод изложен с учетом этой критики.

237

носторонних альтернатив. Такое обобщение становится оче­ видным, как только мы объединим воедино условия упоря­ доченности для правосторонней (TI^ T2) и для левосторонней альтернатив (T2^ TI): если для любых « с [0 ,1 ] выполняется условие

структуры становится применимым и к масштабным альтер­ нативам. (Аналогично обобщается понятие монотонности)

П р и м ер 9.7.2. Затянутость хвостов влияет на степень удаленности альтернативы от гипотезы не только при сдви­ ге, но и при изменении масштаба. На рис. Д.5.2 приведены графики альтернатив масштаба (для о= 1,25; а0= 1 ) . номера кривых соответствуют нумерации примера 9.7.1. Легко ви­ деть, что условие частичной упорядоченности выполняется для всех приведенных масштабных альтернатив, и мы можем

т* имеет сложную форму, суждение о мощностных свойствах частично упорядоченного теста можно сделать, если можно подобрать такую альтернативу т(и, а ), которая, с одной сто­ роны, позволяла бы достаточно просто вычислить мощность, а с другой — характеризовалась бы некоторым парамет­ ром сс, меняя который, мы могли бы заключить т* в полосу: г (и, cii)—т о |^ |т * (и ) —т о |^ |т (« , сс2) —то|. Тогда снова 1Дт(м, ai)) (т * )> р (т(«, а2)).

Обратимся теперь ко второму вопросу. Суждения, получа­ емые подобно тому, как это сделано в примерах 9.7.1 и 9.7.2, справедливы при любых объемах выборки, но эта общность достигается ценой строгого выполнения неравенств (9.7.1) для всех и. Именно поэтому мы ничего не могли сказать о мощности при т4 в примере 9.7.1. Если теперь учесть некото­ рые свойства тестовых статистик, то можно продвинуться дальше. Вспомним, что статистика есть оценка некоторого «расстояния» р (F, G), и что, как правило, эта оценка являет­ ся состоятельной. В силу этого для тестов, основанных на та­

большом N мощность теста Смирнова при т4 превысит мощ­ ности при остальных трех альтернативах.

238

Недостатком суждений, подобных только что приведенно­ му, является неопределенность величины JV0, однако это не лишает их полезности.

Ясно, что мощность теста неоднозначно определяется ве­ личиной «расстояния», однако ясно также, что верхняя грань мощности монотонно возрастает с ростом р. Это позво­

няя грань мощности теста будет наибольшей? Ответ сводится к нахождению ф(К), обеспечивающего супремум р при задан­

ф(ы, т) имеет максимумы. Таким образом, тест из рассматри­ ваемого класса, имеющий максимальную огибающую мощ­

ности, есть тест, порождаемый расстоянием р— 2ф (ик, k

т (и,;)). Это позволяет утверждать, например, что для масш­ табных альтернатив, %(и) которых один раз пересекает т о ( н ) ,

I'Ov-TeCT Купера ( VN—D^ -f DN) будет более мощным, чем

-^дг-тест Колмогорова.

П р и м е р 9.7.5. Покажем, что при любых симметричных распределениях в случае масштабной альтернативы G(x) —

—F(ax) тест Смирнова на абсолютных величинах выбороч­ ных значений будет иметь всегда значительно большую верх­ нюю грань мощности, чем тесты Смирнова и Колмогорова на исходных выборочных значениях, и близкую (возможно, равную) мощность с тестом Купера. Для этого сравним со­ ответствующие «расстояния» pt= su p (тг(й)—и), i = 1, 2, где

т( — приведенная альтернатива для исходной выборки, а тг —

Нахождение максимумов функций р,-=тг(н)—и, (= 1 , 2 при­ водит к следующим уравнениям для значений ит1, соответ­

ствующих положениям этих максимумов:

^ f[oF~Hunl) ] = / ( F ^ ( u ml)),

239

Столь большое увеличение расстояния типа Колмогорова — Смирнова между гипотезой и альтернативой при переходе от выборочных значений к их абсолютным величинам и явля­ ется основанием для утверждений, сделанных в первом пред­ ложении данного примера. Суждение о тесте Купера следует из того, что п (и) —и имеет два экстремума, каждый из кото­ рых равен p i (см. рис.

