книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

Таблица 2,26

Критические значения критерия Колмогорова — Смирнова для одностороннего и двустороннего критерия______

1 1 1 Односторони № КрИ'герий

спей. Это усовершенствование позволяет использовать изло­ женный метод аналогично тому, как мы использовали процеду­ ру х2 для проверки гипотез о данных, приведенных в табл. 2.19.

Следуя Лиллиефорсу, сначала приведем данные^ к стандарт­ ной форме, используя преобразование Z,= (X,-—X)/s.

Среднее и дисперсия находятся обычным образом. Далее стандартное нормальное распределение и значения Z наносятся на график в кумулятивной форме, как это сделано на рис. 2.41 для значений солености в бассейне Уайт-Уотер. Максимальная абсолютная разность между двумя кривыми соответствует про­ бе с номером 35 и значению Z=0,37, где соленость равна 53 части/млн. Критические значения критерия Колмогорова—

--=0,06. Эго значение не попадает в критическую область. По­ этому отклонить нулевую гипотезу о том, что выборка получе­ на из совокупности с нормальным распределением, нельзя.

На этом мы заканчиваем изложение элементарных статисти­ ческих процедур, но не потому что рассмотрели их во всей пол­ ноте, а попросту для того, чтобы перейти к другим вопросам. Рассматриваемый материал является очень кратким изложе­ нием полугодового вводного курса в математическую статисти­ ку, к которому добавлены избранные главы из более специаль­ ных курсов. Автор не рассчитывал на то, что сумеет в столь ма­ лом объеме дать строгое обоснование обсуждаемых вопросов. Однако представляется, что изложенного будет достаточно для первого знакомства с основными понятиями теории проверки статистических гипотез.

Чрезвычайно краткое изложение процедур проверки стати­ стических гипотез может служить введением в более сложный круг вопросов, рассматриваемых в последующих главах. Этот материал не исчерпывает содержания математической стати­ стики. Уэллис и Робертс во введении к своей книге [33] ука­ зывают: «статистика — живой и увлекательный предмет, но ее изучение очень часто протекает слишком вяло». Изложив эту науку в контексте геологических задач, можно надеяться, что эта книга представит интерес для геологов, имеющих дело со статистической обработкой данных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aichiscn ]., A new approach to null correlations of proportions: Jour, of Int’1. Assoc. Mathematical Geology, 1981, 13, p. 175— 189.

2.Aichison L, and Brown A. C., 1969, The lognormal distribution: with spe­ cial reference to its uses in economics: Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1969, p. 176.

3.Ash R. B , Basic probability theory: John Wiley and Sons, Inc., New York,

1970, 337 p.

Содержит полное изложение философских основ теории вероятностей и мате­ матической статистики.

4.Bradley J. V., Disiribution-free statistical tests: Prentice-Hall, Inc., Engle­ wood Cliffs, N. J„ 1968, 338 p.

Эта книга содержит наиболее полный перечень таблиц для непараметрическпх критериев.

5.Chaijes F., Ratio correlation: Univ, Chicago Press, Chicago, 1971, 99 p.

Книга содержит подробное изложение результатов статистических исследова­ ний ( тношения и других способов определения замкнутых данных. Приводятся

123

8.Conover W. J. Practical nonparametric statistics. 2nd ed.: John Wiley and.1

Sons, Inc., New York, 1980, 493 p.

Большинство из упомянутых в этой главе непараметрически.х критериев рас­ смотрено в этой книге. В частности в ней содержится очень полное изложение критериев скачков.

9.Duckworth W. Е. Statistical techniques in technological research. Methuen and Co., London, 1968, 303 p.

Одна из лучших и самых распространенных книг по статистике, предназначена для исследователей, желающих применять статистические процедуры. Большое внимание уделено планированию эксперимента. Несмотря на сложность этих вопросов, они становятся доступными благодаря блестящему изложению.

10.Fisher R. A., Statistical methods and scientific inferences. Oliver and Boyd, Edinburgh, 1973, 175 p.

Вкниге излагается эволюция статистической мысли. Гл. 2 и 5 посвящены изло­ жению основ теории вероятностей, се понятий н следствий, вытекающих из них.

11.Folk R. L. Stages of textural maturity in sedimentary rocks. Jour. Sedi­ mentary petrology, 1951, 21, p. 127— 130.

12.Freund J. E., Williams F. J. Dictionary/'outline of basis statistics, McGraw-Hill, Inc., New York, 1966, 195 p.

Необходимое пособие для всех, кто применяет статистику. Вполне доступный

ихорошо составленный словарь большинства геологических терминов, сводка

общеизвестных (и некоторых неизвестны) формул и статистических критериев

итаблиц.

