книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

методов исследования. Многомерные методы, например, позво­ ляют объединять объекты в группы, которые находятся в со­ гласии с принятыми классификациями, однако они могут ука­ зать на неожиданные соотношения между переменными. Иног­ да требуемое объяснение этого факта не может быть найдено, а в других случаях, наоборот, могут возникать новые теории, которыми иначе пренебрегли бы.

Возможно, что наибольший эффект от количественных ме­ тодов заключается не в их способности показать, что верно, а скорее в том, чтобы показать, что неверно. Эти методы могут указать на недостаточность данных, обилие допущений, малое количество информации, на которой базируется большинство геологических исследований. При внимательном и беспристра­ стном анализе многие геологические выводы превращаются в набор догадок и предположений, основанных на очень незна­ чительном количестве данных, большая часть которых имеет противоречивую и незаконченную форму. Если бы геология была экспериментальной наукой, подобно химии и физике, где наблюдения можно проверить на опыте, то упомянутые проти­ воречия можно было бы устранить. Однако мы имеем дело с описательной наукой, и применение точных количественных ме­ тодов часто напоминает нам о несовершенстве наблюдателей, каковыми мы являемся. В самом деле, склонность к научному скептицизму — одна из опасностей, которая часто подстерегает геоматематиков. Им часто свойственна подозрительная и про­ тивоборствующая позиция по отношению к установившимся в геологии традициям. Однако надо признать, что такой цинизм зачастую имеет оправдание. Геологи обучаются наблюдению образов и структур в природе. Геоматематические методы обеспечивают объективность, необходимую, чтобы избежать существования тех образов, создание которых оправдано толь­ ко соображениями общего порядка.

ГЕОСТАТИСТИКА

Все методы количественного геологического анализа, рас­ сматриваемые в этой книге, можно отнести к разряду статис­ тических, иногда «квазистатистических» или «протостатистнческих» процедур. Большая часть их недостаточно разработана и не может быть использована при строгой проверке статисти­ ческих гипотез. Ни один из этих методов нельзя считать адек­ ватно отвечающим общей теории геологических совокупностей. Однако, подобно статистическим критериям, методы математи­ ческой геологии основаны на предпосылке, что информацию о явлении можно получить в результате исследования малой вы­ борки, отобранной из значительно большего множества потен­ циально возможных наблюдений изучаемого явления.

12

Рассмотрим задачу картирования глубинных структур при

ризонтов. Единичное наблюдение представляет собой абсолют­ ную отметку кровли горизонта, замеренную в одной из сква­ жин. Если бы мы могли пробурить неограниченное число сква­ жин, то это позволило бы получить бесконечное множество замеров абсолютной отметки кровли данного горизонта. Одна­ ко в действительности мы ограничены уже пробуренными сква­ жинами и, возможно, если это будет оправданно, пробурим небольшое число дополнительных. По этим данным мы долж­ ны наилучшим образом описать конфигурацию кровли горизон­ та между скважинами. Эта задача аналогична статистическо­ му анализу, но, в отличие от статистики, мы не можем соста­ вить выборочный план или контролировать способ, которым имеющиеся данные были получены. Однако мы можем исполь­ зовать методы количественного картирования, которые тесно примыкают к статистическим процедурам, даже в случае если выполнены не все формальные статистические требования.

В противоположность этому можно рассмотреть также гор­ но-проходческие работы и процесс эксплуатации месторождения. В течение многих лет горные инженеры и геологи разрабаты­ вали детальные схемы опробования и бурения и проводили статистический анализ наблюдений. В последнее время число публикаций по теории опробования катастрофически растет. Их авторы, создавая теоретическую базу для применения фор­ мальных статистических критериев, предлагают для описания изменчивости содержаний руды ряд сложных статистических распределений. Там, где геологи контролируют отбор проб, они могут быстро выбирать удобную систему отработки. Их успех в разработках месторождений свидетельствует о силе этих ме­ тодов.

К сожалению, большинство геологов вынуждены брать свои пробы только там, где это возможно. Данные по нефтяным скважинам слишком дороги для того, чтобы отбросить их только потому, что они не укладываются в схему опробования. Палеонтологи вынуждены довольствоваться ископаемыми ос­ татками организмов, взятыми из обнажения, которые, будучи погребенными, никогда бы не были доступны исследованию. Пробы могут быть также отобраны из апикальных частей инт­ рузивов, вскрытых в естественных обнажениях. Пробы из кор­ невых частей тех же тел безнадежно глубоко скрыты в земной коре. Редки случаи, когда в одном месте собрано очень много данных. Чаще их бывает недостаточно. Наши наблюдения, связанные с исследованием Земли, слишком дороги, чтобы ими можно было пренебречь. Мы должны выяснить, какие сведе­

13

ния мы можем из них извлечь, изучить недостатки этих сведе* ний и выявить имеющиеся тенденции.

