книги / Непараметрическая статистика

бахадуровской мер асимптотической относительной эффек­ тивности тестов. Мы постараемся подчеркнуть ограничения, которые приходится накладывать на тесты ради возможности их сравнить, и обсудим соотношения между различными ме­ рами эффективности.

§ 2 7. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОЩНОСТИ ТЕСТА (СЛУЧАЙ ПИТМАНА)

Согласно питмановскому подходу требуется сохранять постоянными величины а > 0 и L ( 0 ) < 1 при Л7->оо. Очевидно, сделать это можно только в том случае, если обеспечить под­ ходящее сближение альтернативы с гипотезой. Так мы при­

что не всякое стремление 0а к 0Ообеспечит постоянство а и L; нам предстоит теперь выяснить, при каких условиях это возможно.

Обратимся * к вычислению питмановской асимптотической мощности теста, т. е. величины

lim£(0, N, а; р (л:/0)).

9дг -*60

Ограничимся сразу же классом асимптотически нормаль­ ных тестовых статистик t. Тогда при достаточно больших N критическая область, соответствующая уровню значимости а, задается соотношениями

52

станта (тоже положительная), характеризующая скорость сходимости последовательности альтернатив к гипотезе. Так как теперь при N-*-oo 0л-ИЗо, то

(2.7.5)

где m — порядок первой отличной от нуля производной от £#Л(fjv) по 0л. Подставив (2.7.5) в (2.7.3) и ограничившись первым членом, получим:

на существование предела С, мы по необходимости связали скорость сходимости 0д к 0о, которая до сих пор выражалась произвольной константой, с определенными асимптотическими свойствами статистики tn. В самом деле, пусть б — константа, обеспечивающая существование предела С (2.7.8) и связан­

Теперь видно, что если у ф б, то мощность теста стремится либо к а (при у > б ) , либо к единице (при у < 6 ) ; в обоих случаях не соблюдается исходное требование постоянства L, т. е мы теряем возможность сравнения тестов.

53

§ 2.8. ПИТМАНОВСКАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Определим питмановскую асимптотическую относитель­ ную эффективность Агi тестов, основанных на статистиках t, и U, как предел, к которому стремится отношение объемов выборки N\!N% при N-*-оо, одинаковых а, равных мощностях и идентичных альтернативах Нл ->-0 о-

Очевидно, что если 6 1 =^6 2 , то результат будет либо нулем,

либо бесконечностью, в зависимости от того, к какой из этих констант приравнять у. Поэтому в дальнейшем будем пред­ полагать, что сравнение всегда ведется в условиях 6 i= '6 2 = S -

Согласно определению относительной эффективности по Питману, оба теста должны иметь одинаковые мощности при

Как видим, правая часть (2.8.3) является положительной кон­ стантой, которая и выражает относительную асимптотиче­

скую эффективность. Однако и тут нас ожидает подводный камень в виде произвольной константы k2. Только в случае т\ = т2= т исчезает всякий произвол, и мы имеем

N~i~эо

R f (0 о)

где

# /< o )= [4 m)(f,)s(fi)]

54

называются к о н с т а н т а м и э ф ф е к т и в н о с т и i-ro тес­

та.

Как видим, при использовании для сравнения тестов асим­ птотической относительной эффективности по Питману мы исключаем зависимость результата от объема выборки N, от альтернативы В (за счет соответствующих предельных пере­ ходов), и, кроме того, исчезает зависимость от уровня зна­ чимости а (за счет выпадения а из рассмотрения при пере­ ходе от (2.7.10) к (2.8.1)). Фактически остается только за­ висимость от распределения р(х/В) через производную

(t), но эта зависимость представляется вполне естествен­

ной.

Следует, однако, всегда иметь в виду, что для получения А2 1 в его окончательном виде (2.8.4) нам пришлось исполь­

зовать целый ряд предположений, которые фактически не­ сколько ограничивают значение и употребительность этого показателя.

Все эти предположения разбиваются на два класса: огра­ ничения на свойства статистик (в результате наложения этих ограничений сравнению подлежат лишь тесты определенных классов) и ограничения на условия сравнения тестов (кото­ рые не позволяют экстраполировать результаты сравнения за пределы этих условий). Перечислим еще раз указанные огра­ ничения и кратко их обсудим.