13.Griffiths J. С. Scientific method in the analysis of sediments: McGrawHill, Inc., New York, 1967, 508 p. Имеется русский перевод: Гриффитс Дж. На­ учные методы исследования осадочных пород, М., Мир, 1971, 422 с.

Главы 13—22 являются введением в прикладную статистику. Особый интерес в этой книге представляет изложение вопросов, связанных с корректными схе­ мами статистических экспериментов.

14. Guenther W. С. Concepts of statislica! inference. 2nd ed., McGraw-Hill; Inc., New York, 1973, 512 p.

Сжатое введение в статистику для тех, кто хочет получить максимум информа­ ции в малом объеме. В книге затронут широкий круг вопросов, обычно не со­ держащихся в книгах такого объема.

15.Hald A., Statistical tables and formulas, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1952, 97 p.

16.Hicks C. R. Fundamental concepts in the design of experiments, 2nd ed. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1973, 293 p.

Руководство по планированию эксперимента и дисперсионному анализу. В гл. 6 приводятся графическая интерпретация взаимодействий для двухфдкторных планов и примеры.

17.Kellaway F. W., ed., Penguin-Honeywell book of tables, Penguin BooksLtd., Harmondsworth, England, 1968, 75 p.

Математические таблицы, приведенные в этой книге, вычислены на ЭВМ фир­ мой Electronic Data Processing Division of Honeywell Control Ltd. Результаты были записаны на магнитной ленте, а затем напечатаны. Поэтому о них можно сказать, что их не касалась рука человека и что они не содержат ошибок, обычно вкрадывающихся в такие материалы. Табл. 2.11, 2.14 и 2.18 2-й гл.

книги Д ж . Дэвиса взяты из книги [17] и напечатаны с разрешения автора.

18. Koch G. S., Jr. and Link R. F. Statistical analysis of geological data, Dover, Inc., New York, 1981, 850 p. Это однотомное издание представляет собой перепечатку оригинального двухтомника. Содержит подробное изложение ста­ тистического анализа геологических данных, в частности данных опробования. Включает подробное изложение выборочных схем, методов дисперсионного ана­ лиза и множественной регрессии. Подробно рассмотрены некоторые специаль­ ные вопросы н примеры. Особый интерес представляет гл. 11, в которой речь идет об интерпретации данных с постоянной суммой.

19 Kork J. О. Examinah'on of the Chayes-Kniskal procedure for testing cor­

121

Глава 3

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

Эта глава посвящена матричной алгебре. Большинство ме­ тодов, которые будут рассмотрены в следующих главах, осно­ ваны на операциях с матрицами, часто выполняемых вычисли­ тельными машинами. Особое внимание будет уделено математическнм операциям, которые лежат в основе анализа поверх­ ностей тренда, метода главных компонент, дискриминантного анализа п др. Вычислительные процедуры, связанные с этими методами, почти невыполнимы без вычислительных машин в связи со сложностью и многократностью производимых вычис­ лений. С помощью матричной алгебры их можно представить в доступном и сжатом виде. Таким образом, если читатель вла­ деет основами матричной алгебры, он сможет понять основные процедуры, которые будут рассмотрены ниже.

К сожалению, большинству геологов при обучении не пре­ подают курс матричной алгебры, несмотря на то что этот не­ трудный предмет, по-видимому, более полезен, чем ряд других математических курсов. Курс матричной алгебры в колледжах обычно насыщен многочисленными теоремами и их доказатель­ ствами. Такое изложение непригодно для этой короткой главы, и мы ограничимся только теоремами, которые потребуются в последующем изложении. При этом предпочтение будет отдано не доказательствам, а примерам.

МАТРИЦА

Матрица — это набор чисел, расположенный в виде прямо­ угольной таблицы, точно такой же, как таблица данных. В мат­ ричной алгебре таблица рассматривается не как набор отдель­ ных элементов, а как единое целое, что приводит к значитель­ ным упрощениям ряда процедур и зависимостей. Во второй гла­ ве отмечалось, что отдельный элемент матрицы обычно обозна­ чается буквой с приписанными внизу индексами. Элементами матрицы могут быть дисперсии и ковариации, результаты наб­ людений, коэффициенты системы уравнений и просто любые числа.

Так, например, в гл. 2 требовалось вычислить оценки дис­ персий и ковариаций для содержании микроэлементов, приве­ денных в табл. 2.3. Полученные результаты можно представить

126

Единичная матрица — это симметричная матрица, в которой

.все диагональные элементы равны 1, а все остальные равны 0:

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ

Сложение и вычитание матриц подчиняется законам обыч­ ной алгебры, но при одном важном условии: складываемые или вычитаемые матрицы должны иметь равное число строк и рав­ ное число столбцов.