Многие опубликованные работы посвящены вопросам пла­ нирования статистического эксперимента. Среди них наиболее интересна геологическая часть книги Гриффитса, в которой рассматривается вопрос о влиянии выборки на результаты ис­ пользования статистических критериев. Хотя примеры Гриф­ фитса взяты из осадочной петрологии, те же методы примени­ мы в равной мере и к другим проблемам в науках о Земле. Книга дает строгую формальную интерпретацию геологических явлений, основанную на использовании статистических мето­ дов. Ее можно рекомендовать тем, кто при проведении геологи­ ческого эксперимента может осуществить строгий контроль над процессом взятия проб. Так как эти вопросы вместе с вычисли­

находится вне нашего контроля. Однако замечено, что неконт­ ролируемый эксперимент (т. е. такой эксперимент, при кото­ ром исследователь не может влиять на места взятия проб), обычно выводит нас за рамки классической статистики. Этообласть «квазистатистики», или «протостатистики», где допу­ щения формальной статистики не могут быть использованы безоговорочно. В этой области не существует вполне разрабо­ танных критериев проверки гипотез, и лучшее, на что мы мо­ жем надеяться, — это использование известных процедур во вспомогательных целях, причем в конечном счете выбор реше­ ния предоставляется исследователю.

СИСТЕМЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Количественные методы в геологии требуют более глубоких знаний, чем поверхностные сведения, используемые при работе с компьютерами. Так как выводы, полученные с помощью коли­ чественных методов, основаны хотя бы частично на величинах, полученных в результате измерений, геолог должен иметь представление о природе систем чисел, в которых проводятся измерения. Ученый, исследующий Землю, должен не только понимать геологический смысл записываемых переменных, но также чувствовать математический смысл используемых шкал измерений. Эта тема более сложная, чем может показаться на первый взгляд. Ее подробное изложение и библиография при­

14

Способ, которым наблюдению приписываются численные значе­ ния, определяет шкалу измерений. Последняя в свою очередь определяет тип анализа, который может быть осуществлен с этими данными. Существует четыре шкалы измерений, причем каждая последующая более точна, чем предыдущая, и более информативна. Первые две — это номинальная и порядковая шкалы, в которых измерения попросту классифицируются как две взаимно исключающие друг друга категории. Две послед­ ние шкалы — интервальная и шкала отношений — являются как раз тем, что мы обычно считаем «измерениями», так как они заключают в себе измерения величин признака.

Номинальная шкала измерений основана на классификации наблюдении во взаимно исключающие друг друга категории одинакового типа. Эти категории могут быть обозначены цве­ тами, например, красный, зеленый, голубой или символами «А», «В», «С», или числами. Однако числа могут использовать­ ся просто как идентификаторы, т. е. может не существовать соотношения «2 вдвое больше 1» млн «5 больше 4». Классифи­ кация ископаемых остатков по типам — пример номинальных измерений. Отнесение одних ископаемых остатков к брахиопоцам, а других — к крияоидеям ничего не говорит об относи­ тельном значении или величине тех и других.

Можно сосчитать число наблюдений каждого типа в номи­ нальной системе и затем использовать для их обработки какиелибо непараметрические критерии. Классический пример дан­

Примером геологического эквивалента этих данных может слу­ жить появление зерен полевого шпата или кварца вдоль пере­ сечения шлифа. Кварц и полевой шпат образуют две взаимно исключающие одна другую категории, которые нельзя никаким ■образом осмысленно ранжировать.

порядковой шкалы. Хотя твердость минералов в шкале, имею­ щей десять делении (от 0 до 10), увеличивается с повышением ранга, разности между соседними уровнями различны. Разли­

степени метаморфизма, которая отражает интенсивность мета­ морфического изменения. Однако переходы между разными уровнями не отражают единой закономерности изменения тем­ пературы и давления.