О г р а н и ч е н и я на с в о й с т в а с т а т и с т и к

сильно само по себе, оно может быть еще более ослаблено. По существу, нас интересуют лишь условия, при которых аргументы функций мощности будут равны для определенной последовательности альтернатив. Анализ (Кендалл и Стью­ арт [1]) показывает, что требование асимптотической нор­ мальности может быть заменено требованием, чтобы предель­ ное распределение статистики зависело от двух параметров, один из которых являлся бы функцией 0. Так, для х2-распре- деления с v степенями свободы и параметром нецентральности Я(0) (Я(0о)=О, т. е. при гипотезе распределение является центральным) E(t) = v -fA (0 ), a(t) —^2v, и формула (2.8.4) для асимптотической эффективности сохраняет свой вид.

2. От сравниваемых статистик требуется определенная р е- гу л я рн ость, т. е. разложимость Ец (t) в ряд по 0, сущест­ вование участвующих в выкладках производных и интегра­ лов, существование определенных пределов (см. (2.7.7) и (2.7.8)). Обычно выполнение или невыполнение условий ре-

55

гулярности проверяется непосредственно в ходе вычисления констант эффективности.

3. Сравнению могут подвергаться лишь статистики, для которых 6i = 62. К тому, что было сказано выше по этому поводу, можно добавить, что, по существу, это есть требова­ ние одинаковой скорости убывания дисперсии статистики при возрастании N. Ясно, что если дисперсия одной из статистик стремится к нулю быстрее, то основанный на ней тест будет заведомо лучше. Таким образом, требование 6i = 62 факти­ чески разбивает все тесты на классы по различной сходимо­

сти дисперсии к нулю; чаще всего однако встречаются

случаи, когда 6= -^ - и 6 = 1 . В литературе пока нет (насколь­

ко известно автору) соображений о возможности или невоз­ можности других значений 6.

4. Требование W i= /n2 в свою очередь разбивает все тесты на классы, внутри которых только и имеет смысл сравнивать

,тесты между собой: ведь различие порядков производных, от­ личных от нуля, выражает существенное отличие в поведении статистик при альтернативах, близких к гипотезе. Для на­

глядности заметим, что, согласно этому требованию, нет смысла, например, сравнивать когерентный ( т = 1 ) и некогерентный ( т = 2) детекторы в радиолокационных системах, так как это процедуры различных классов, и их сравнение будет содержать определенный произвол.

О г р а н и ч е н и я на у с л о в и я с р а в н е н и я т е с т о в по а с и м п т о т и ч е с к о й о т н о с и т е л ь н о й

эф ф е к т и в н о с т и 12

1.Так как сравнение тестов ведется при выполнении ус­ ловия 0JV->-0O, то все заключения, основанные на коэффициен те Л2ь носят локальный характер. Говоря инженерным язы­

ком, показатель Л2 1 характеризует сравнительные качества

двух процедур при обнаружении «слабых сигналов»; экстра­ полировать выводы о преимуществе одного из тестов на слу­ чай «сильных сигналов» без дополнительных исследований было бы по крайней мере неосторожно.

Л2ь Задавая у = 6, мы тем самым как бы «подгоняем» усло­ вия сравнения к свойствам самих сравниваемых тестов. Од­ нако, как мы видели в § 2.7, это единственный способ полу­ чить заданное асимптотическое значение функции мощности.

56

§ 2.9. БАХАДУРОВСКАЯ МЕРА ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕСТОВ

Обратимся теперь к сравнению эффективности тестов в случае, когда альтернатива 0 фиксирована (Сэвидж [1], Ба­ хадур [1], [2]). Для определенности будем рассматривать последовательность тестовых статистик {Д} с критической областью справа (т. е. альтернатива принимается, когда \^зДх\г). Будем рассматривать только те тесты, для которых при любом N существует единственная функция Lu(t) = = Pr(tx^tlH0). Это означает, что либо нулевая гипотеза проста, либо тест непараметричен, т. е. статистика /м одина­ ково распределена при любом распределении, входящем в нулевую гипотезу. Очевидно, для непрерывных Lw(/)

и сравнение тестов можно свести к сравнению их скоростей

шающее правило t h^ t эквивалентно правилу LA (/A)^=LA(/); поэтому все суждения о тесте, основанном на статистике tx, можно получить, исследуя тест на Lx(tx). (2.9.2) и (2.9.3) говорят о том, что при нулевой гипотезе достигнутый уро­ вень распределен равномерно в [0, 1]. Рассмотрим подробно

57

статистические свойства достигнутого уровня при N-*-оо и

фиксированной альтернативе 0.

