книги / Непараметрическая статистика

Более общо, любые k покрытий (&<JV), иу, иг, .... Ukr (с лю­ быми исходными номерами, для чего и введены штрихован­

от конкретных номеров покрытий, о которых идет речь. Это

т. е. JV у п о р я д о ч е н н ы х з н а ч е н и й с л у ч а й н о й в е ­

т е й — интересный непараметрический факт, который может быть использован в дальнейшем.

Далее, с помощью приведенных выше распределений лег­

С помощью (4.3.7) и (4.3.9) легко вычислить коэффици­ ент корреляции между иг и us, который оказывается рав­ ным (— 1 )/N. Эту ослабевающую с увеличением объема вы­ борки корреляционную связь и имеют в виду, когда говорят о том, что при больших объемах выборки блоки становятся «почти независимыми».

83

Еще более интересным является то, что статистической эквивалентностью обладают и блоки многомерных случай­ ных величин. Многомерные выборочные блоки получаются путем использования некоторой последовательности упоря­ дочивающих функций; в результате этого устанавливается отображение блоков многомерной величины на блоки неко­ торой одномерной. А так как блоки л ю б о й непрерывной одномерной величины, каково бы ни было ее распределение, обладают статистической эквивалентностью, то этим же свойством обладают и блоки соответствующей многомерной величины. Замечательно здесь то, что это свойство сохраня­ ется несмотря на довольно большой произвол при выборе упорядочивающих функций.

§ 4.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Иногда представляют интерес не покрытия, а сами выбо­ рочные интервалы между соседними порядковыми статисти­ ками. Естественно, что свойства выборочных интервалов су­ щественно зависят от исходного распределения р(х) выбор­ ки*; однако оказывается, что и для произвольных р(х) вы­ борочные интервалы обладают некоторыми общими свойст­ вами.

Совместное распределение порядковых статистик дается

Как видим, получить явные выражения при конкретных рас­ пределениях р(х) довольно сложно: необходимо вычислять соответствующие интегралы, которые обычно не сведутся к элементарным функциям.

* Напомним кстати, что покрытия являются выборочными интервала­ ми для равномерного в [0,1] распределения

84

Кроме случая равномерного распределения (см. § 4.2) известен еще один пример, когда вычисления могут быть доведены до конца аналитически, а именно — случай экспо­ ненциального распределения р ( х ) = К е х р ( —Кх), х> 0

(Пайк [1]) При этом

Д Л Ь Л2> „ Д ) = Л/'Г> П е х р [ - > (Д1+ ...+ Д ()] =

роны, порядковые статистики и выборочные интервалы про­ извольного непрерывного распределения, в свою очередь, мо­ гут быть выражены через выборочные значения из экспонен­ циального распределения (Сухатме [1]). Использование этих фактов позволяет значительно расширить сведения об общих свойствах выборочных интервалов и их покрытий. Покажем это па ряде примеров.

85

откуда

писаны в форме некоторых функций от порядковых статистик выборки из экспоненциального распределения. Пусть Уь У2, ....

Yt,— независимые экспоненциальные случайные величины с

Из (4.4.3) и последующего обсуждения следует, что (Yi/N, У2/(ЛГ— 1), ... Ул ) распределены так же, как выборочные ин­ тервалы выборки из экспоненциального распределения с еди­ ничным средним, а значит (Zj, Z2, ..., ZN) можно рассматри­

вать как порядковые статистики этой выборки. Тогда Ut (в силу того, что 1—ехр(—Z) является интегральной функцией распределения) распределены так же, как порядковые ста­ тистики выборки из равномерного в [0, 1] распределения. Следовательно, t-e покрытие можно записать в виде:

Щ- U i - £/f_! = exp ( - Z , _ , )—exp ( - Z t) =

С помощью представлений (4.4.8) и (4.4.9) можно сравни­ тельно просто получить ряд важных теоретических резуль­ татов. Например, можно доказать, что отношения соседних порядковых статистик для равномерного распределения ста­ тистически независимы. Действительно, из (4.4.8) следует, что

(4.4.10)

а так как {УД независимы, то и соответствующие отноше­ ния U\IUi, U2IU3, ..., /С/л . Uк тоже независимы. Дру­

гой пример использования указанных соотношений (Реньи [1]) состоит в том, что при рассмотрении асимптотических

86

величин (с нулевым средним), что позволяет использовать классические предельные теоремы. (4.4.11) является аппрок­ симацией, качество которой повышается с ростом объема вы­

ограничено сверху величиной C2N~2, что проверяется непо­ средственной оценкой величин в правой части последнего равенства. Соотношение (4.4.12) не только обосновывает воз­ можность использования Wt в качестве аппроксимации Ut но и дает возможность оценить ошибку такой аппроксима­ ции.