Как видим, предлагаемая методика позволяет делать вы­ воды о мощностях тестов без их вычисления Следующий па­ раграф содержит экспериментальные данные, подтверждаю­ щие эти выводы.

§ 9.8 ОБ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ СРАВНЕНИИ КРИТЕРИЕВ

СОГЛАСИЯ СТРУКТУРЫ d

Из предыдущих параграфов становится ясным, что теоре­ тическое исследование мощностных свойств тестов и эвристи­ ческие способы не всегда могут в полной мере удовлетворить потребность в указании предпочтительных критериев согла­ сия при некоторых заданных условиях. Современная вычис­ лительная техника предоставляет выход из этого положения, которым, судя по литературе, все чаще начинают пользовать­ ся исследователи. Этот выход состоит в экспериментальном сравнении тестов.

Техника статистического эксперимента в принципе доста­ точно проста. Сначала генерируется выборка из любого ин­

240

тересующего нас конкретного распределения Затем по этой выборке вычисляются сравниваемые тестовые статистики По­ лученные значения сравниваются с критическими значениями для соответствующих статистик (при одинаковых уровнях значимости). Проводя такой эксперимент многократно на различных выборках одинакового объема, можно вычислить относительные частоты принятия альтернативы различными тестами. Эти частоты и являются оценками соответствующих мощностей, и их сравнение позволит сделать суждения о предпочтительности того или иного теста в данной ситуации.

Некоторая трудность может возникнуть из-за того, что точные или асимптотические распределения тестовых ста­ тистик при нулевой гипотезе известны не для всех статистик В таких случаях естественно воспользоваться статистически­ ми оценками критических значений, в качестве которых мо­ гут служить соответствующие порядковые статистики реали­ зовавшихся значений тестовых статистик.

Ценность таких статистических экспериментов в значи­ тельной мере зависит от того, насколько общие выводы мож­ но сделать на их основе, т. е. от того, в какой мере результа­ ты экспериментирования с фиксированными альтернативами останутся справедливыми для некоторого множества других альтернатив Поэтому весьма важным было бы установление некоторых классов альтернатив, обладающих определенными общими свойствами по отношению к данному классу тестов. Здесь может быть полезной классификация распределений по симметричности, одновершинности и затянутости хвостов,

Здесь в скобках приведены некоторые результаты повторного экспери­ мента при других выборках.

241

наТив сдвига и масштаба (Жирова, Тарасенко, Шуленин [1]) при JV = 50, а = 0 ,0 5 — табл. 9.8.1—9.8.5.

Зависимости мощности критерия Реньи от параметра b при­ ведены на рис. 9.8.1 для нормального распределения и на рис. 9.8.2 для распределения Коши.

242

На основании экспериментальных данных можно сделать следующие выводы.

243

р

ко

6 ( 0 , S )

о,а

1 /

0,5

0,4

0,3

02

О,'

Рис 98 2

1. Мощности рассмотренных критериев согласия для аль­ тернатив сдвига примера 9.7.1 возрастают при переходе к рас­ пределениям с более затянутыми хвостами. Этот факт под­ тверждает эвристические выводы § 9. 7.

максимальна при 6 = 0,5

4DN -тест Смирнова предпочтительней RN (6, 1)-теста Реньи для альтернатив сдвига с быстро спадающими хвоста­ ми; для распределений с сильно затянутыми хвостами (рас­ пределение Коши) картина обратная.

5Для альтернатив сдвига с быстро спадающими хвоста­

ми со^-Тест Крамера-Мизеса-Смирнова предпочтительнее

24Л