Оказывается, что убывание достигнутого уровня при N-+-оо

для широкого класса тестов носит экспоненциальный харак­ тер: существует такая положительная константа С(0), что

достигнутый уровень опустился ниже некоторого заданного порога б. Определим этот (случайный) объем выборки п(б) как

. оо, если такое т не существует.

(Ясно, что при выполнении (2.9.4) п(6) будет конечным с вероятностью единица). Тогда (Бахадур [1]) п(8) и С(0) связаны между собой предельным соотношением

Итак, мы получили Ns, неслучайную меру того, как быстро достигнутый уровень для данного теста станет меньше за­ данной величины. Если мы имеем два теста, обладающих всеми качествами, необходимыми для получения формулы

58

Отослав интересующегося деталями доказательства соот­ ношений (2.9.4) и (2.9.5) к упомянутым работам Бахадура и Сэвиджа, обсудим некоторые общие вопросы, связанные с бахадуровской эффективностью.

Во-первых, возникает вопрос, какие тесты допускают их сравнение с помощью меры В21(0). Ответ сводится к сле­ дующим требованиям на асимптотическое поведение тестовых

Этим требованиям удовлетворяют, например, асимптотиче­ ски нормальные статистики

Во-вторых, важно указать метод вычисления коэффициен­ та наклона С(0). Докажем сначала, что из (2.9.9) и (2.9.10) следует

С( 0) =2/ ( 6( 0) ) . (2.9.11)

Выберем два произвольных положительных числа Ь\ и 62 та­

•~j-logZAf('|/lV61)< -i-IogZ A '(/Iv)<.-^-logZ.A'(-yANb2.) Привле­ кая (2.9.10), имеем: —/(6 j)< yv log LN{tN) K —f(b2). Так как

&i и 62 произвольны, то -jy- log LN (ZV)-> —/(6 (0 )). Сопоставив

этот результат с (2.9.4), получаем (2.9.11).

Итак, вычисление бахадуровской эффективности сводится к вычислению предельных функций 6(0) и f(t). Чтобы про­ демонстрировать технику этих вычислений и трудности, кото­ рые при этом возникают, рассмотрим простой пример.

Пусть tu = N~'u Ex,; и при нулевой гипотезе все Xt неза­ висимы и распределены нормально со средним 0 и дисперси­ ей 1. Таким образом, Н т 1 / Д ( ) = Ф ( —(), где Ф — функция

Лапласа. Пусть альтернатива состоит в том, что Х( распре­ делены нормально со средним 0>О и дисперсией а2. Тогда

59

Отметим, что мы вычислили не точный коэффициент на­ клона С(0), а п р и б л и ж е н н ы й , Ся(0). Вообще говоря, 0 я (0) =^=С(0), но lim Са (0) = С(0), и это, вместе с простотой

N - * О

вычислений, оправдывает рассмотрение приближенного ко­ эффициента наклона.

§ 2.10. О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ МЕРАМИ ЭФФЕКТИВНОСТИ

В ходе исследований качества различных статистических процедур многие авторы предлагали специфические меры их эффективности. Полезный обзор различных мер эффективно­ сти, обсуждение их связи, сравнение их между собой чита­ тель может найти в книгах С. Рао ([1], стр. 414—420), Кен­ далла и Стьюарта ([1], гл. 25) и других источниках. В дан­ ном параграфе мы отметим лишь некоторые особенности бахадуровской и питмановской мер эффективности.

Покажем (Бахадур [2]), что при определенных условиях

ски нормальное распределение с нулевым средним и единич­ ной дисперсией;

в) для величины Ал< (6) =(}% (6) — (0о))/°л (®о) су-

60

62(0 )= М 0 —0о)*- ( 1 + 0 ( 1 )) при 0^0о.

Пользуясь соотношениями предыдущего параграфа, можно показать, что последовательность ^w = |Vw| имеет коэффици­ ент наклона, равный 62(0). Поэтому, если {Пд} и {/гл} соот­ ветствуют двум последовательностям { U I A } и {UW }, удов­

летворяющим условиям а)—д), то Вц — (Ь\1Ьз)г. Из условия д ) имеем:

Правая часть (2.10.3) может быть сопоставлена с формулой

при совпадении уровней значимости и мощностей сравнивае­ мых тестов, т. е.

что и требовалось доказать.

61