статистикой равномерного распределения, то Tt оказывается порядковой статистикой распределения F. Следовательно, вы­ борочные интервалы для этого распределения могут быть за­ писаны в виде'

A ^ F - ' i U J - F - ' i U ^ ) , 2 ( 4 . 4 . 1 3 )

87

Н. Удобно воспользоваться экспоненциальным распределе­ нием в качестве Н, так как оно дает статистически незави­ симые порядковые статистики и интервалы. Предположив су­

где f(x) — плотность, соответствующая распределению F. Так как (Z;—Z(-t ) равно Yt / ( # —i-f-1), то выборочный интер­ вал для произвольного распределения окончательно выра­ жается через экспоненциально распределенную случайную ве­ личину:

где r(u) = (1—u)/}(F~l (и)) и Л{ лежит между порядковыми статистиками Ut и Ut j равномерного распределения. Это соотношение может с успехом использоваться при изучении предельных распределений функций выборочных интервалов (Пайк [1]).

§ 4.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ

ИНТЕРВАЛОВ

Поскольку длины выборочных интервалов при неограни­ ченном увеличении объема выборки неограниченно убыва­

Пожалуй, наиболее интересным асимптотическим свойст­ вом выборочных интервалов является то, что они оказыва­

•88

ются асимптотически экспоненциальными и независимыми при любой плотности g(x). Этот результат может быть сфор­ мулирован в виде следующей теоремы.

Доказательство теоремы основывается на сходимости по вероятности порядковых статистик к соответствующим кван­ тилям.

§ 4.6. О МОМЕНТАХ ВЫБОРОЧНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Хотя вся информация о статистических свойствах выбо­ рочных интервалов и их сумм содержится в соответствую­ щих распределениях, определенный интерес представляет от­ дельное рассмотрение моментов этих величин и величин, им обратных.

Пусть AKR — интервал между К-й и R-й порядковыми ста­ тистиками; тогда E(A],R) является при сс>0 начальным мо­

ментом суммы (R—К) выборочных интервалов, а при а < 0 — начальным моментом величины, обратной этой сумме.

Рассмотрим сначала моменты сумм покрытий (т. е. мо­ менты интервалов между порядковыми статистиками выбор­ ки из равномерного распределения).

Так как в некоторых статистических процедурах исполь­ зуются величины, обратные выборочным интервалам, то це­ лесообразно подчеркнуть, что не у всех таких величин су­ ществуют моменты. Считая условие (N-{-a)>0 несуществен­ ным, обратим внимание на требование R—К-\-а— 1>0, экви­ валентное конечности момента a-го порядка (см. (4.6.1)). Отсюда следует, что для обратных сумм покрытий началь­ ный момент a -го порядка существует только в том случае, если число слагаемых в сумме по крайней мере на единицу

превышает а.

89

Для экспоненциального исходного распределения момен­ ты сумм выборочных интервалов получатся путем усредне­ ния этих сумм по распределению (4.4.3). Так как в этом случае выборочные интервалы независимы, то условие су­ ществования моментов сумм интервалов совпадает с усло­ вием существования моментов одного интервала. Легко по­ казать, что для GS> 0

Вычисление моментов величин, обратных суммам выбороч­ ных интервалов для экспоненциального распределения, при­ водит к расходящимся интегралам.