Как и для данных номинальной шкалы, количественный анализ порядковых измерений ограничен главным образом подсчетом числа наблюдений в различных состояниях. Однако

15

мы можем также рассмотреть способ, которым упорядочены различные порядковые классы, следующие один за другим. Это делается, например, при определении того, имеют ли со­ стояния, появляющиеся необычное число раз, тенденцию сле­ довать за наиболее или наименее частыми состояниями поряд­ ковой шкалы.

Интервальная шкала — шкала, где длина последовательных интервалов постоянна. Наиболее распространенный пример— температурная шкала. Увеличение температуры в интервале от 10 до 20 °С точно такое же, как увеличение между ПО и 120°С. Однако интервальная шкала не имеет естественного нуля, или точки, где величина является несуществующей, Таким образом,

шкалы была выбрана произвольно, как точка замерзания во­ ды. В абсолютной шкале Кельвина точка 0 К обозначает тем­ пературу, при которой останавливается молекулярное движе­ ние. Никакая температура не может быть ниже этой. Таким образом, шкала Кельвина является не интервальной шкалой, а шкалой отношений.

Шкала отношений имеет не только одинаковые приращения, между отдельными градациями, но я истинную нулевую точку. Измерения длины относятся к этому типу. Длина в две еди­ ницы вдвое превосходит длину в одну единицу. Не существует объектов нулевой длины. Общепринято, что отрицательных длин не может быть.

Шкала отношений — наивысшая форма измерений. С ее по­ мощью можно осуществить все типы математических и стати­ стических операций. Хотя интервальная шкала теоретически менее информативна, чем шкала отношений, для многих целей обе могут быть использованы с одинаковым успехом. Большин­ ство геологических измерений осуществляется на шкале отно­ шений, потому что они состоят из измерений длины, объема, массы и т. д. В следующих главах мы прежде всего будем ка­ саться анализа интервальных и относительных данных. Между ними не будет делаться никакого различия; более того, их можно совместно использовать при решении одной и той же за­ дачи. Такого рода пример встречается в анализе поверхностей тренда, где функция может быть измерена по шкале отноше­ ний, тогда как географические координаты, являющиеся аргу­ ментами, — по интервальной шкале, так как начало координат­ ной сетки можно выбрать произвольно.

ЛОЖНАЯ УВЕРЕННОСТЬ

Эту главу можно было бы закончить следующим преду­ преждением. Применяя математические методы, можно запу­ таться в тех из них, которые имеют некую претензию на точ-

16

ность, в некотором приближении выражают существующие соотношения и основаны, как это принято считать, на непогре­ шимых процедурах. Заметим, что вычислительные машины можно использовать как очень эффективное средство запуги­ вания. Так, представление численных массивов с точностью до восьми десятичных знаков обычно подавляет умы многих лю­ дей и утверждает их природный скептицизм. Геологический доклад, использующий математические термины и переполнен­ ный численными данными, обычно отпугивает всех, кроме не­ многих критиков, и даже те, кто понимает его и может дать

оптически анализировать свои данные и методы их интерпре­ тации. Загипнотизированный числами, не видя ничего за пре­ делами вычислительной лаборатории, он может прийти к са­ мым нелепым заключениям. Необходимо всегда иметь в виду изречение, обычно имеющееся на стенах каждого вычислитель­ ного центра: «что посеешь, то и пожнешь».

Глава начиналась с одной цитаты, закончим ее другой. Следующие слова были оставлены на моем столе неизвестным критиком.

«Что может быть ограниченнее, чем ввод неверных данных в ЭВМ и наив­ ная надежда получать уточненное на­ полеоновское решение?».

Майор Александр П. де Северскн

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Churchman С. W. and Р. Ratoosh, eds„ Measurement: definitions and the­ ories: John Wiley and Sons, Inc., New York, 1959, 274 p.

2.Fisher R. A. The expansion of statistics: Jour. Royal Statistical Soc., 1953 series A. 116, p. 1—6.

3.Griffiths J. C. Some aspects of measurement in the geosciences: Pennsyl­ vania State Univ. Mineral Industries, 1960, 29, no. 4, p. 1, 4, 5, 8.

4.Griffiths J, C. Scientific method in analysis of sediments McGraw-Hill, Inc., New York, 1967, 508 p. Имеется русский перевод: Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород. М., Мир, 1971.

