книги / Непараметрическая статистика

ГЛАВА III

СВОЙСТВА ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

§ 3.1. ВВЕДЕНИЕ; ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Первое преобразование исходной выборки (Х[, . . . , Х л ) , ко­

торое мы подробно рассмотрим с целью поиска непарамет­ рических фактов, состоит в упорядочивании элементов вы­ борки по их величине. Пусть, для определенности, это упо­ рядочивание производится по возрастающей величине. Тогда

статистик введены для отличия их от порядковых номеров выборочных значений. Иногда может оказаться удобным или необходимым располагать как информацией о ранге R выбо­ рочного значения, так и его порядковом номере i в исходной выборке. В таких случаях будем пользоваться обозначением Rt , что означает «R есть ранг г-го наблюдения в выборке»; при этом подразумевается, что N известно и фиксировано). Если известны пределы а и б, ограничивающие интервал воз­ можных значений переменной X, то можно построить д о п о л ­

(или оба) из пределов а я b может быть и бесконечным. Обсудим теперь некоторые сложности, возникающие при

упорядочивании.

В одномерном случае упорядочивание производится ес­ тественным образом, и трудность может возникнуть лишь если в выборке окажутся совпадающие по величине наблю­

падения дв}х или более выборочных значений равна нулю. Как упорядочивать выборочные значения при наличии свя­

более конкретно, тогда мы и вернемся к нему. А пока лишь сочтем уместным заметить, что проблема связок достойна гораздо большего внимания со стороны теории, чем она пока получила*. Ведь все реальные измерения непрерывных ве­ личин производятся с конечной точностью, а следовательно, даже при высоких точностях измерений возможны связки, в особенности при больших объемах выборки.

В многомерном случае, т. е. когда элементами выборки служат случайные векторы, тоже может возникнуть необ­ ходимость упорядочивания. Делается это по-разному, опятьтаки в зависимости от конкретных целей (см. гл. V), но если нам нужно приписать один порядковый номер каждой много­ мерной точке, т. е. иметь многомерный аналог упорядочен­ ной статистики, то выход состоит в предварительном проек­ тировании многомерной случайной величины на одномерную и последующем приписывании многомерным выборочным точкам номеров (рангов) их одномерных проекций. Выра­ зимся более формально. Пусть m-мерная случайная величина

возможность упорядочить выборку ил, ..., w R, ..., WN, и, сле­ довательно, приписать соответствующие ранги многомерным точкам исходной выборки по следующей схеме:

{ ( X l K , . . . , - К и к ) ) -»■ { а > д } - > { ( - * 40? ) , . . . , X m{R)\.

Понятно, что такое упорядочивание неоднозначно, что при выборе различных функций h данный элемент одной и той же выборки может получить различные ранги; но такова уж цена за присвоение многомерным величинам одномерных яр­ лыков.

В заключение параграфа подчеркнем, что порядковые ста­ тистики имеют большое значение и в обычной параметриче­

* Исключением является, пожалуй, только книга Я. Гаека [1] по ран­ говым тестам.

66

§ 3.2. Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е У П О Р Я Д О Ч Е Н Н О Й С Т А Т И С Т И К И И П О Р Я Д К О В Ы Х С Т А Т И С Т И К

Рассмотрим статистические свойства упорядоченной ста­ тистики и порядковых статистик.

Совместное распределение всех порядковых статистик в случае независимых измерений получить легко. Для неупо­ рядоченной выборки имеем (р и f — соответствующие плот­ ности) :

После упорядочивания остается только информация о том,- какие именно значения величины X были получены. Так как они могли быть получены в любом порядке и число возмож­ ных комбинаций (перестановок) равно JV!, то

* w ) = N l р(х(1})-р(х(2))....р(х(Ю),

X(i)X^x(2)'X... Хх^). (3.2.2)

Различные методы могут быть использованы для полу­ чения распределений отдельных порядков их статистик или любых их совокупностей. Приведем основные из этих мето­ дов.

1. Ме т о д , и с п о л ь з у ю щ и й а л г е б р у с о б ы т и й и о с н о в н ы е п р а в и л а т е о р и и в е р о я т н о с т е й

Проиллюстрируем этот метод на примерах нахождения распределений наибольшей, наименьшей и любой (R-й) из порядковых статистик.

Событие (Х(Л)^х) эквивалентно пересечению событий {(x,^ :x)}, i = l , 2, ..., N. Следовательно, по теореме умноже­ ния

Наконец, событие (X{R)^X) эквивалентно объединению со­ бытий «точно j значений из N измеренных меньше или рав­ но х» для j = R , R + 1, R + 2, .... N. Так как эти события взаим­ но несовместны, то

-{N 7 1 ) FI {X(R)) [1 - F (*W) F - 1W}.

J

Получим этим методом распределение (3.2.8). Вероят­ ность того, что R-я порядковая статистика Хщ) лежит в ин­

N—R измеренный больше, чем •*(#)+

(Здесь мы и пренебрегаем вероятностью того, что в -интерва­ ле б может быть более одного измерения, так как эта веро­ ятность порядка б2). Так как (опять приближенно!)