ГЛАВА V

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАНГОВ

§ 5.1. РАНГИ. УСЛОВИЯ ИНФОРМАТИВНОСТИ РАНГОВ

Определим сначала некоторые понятия. Р а н г о м данного значения xt из выборки заданного объема N называется чис­ ло Rt выборочных значений, не превышающих xt, т. е. удов­ летворяющих условию xk< x t, k = \ , 2, ..., N. (Будем пока говорить лишь о непрерывных случайных величинах; дискрет­

Так как ранг Rt является функцией выборочных значений,

его можно рассматривать как случайную величину с возмож­

тор тоже случаен — в том смысле, что для разных выборок из одной совокупности будут получаться различные после­ довательности рангов. Ясно, что реализации рангового век­ тора являются перестановками чисел 1, 2, ..., N; число воз­ можных реализаций рангового вектора равно N\

90

Целесообразность рассмотрения рангов основывается на следующих соображениях. Во-первых, ранговый вектор {R содержит какую-то часть информации, содержащейся в ис­ ходной выборке {х,}. В самом деле, с помощью операции упорядочивания выборке {xt} ставится в однозначное соот­

выборочных значений. Первое, бросающееся в глаза преиму­ щество таких процедур состоит в целочисленности рангов и вытекающей отсюда простоте технической реализации про­ цедур. Далее оказывается, что при определенных условиях ранговый вектор содержит не просто долю, а значительную долю полезной информации, что обеспечивает некоторым ранговым процедурам высокую эффективность. Наконец, и это в особенности важно, ранговые процедуры обладают свой­ ством непараметричности.

Все приведенные выше утверждения будут подробно обо­ снованы в последующих параграфах данной главы и в главе о ранговых процедурах. А пока сделаем некоторые допол­ нительные замечания об особенностях ранговых процедур.

Важным достоинством этих процедур является то, что они применимы и в тех случаях, когда наблюдения носят не ко­ личественный, а качественный характер, лишь бы наблюде­ ния допускали их упорядочивание. Например, прослушав две группы скрипачей, обучавшихся каждая по своему методу,

помощью подходящего теста можно сделать статистический вывод об относительных достоинствах сравниваемых мето­ дов обучения. Аналогичным способом проводится сравнение различных медикаментов комплексного действия и т. п. Ес­ тественно, представительность, случайность выборки при та­ ких экспериментах должны быть предметом особой заботы экспериментатора (как, впрочем, и в любом статистическом испытании).

Перейдем теперь к обсуждению весьма важного вопроса об условиях, обеспечивающих информативность рангов. Глав­ ным здесь является выбор с п о с о б а р а н ж ир о в к и наблю­ дений. В постановке всякой статистической задачи фигури­

91

руют распределения, чем-то различающиеся между собой: в задачах оценки параметров распределения отличаются зна­ чениями этих параметров (хотя и не обязательно только этими значениями); в задачах проверки гипотез всегда ука­ зывается различие между нулевой и альтернативной гипоте­ зой. Ясно, что если мы хотим решать ту или иную статисти­ ческую задачу с помощью ранговой процедуры, то прежде всего необходимо обеспечить, чтобы ранги были чувствитель­ ными к различиям между распределениями, характерным для данной задачи. Выражаясь точнее, статистические свой­ ства рангов должны известным образом изменяться при сме­ не различаемых распределений. Это достигается выбором подходящего способа ранжировки.

Представим себе, например, что мы хотим по одной вы­ борке проверить, является ли случайная величина X симмет­ рично распределенной относительно нуля, и по некоторым причинам ограничиваем себя только ранговыми процедура­ ми. Если произвести обычную ранжировку, непосредственно по формуле (5.1.2), то что бы мы потом ни дедали с полу­ ченным таким образом ранговым вектором, нашу задачу мы не решим: этот вектор не изменится, какой бы сдвиг от нуля ни имела бы исходная выборка. С другой стороны ясно, что несимметричность распределения р(х) относительно нуля должна проявляться в статистическом преобладании выбо­ рочных значений одного знака. Раз уж мы решили пользо­ ваться только ранговой процедурой, то надо выбрать такой способ ранжировки, при котором преобладание выборочных значений одного знака сказывалось бы на свойствах ранго­ вого вектора. Так мы приходим к мысли об упорядочивании

от рангов положительных выборочных значений, образовав

эквивалентны, а при нарушении симметрии эта эквивалент­ ность исчезает. Как конкретно использовать это различие

между {Rг+} и { R J } — это особый вопрос, а для нас сейчас главное то, что информация о существенном для задачи раз­ личии распределений перенесена на ранги с п о м о щ ь ю с п е ц и а л ь н о г о с п о с о б а р а н ж и р о в к и .

Другой пример дают двувыборочные задачи на одинако­ вость распределений обеих выборок, {xt } и {pj}. Наиболее употребительный (и единственный?) способ построения ран­

92