2-201

Глава 2

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИКА

Несмотря на то, что непосредственные наблюдения геологов ограничены поверхностью земной коры, с их помощью пыта­ ются выяснить природу ядра и мантии, а также глубинных слоев земной коры. Кроме того, изучаются процессы эволюции Земли, такие, как горообразование и развитие континентов, не­ досягаемые для прямого исследования. Если не считать астро­ номов, то не существует другой группы ученых, более удален­ ных от предмета исследования и имеющих меньшие возможно­ сти экспериментировать над ним, чем геологи. Геология в зна­ чительной степени остается наукой, основанной на наблюдени­ ях, в частности на таких, которые содержат большую долю не­ определенности. 3 связи с этим статистике предназначено иг­ рать огромную роль в подобных исследованиях. Несмотря на то, что первоначально термин «статистика» имел отношение к подсчету числовых характеристик, как, например, при игре в бейсбол, сейчас она применяется и для анализа данных, осо­ бенно в условиях неопределенности. Статистические задачи скрыто или явно встречаются там, где содержится элемент случайности. Геологи должны иметь представление об этих задачах н о тех статистических приемах, которые позволяют их решать.

ВЕРОЯТНОСТЬ

Несмотря на то, что существует много руководств по тео­ рии вероятностей, представляется полезным остановиться на том, как определяется вероятное событие через возможное. В любом явлении существует некоторое множество (иногда бесконечное) возможных исходов, которые находятся в веро­ ятностной зависимости, описываемой частотой встречаемости. Анализируя вероятности этих исходов, можно оценить поведе­ ние изучаемого объекта или события в прошлом пли будущем.

Каждый из нас имеет интуитивное представление о вероят­ ности. Например, если вас спросят, будет ли завтра дождь, вы ответите с некоторой степенью уверенности, что дождь либо возможен, либо невозможен, или в редком случае, что дождь будет обязательно, или, наоборот, что дождя наверняка не бу­ дет. Одним из способов выражения нашей уверенности являет­ ся числовая шкала, например, процентная. Если мы полагаем, что вероятность того, что пойдет дождь 30%, то вероятность того, что дождя не будет, равна 70%.

18

1/2-1/2-1/2 = 1/8. Обоснование этой прогрессии простое. В пер­ вом бросании вероятность выпадения герба 1/2. Так как исход второго бросания не зависит от первого, наши возможности получить герб во втором бросании снова 1/2. Подобно этому, третье бросание не зависит от предыдущих, и вероятность вы­ падения герба в третьем бросании снова равна 1/2. Итак, ве­ роятность выпадения трех гербов составляет «половину поло­ вины половины».

Предположим, что теперь нам нужно определить вероят­ ность выпадения только одного герба в трех бросаниях. Име­ ются следующие возможные исходы (Г — герб; Р — решка):

В скобках взяты те комбинации, которые удовлетворяют нашим требованиям, т. е. они содержат только одни герб. Так как имеется 8 различных комбинаций, вероятность получения только одного герба при трех бросаниях равна 3/8.

Полученное нами число представляет собой число возмож­ ных комбинаций из трех по одному. Обобщая этот пример, можно определить число возможных сочетаний из п элементов

по г, Это число символически изображается так

Можно доказать, что число сочетаний из п элементов по т равно

Восклицательный знак обозначает факториал, и п! есть про­ изведение п последовательных целых чисел:

Значение 3! равно 3-2-1=6. В нашей задаче

т. е. имеется три возможные комбинации, содержащие один герб. Так же вычислим число возможных комбинаций, содер­ жащих два герба:

ГГГ[ГРГ] РРР

20

Требуемые комбинаци взяты в скобки. Наконец, сколько возможных комбинаций при трех бросаниях содержат три герба?

\ 3/ 3!(3 — 3)! — 3-2-1 (1)

Заметим, что по определению число 0! равно не нулю, а 1. Наконец, остается возможность, когда при трех бросаниях не выпадает ни одного герба, и число таких комбинаций будет равно

Таким образом, при трех бросаниях монеты имеется одна воз­ можность не получить ни одного герба, три возможности по­ лучить один герб, три возможности получить два герба и одна возможность получить три герба. Этот результат можно изо­ бразить графически, как это сделано на рис. 2.1.

Мы можем подсчитать общее число возможных исходов, которое равно восьми, а затем преобразовать частоты появле­ ния отдельных событий в вероятности. Иначе говоря, вероят­ ность отсутствия гсфбов при трех бросаниях, т. е. вероятность выпадения одной комбинации среди восьми возможных, равна 1/8. Преобразуем теперь гистограмму рис. 2.1, откладывая по вертикальной оси вместо числа комбинации вероятности соот­ ветствующих событий. Мы получим дискретное распределение вероятностей, график которого представлен на рис. 2.2. Общая

21