книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ

Операция замены столбцов матрицы строками называется транспонированием.

после транспонирования имеет вид 1 4 2 5

.3 6.

Отметим, что после транспонирования первая строка стада первым столбцом, а вторая строка — вторым столбцом. Если обозначить матрицу через [Л], то матрицу, полученную транс­ понированием матрицы [Л], обозначим [Л]г. При транспониро­ вании элемент а,у переходит в элемент а,,-. Во многих задачах, рассматриваемых в гл. 6, часто будем пользоваться тем, что* вектор-строка матрицы [Л] при транспонирований превращает­ ся в вектор-столбец матрицы [Л]г. Вектор-строка п векторстолбец получаются один из другого транспонированием. На­ пример,

1

Позже будем иметь много случаев, когда матрица умножа­ ется на матрицу, транспонированную' к ней. Если матрица [XJ имеет п строк и т столбцов, то транспонированная к ней [Х]л будет иметь т строк и п столбцов. Умножая матрицу [X] слева на транспонированную к ней матрицу, мы получаем квадратную симметрическую матрицу порядка тХп, называемую меньшей матрицей — произведением матрицы [X]. Умножая матрицу [X] справа на транспонированную к ней матрицу, получаем квад­ ратную симметрическую матрицу порядка пХп, называемую большой матрицей — произведением матрицы [X].

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Прежде чем перейти к изложению нашей последней темы, касающейся собственных значений и собственных векторов, остановимся коротко на определителе матрицы. Определитель — это число, приписываемое квадратной матрице в результате

142

■некоторой последовательности операций. Определитель симво­ лически обозначается detЛ., |Л | или

зиций пар элементов, необходимых для того, чтобы располо­ жить индексы в порядке 1,2, ... , я.

Каждый член этой суммы содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

Процесс вычисления определителя начинается с выбора по одному элементу из каждой строки для образования различных комбинаций. Элементы каждого члена суммы выбираются из строк в естественном порядке 1, 2, . . . , я, однако каждая ком­ бинация может содержать только по одному элементу из каж­ дого столбца. Например, в матрице порядка 3x3 можно вы­ брать комбинацию а12а2!а3з■Обратите внимание, что элементы располагаются в порядке возрастания их первых индексов — номеров строк. Каждая комбинация содержит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Требуется вы­ брать все возможные комбинации, составленные таким спосо­ бом. Если матрица имеет порядок п х п , то таких комбинаций будет я!

Так как порядок умножения чисел не влияет на результат, т. е. Ci-a22a33 = a92aua33 = a33a22an и т. д., то можно произвольно изменить порядок элементов в отобранных комбинациях. По­ пытаемся выбрать элементы так, чтобы их вторые индексы, или номера столбцов, расположились в порядке возрастания. Пере­ становку можно выполнить, меняя любые два соседних элемен­ та местами. Выполняя операцию, нужно сосчитать, сколько сделано перестановок, необходимых для того, чтобы индексы расположились в нужном порядке. Если для этого потребова­

можно найти только две комбинации элементов, содержащих

143

по одному элементу из каждой строки из каждого столбца, — аий22 и «12^21. Вторые индексы в члене «ц022 расположены в естественном порядке и перестановок не требуют. Число пере­ становок равно нулю, поэтому знак произведения положитель­ ный. Однако элементы в членах а !2 и a2i нужно поменять мес­ тами, чтобы их вторые индексы расположились в нужном по­ рядке. Это требует одной перестановки, поэтому результат будет с отрицательным знаком. Итак, определитель матрицы порядка 2x2 равен

Оц «12

+ « 11 «22 — « 12« 21-

«21 «22

В качестве числового примера рассмотрим матрицу

‘2 Г 4 3

Ее определитель равен

Теперь рассмотрим более сложный пример — определитель матрицы порядка 3X3

Здесь будет 3!, или 3-2-1 = 6, комбинаций, которые содержат по одному элементу из каждой строки и каждого столбца, ин­ дексы которых располагаются в порядке 1, 2, 3. Начиная с верхней, выбираем по одному элементу из каждой строки. Сна­ чала из первой, затем из второй, третьей, . . . , n-й, используя при этом не более одного элемента из каждого столбца. Ука­ жем все возможные комбинации, удовлетворяющие этим усло­ виям:

«12«23«31> fli2«2i«33,

«13021032. 01з0220з1.