Рг(Х<Хм-Ъ12) = F(xlR)) - J р М ■

Р ф гда) - 8 /2 < Х < х « г Й / 2 ) = Р ( х м ) ) • 8,

Рг ( Х > ^ ) + 8 /2 ) = 1 - F{xim) - j P ( x m )-K

68

то, используя полиномиальное распределение, получим:

/<■*(*)) '5 = (R V)^ NS ^ FR~l (* w ) [ 1-F(X(R))\N~R P{X{R)) •

•S+0(S2).

Деля обе части равенства на 6 и устремляя б к нулю, полу­ чим формулу (3.2.8).

Этим же способом можно получить и другие распределе­ ния.

3. М е т о д и н т е г р и р о в а н и я р а с п р е д е л е н и я у п о р я д о ч е н н о й с т а т и с т и к и

Поскольку распределение (3.2.2) упорядоченной статисти­ ки является совместным распределением всех порядковых статистик, то распределение любой совокупности порядковых статистик можно получить интегрированием функции (3.2.2) по всем переменным, не входящим в интересующую нас сово­ купность.

Найдем, например, совместное распределение наибольшей и наименьшей порядковых статистик, X(D и Х(щ.

Последний интеграл вычисляется, и равен

*(3)

J P(x (2))dxi2)= F ( x (3))—F ( x a)).

XW

69

и так далее Окончательно,

/(•«О), X N)) = N { N —\)[F(X IN))—Fixw)]*-*р(х{1)) p(x(N)). (3.2.9)

=_____________________м _____________________ X

{ki- l ) \ ( k 2- \ ) l . . ( k - \ ) \ ( N - k x- k . l - . . . - k s)\

XFk‘~l (xVii)) [F{x{kl+k3) ) - / r(JC(*l))l*'-1X...

4 Ме т о д ы , и с п о л ь з у ю щ и е м а р к о в о с т ь п о р я д к о в ы х с т а т и с т и к

Еще в 1933 году А. Н. Колмогоров [1] обратил внимание на то, что порядковые статистики образуют простой марков­ ский процесс. Действительно, условное распределение веро­ ятностей (/-)-1) -й порядковой статистики при заданной i-й порядковой статистике не зависит от значений статистик с номерами, меньшими i. В самом деле, вычислив с помощью (3.2.10) искомую условную вероятность, получим:

разуют неоднородный процесс Маркова с дискретным пара­

(последнее равенство легко получается путем соответствую-

70

щего интегрирования (3.2.11)). Поэтому многие выводы о свойствах порядковых статистик и функциях от них могут быть получены с помощью методов теории марковских про­ цессов (см., например, Пайк [1], Реньи [1], М. Рао [1]).

Как мы уже отмечали, в дискретном случае в упорядо­ ченной статистике возможно появление «связок» (то есть сов­ падение нескольких выборочных значений). Для простоты об­ ратимся к случаю, рассмотренному Хатри [1], когда возмож­ ные значения X есть числа натурального ряда 0 , 1 , 2, ... с за­

данными вероятностями р(0), р(1), р{2), ... Естественно, :©

Р (1) ^ 0 и Ър(1) = 1. Если число возможных значений X ко- i

нечно, будем считать, что остальные числа имеют нулевую вероятность.

Найдем распределение R-й порядковой статистики. (Под­ черкнем, что вопрос о том, как присваиваются различные ран­ ги внутри связки, остается открытым: это пока несуществен­ но). Пусть (R— 1—k) значений меньше Х(Ц), (N—R—т) — больше него, остальные (/г+ m + l) , включая Хц?), находятся в данной связке. Так как k и т могут иметь различные значе­ ния (k= 0, 1, 2, ..., R— 1; т —0, 1, ..., N—R), то возможны R- (N—^?+1) различных взаимно несовместных комбинаций событий. Учитывая, что вероятности перечисленных выше трех событий равны соответственно

71

можно привести (3.3.1) к более обозримому виду. Действи­ тельно, перепишем (3.3.1) в форме

/(.W -O *2 |f(V )(V ) №«>-•)!'"-‘X

X [ l- ^ X (* ) ) N~*~'”/>(Xi*)) [ \yp{xw )\k [{\—у)p(x(R))\mdy.

о

(3.3.3)

Изменив порядок суммирования и интегрирования и произво­ дя замену yp{X(R))-\-F{X(R)— 1 )= ш , получим

Интегралы, входящие в (3.3.4) и (3.3.5), выражаются через неполные бета-функции, таблицы или (ряды для которых можно использовать в случае необходимости конкретных рас­ четов.

Аналогичным способом можно получить совместное рас­ пределение *(«) и х(ц (L>R):

причем такое, что (L—R— l ) ^ (u-\~t). Тем же приемом, что и выше, (3.3.6) может быть приведено к виду

f(X(R), Х(ц) = С J J wR~l (v —w)L~R- 1(1 —v)h- Ldvdw, (3.3.7)

где C = N i / ( R —1)!(L—i?— 1)!(N—R)\ и интегрирование ве­ дется по области

v>w, F(X (R))>W> F (X (R)— 1), F(X (L)) > V >F(X(L)— 1 ) .

Далее, можно показать (Хатри [1]), что

72