При выполнении операции сложения [С] = [Л]+[б] к каж­ дому элементу матрицы [Л] прибавляется соответствующий эле­ мент матрицы [б]. Если матрицы разных порядков, то операция сложения невыполнима. Вычитание [С] = [Л]—[б] выполняется таким же способом: каждый элемент матрицы [б] вычитается из соответствующего элемента матрицы [А].

В качестве иллюстрации в табл. 3.1 приведена характерис­ тика добычи бентонитовой глины в трех горнодобывающих рай­ онах штата Вайоминг.

Добывается три основных сорта глины: один применяется

.для приготовления бурового раствора, другой — в качестве ли­ тейной глины и последний используется как лекарственное н косметическое средство, для керамических целей и др. Все эти данные можно записать в виде матрицы И ] порядка 3x3:

10о 63 5 218 80 2

.220 76 1.

Продукцию, добытую в следующем году, также можно оха­ рактеризовать матрицей [б]:

' 84 102 4 [б]= 240 121 1 _302 28 0.

Общая продукция за два года в трех районах будет пред­ ставлять сумму [С] двух матриц [А] и [б]:

128

Т а б л и ц а 3,1

Добыча бентонитовых глин в Штате Вайоминг, 1964 г. (в 1 -10s т)

Изменение добычи можно представить как разность матри­ цы [Л] и матрицы [В], т. е.

Отметим, что положительные элементы матрицы [В]—[Л]

Умножение матрицы на константу сводится к умножению каждого ее элемента на эту константу. Например,

'1 4" '3 12* 3- 2 5 = 6 15

.3 6. .9 18.

Аналогично проводится деление матрицы на постоянное число. В качестве простого примера применения этих операций рассмотрим табл. 3.2, содержащую результаты измерения дли­ ны трех осей а, b и с кремниевых галек, взятых из ледниковых отложений. Измерения сделаны в дюймах и их нужно перевес-

Т а б л и ц а 3,2

Измерения осей галек из ледниковых отложений

ти в миллиметры. Чтобы получить матрицу, содержащую дан­ ные в миллиметрах, надо умножить матрицу [Л] на постоянную величину 25,4.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Вспомним задачу с бросанием монеты, рассмотренную в гл. 2, где вычислялась вероятность появления последовательно­ сти гербов после ряда бросаний, если вероятность выпадениягерба при одном бросании равна */2- Вероятность выпадения трех гербов при трех бросаниях равна V2XV2XV2, или '/г3Аналогичную задачу можно сформулировать при изучении ли­ тологической характеристики стратиграфического разреза. Предположим, что при изучении разреза в нем выделены три; литологические разновидности пород: песок, сланец, известняк. Каждый участок разреза можно отнести к одному из перечис­ ленных типов. В итоге можно построить матрицу частот появ­ ления каждого типа пород в разрезе вслед за другими типами.:;

Эта матрица называется матрицей переходных частот и по­ казывает, например, что сланец следует за песком 18 раз, а из­ вестняк за песком — только 2 раза; известняк следует за слан­ цем 41 раз, повторение известняка встречается 51 раз, а за песком — только 2 раза.

Чтобы получить нз этих частот вероятности, нужно разде­ лить каждый элемент матрицы на сумму элементов соответст­ вующей строки. Таким образом получим матрицу переходных, вероятностей, приведенную ниже, которая содержит вероятно­ сти событий, заключающихся в том, что порода одного типа следует за породой другого типа.

Этот вопрос будет рассмотрен детально в следующей главе при анализе временных рядов. Теперь же нас интересует мат-

130

рпца вероятностей, аналогичных вероятностям в задаче о бро­ сании монеты:

Так же, как н в задаче о бросании монеты, где была опреде­ лена вероятность выпадения последовательности гербов с по­ мощью возведения в степень вероятности выпадения герба при одном бросании, можно определить вероятность появления оп­ ределенных последовательностей пород в заданном интервале. Для этого достаточно возвести в степень матрицу переходных вероятностей и получить после п таких перемножении матрицу вероятностей [Д], которая будет равна матрице IP"]. Матрица в степени п — это просто результат умножения матрицы па себя п раз. Однако для выполнения этой операции нужно знать пра­ вила перемножения матриц.

Самая простая форма матричного умножения — это умноже­ ние двух квадратных матриц [Л] и [В] одинакового порядка, произведение которых снова является квадратной матрицей [С]. При этом удобно располагать матрицу следующим образом:

[й] [Л] [Результат]

Чтобы получить значение элемента с1}, нужно умножить каждый элемент t-ii строки матрицы [Л] (начиная слева) на соответствующий элемент /-го столбца матрицы [5] (начиная сверху). Для получения искомого элемента су,- все эти произ­ ведения суммируются. Ниже на примере двух матриц показана последовательность операций при матричном умножении:

Сначала умножим Сц на Ьц и в результате получим 1:

Далее, умножая а[2 на 621, получаем 12:

131