Для определения знака каждого члена нам нужно выяснить, сколько перестановок необходимо выполнить, чтобы вторые индексы расположились в порядке 1, 2, 3. Для члена аиа 22а33

144

перестановок не требуется. Перестановки для других членов приведены ниже:

Итак, в определителе три положительных и три отрицатель­ ных члена. Складывая члены (с соответствующими знаками), получим

+ ЯнОгг^зз — ЯнЯг за з2 + Я12Я23Я31 —

— Я12Я21Я33 + Я13Я21Я32 — Я13Я22Я31.

Теперь рассмотрим матрицу действительных чисел Г4 3 2"

2 4 1

. 1 0 3,

Шесть членов выглядят так: (4-4-3) =48, (4-1-0) = 0,

(3-1-1) = 3 , (3-2-3) = 18, (2 -2 -0)= 0, (2-4-1) = 8.

Первый, третий и пятый из этих членов требуют четного числа операций, для того чтобы их вторые индексы расположи­ лись в порядке возрастания. Для того чтобы индексы осталь­ ных элементов расположились в порядке возрастания, требу­ ется нечетное число операций, и поэтому они отрицательны. Складывая, получаем:

|Л | = 48 — 0 + 3 — 18 4- 0 — 8 =25.

Этот метод вычисления определителя описан Петтофреццо [5]. Более общепринятый подход, изложенный в монографии Гири и Уивера [2], основан на так называемом методе алгебраи­ ческих дополнений, но по существу мало отличается от изло­ женного.

Теперь мы уже умеем вычислять определитель квадратной матрицы, но еще неясно, что это такое. Определители возника­ ют в различных задачах, но чаще всего они неявно участвуют в решении систем уравнений. Читатель мог не заметить их при

.рассмотрении этого вопроса, но скрыто определители исполь­ зовались в процессе обращения матрицы. Решим систему двух уравнений:

«п«1 + а.12Я2 = «ь

Мы уже выяснили, что вектор-столбец неизвестных х 2 и может быть найден с помощью обращения матрицы. Однако мы можем найти неизвестные с помощью обычных алгебраических

Далее числители тоже можно представить как определители. Числитель выражения для х2 можно представить как опреде­ литель матрицы

я числитель выражения для Xz — как определитель матрицы

Этот метод можно обобщить на любые системы уравнений. Такой способ решения системы уравнений называется прави­ лом Крамера, которое гласит, что значение любой неизвестной Xi в системе совместных уравнений равно отношению двух оп­ ределителей. Знаменатель — определитель матрицы коэффици­ ентов (в нашем примере матрицы [Л]). Числитель — опреде­ литель той же матрицы коэффициентов, у которой t-й столбец заменен столбцом правых частей уравнений (вектор-столбец Ь).

146

Проверим это правило на приведенном ранее примере:

Знаменатели в обеих дробях равны определителю

4 10 = (4.30) —(10-10) = 20. 10 30

Числитель выражения для хх равен определителю

38 10 --=(38-30)— (110-10) = 40. ПО 30

Числитель выражения для х2 равен

4 38

(4-ПО) — (10-38) = 60.

10 ПО

Итак, Х\ =40/20 = 2, а х2 = 6 0 /2 0 = 3 Р анее с помощью об­ ращения матриц мы нашли точно такие значения неизвестных.

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

Тема, к которой мы переходим, — собственные значения и собственные векторы — наиболее трудна в матричной алгебре. Трудность состоит не в их вычислении, которое является не более громоздким, чем другие математические процедуры. Ско­ рее всего, трудность заключается в интуитивном понимании этих величин. К несчастью, в большинстве руководств эта тема излагается в строгих математических терминах, не всегда по­ нятных нематематику.

Очень хорошее изложение понятий о собственных векторах и собственных значениях, сопровождающееся геометрической интерпретацией, было подготовлено Гоулдом для студентов гео= графического факультета Пенсильванского университета. При­ веденное здесь изложение темы основывается на этой работе, а также на статье Гоулда [3]. Мы будем рассматривать матри­ цу, составленную из координат точек в некотором пространст­ ве, и интерпретировать свойства собственных значений и ассо­ циированных с ними собственных функций как геометрические свойства расположения точек. Такой подход требует рассмот­ рения матриц низких порядков. Однако интуитивные представ­ ления, полученные для этого случая, можно экстраполировать на матрицы больших порядков, даже на такие, вычисления для которых практически невыполнимы при ручном счете. Следует заметить, что мы вступаем в такую область, в которой очень часто даже наиболее мощные ЭВМ оказываются не в состоянии

преодолеть вычислительные трудности. Так как мы уже позна­ комились с определителями, то можем их использовать для введения понятий собственных значений и собственных векто­ ров. Пусть дана система уравнений, записанная в матричной форме:

константы А, на вектор-столбец неизвестных. Задача почти та­ кая же, как и решение системы уравнений

только теперь [В]=А,[Х].

Нужно найти значения А,, удовлетворяющие этому соотно­

где Ц_1] — единичная матрица [/], умноженная на число А, (по­ рядок матрицы [/] такой же, как и порядок матрицы [Л]). Матрица А,[/] порядка 3x3 имеет вид

Используя принятую запись, получим следующую систему уравнений:

( О ц — А ,)Х ] + 0 12 ^ 2 + 013*3 “ О,

Предположим, что у этой системы есть нетривиальные ре­ шения, т. е. что существуют х,=^0. По правилу Крамера для решения системы уравнений неизвестные находятся как отно­ шения двух определителей. В связи с тем что в матрицах, оп­ ределители которых являются числителями этих отношений, есть нулевой столбец, эти определители равны нулю. Таким образом,

Записав это соотношение иначе, получим

148

Если [X] — ненулевой вектор, то определитель матрицы [Л] равен нулю, т. е.

Обычно коэффициенты а,-; нам известны, и поэтому можно воспользоваться этим соотношением для нахождения значений, удовлетворяющих заданным условиям. Для этого представим определитель как полиномиальное уравнение. Рассмотрим сна­ чала определитель матрицы порядка 2X2:

#21 #22 Я Представим определитель в виде

(#11 -- Я) (#22 --- Я) -- #21#12 = 0.

После перемножения получим

Если читатель незнаком с этой формулой, а также с разло­ жением квадратного трехчлена на множители, он может вос­ пользоваться элементарным учебником алгебры.

Вычислим теперь собственные значения матрицы порядка 2x2. Пусть

Сначала представим матрицу в форме

149

Перемножение дает: —272—17Я + 16Я + л2 + 270 = 0, или А,2 — Я— —2= 0, или после разложения левой части уравнения на мно­ жители (Я—2)(Я+1)=0, что определяет два собственных зна­ чения Я] = +2, Я2 = —1.

Этот пример был выбран нами для упрощения вычислений. Теперь же рассмотрим более сложный пример, в котором ис­ пользуется система уравнений, которую мы неоднократно рас­ сматривали выше. Пусть дана матрица порядка 2x2:

Таким образом, собственные значения найдены верно с точ­ ностью до двух десятичных знаков.

150

Прежде чем покончить с вычислением собственных значений матриц порядка 2x2, рассмотрим еще один пример, чтобы по­ казать, какие могут возникнуть дополнительные осложнения. Попытаемся найти собственные значения следующей матрицы:

2 4 '

\А} = — 6 3

Приравняем нулю соответствующий определитель

2 — Я 4

— 6 3 — Я = 0, вычисляя который, получим

2 — Я 4

— 6 3 — Я = (2 — Я)(3 —Я) + 24 = 0

или

А,2— 5 л + 3 0 = 0 .

Корни этого уравнения вычисляются по формуле

Мы видим, что нахождение корней этого уравнения требует извлечения квадратных корней из отрицательных чисел, тогда

где Я], Яг— комплексные числа, содержащие как действитель­

ную, так и мнимую части, включающие число i= y—1. К сча­ стью, симметричные матрицы всегда имеют действительные собственные значения, и в большинстве наших вычислений, связанных с собственными векторами и собственными значения­ ми, используются ковариационные, корреляционные или анало­ гичные матрицы, которые всегда симметричны.

Теперь рассмотрим процедуру вычисления собственных зна­ чений для матрицы порядка 3x3:

Приравниваем нулю соответствующий определитель

после чего получим —Я3 + 2Я2+8Я=0.

151