книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

Т а б л и ц а 2.22

Критические значения для критерия Манна — Уитни [8]; значения ПР88®^®”1? для нижнего критического предела; соответствующий предел для верхней критической площади дается значением Тх-а.=птп—Та. [8|

112

Продолжение табл. 2.22

из выборок будут более или менее равномерно рассеяны в по­ следовательности рангов.

Пусть Xi — i-e наблюдение первой выборки, а У; — i-e наблю­ дение второй выборки. Ранг наблюдения Xi будет обозначаться через R(Xi), а ранг У,-— через R(Yi). Критерий Манна—Уитни имеет вид

занных с соляными куполами. Прогнозы делаются на основе картирования подстилающих горизонтов, которые регистриру­ ются сейсмическими методами. Потенциальные углеводородные ловушки включают наклонные блоки на флангах соляных ку­ полов и замкнутые антиклинали на их осях. В табл. 2.23 пере­ числены прогнозные площади, полученные на основе сейсмиче­ ских карт двух регионов побережья Луизианы. Нужно узнать, есть ли различия в распространении перспективных участков между двумя регионами.

Табл. 2.23 также содержит ранги объединенной выборки

наблюдений перспективных площадей в двух регионах. Сумма

П

рангов первой группы— 1,R(Xi)= 67. Поэтому статистика Манна — Уитни равна

7 = 67 —^1 + 1 2 = 3 1 .

2

Т а б л и ц а 2.23

Перспективные площади на нефть и газ солянокупольных структур двух регионов побережья Луизианы (по картам Морской сейсмической службы)

Критические значения Та, приведенные в табл. 2.22, принима­ ются за нижние пределы, т. е. они пригодны для проверки ну­ левой гипотезы: Н0: Е(Х)>Е(У) при альтернативе //,:£ (Л ')< ; < £ (У ). (Символ Е обозначает «математическое ожидание» и характеризует центр распределения, за который может быть принято как среднее значение, так и медиана.) Соответствую­ щие пределы для верхнего критического значения можно найти по формуле

Последние пригодны для проверки нулевой гипотезы Но :£ (X) < <£(У ) при альтернативе Н\ : £(А') > £ (К ).

В нашем примере, однако, мы хотим проверить двусторон­ нюю альтернативу и отклонить гипотезу о равенстве прогноз­ ных площадей в двух регионах, если они для первого региона либо значительно больше, либо значительно меньше, чем те же величины для второго региона. На формальном языке наши гипотезы и альтернатива имеют вид

Н0 : Е (J) = £(У), Н ,: Е {Х )ф Е {У ) .

Значения границы двух критических областей находятся по

114

табл. 2.22, как и Та/2 и пт—Та/2. Если задать уровень значимости «=10%, эти пределы будут 16 и 56, так как п и m оба равны8. Проверяемое нами значение критерия не попадает ни в одну из критических областей, так что этот критерий не позволяет утверждать, что объемы прогнозов в двух регионах различа­ ются.

Критерий Манна — Уитни появляется в немного различаю­ щихся формах в статистической литературе. Среди них можно назвать критерий Вилкоксона, критерий Зигеля — Тьюки, кри­ терии Фестинджера. Вариант Зигеля — Тьюки наиболее интере­ сен, так как он может быть использован для проверки равенст­ ва дисперсий в двух выборках и является, таким образом, непараметрическчм аналогом простого F-критерия.

Иногда случается, что два или более наблюдений при ранжи­ ровании получают одинаковые ранги. Это явление носит на­ звание связанных рангов. Тогда связанным наблюдениям при­ писываются одинаковые ранги, равные среднему значению ран­ гов, которые были бы приписаны, если бы наблюдения не былгз в точности совпадающими. Например, в табл. 2.23 мы можем положить наблюдение Х2 равным 220, а не 174 уел. ед. Тогда наблюдения Х2 и Уз будут связанными. Каждому будет припи­ сан ранг (8+ 9)/2 = 8,5. Критерий, использующий процедуры со связанными рангами, имеет тот же вид, что и ранее.

Критерий Краскла — Уэллиса

Непараметрический критерий эквивалентности нескольких выборок был рекомендован Красклом и Уэллисом. Действи­ тельно, он является непараметрическим аналогом однофактор­ ного дисперсионного анализа. Процедура его вычисления очень напоминает соответствующую процедуру для критерия Манна — Уитни; наблюдения из выборок комбинируются или объединя­ ются и затем ранжируются от наименьшего к наибольшему. Для каждой выборки находим сумму рангов:

где R(X;k) — ранг t-ro наблюдения в к-й выборке. Общее число

наблюдении есть N ~ Z n k, где пк— число наблюдений в к-й вы­ борке.

Нулевая гипотеза, которую требуется проверить, такова: все совокупности, из которых взяты выборки, имеют одинако­ вые распределения. Альтернатива состоит в том, что по мень­ шей мере одна из совокупностей имеет центральное значение, отличное от других. Предполагается, что все наблюдения были

собраны с л у ч а й н ы образом н что выборки независимы друг от

друга.

Для суммы рангов можно вычислить статистику Краскла — Уэллиса

Более легкая для вычислений алгебраически эквивалентная форма имеет вид

/=i

Критические значения Н табулированы только для трех выбо­ рок, каждая из которых состоит более чем из пяти наблюдении (см., например, [30, табл. 0]). К счастью, статистика Н рас­ пределена приблизительно как %2 с k—1 степенями свободы, так что этот критерий можно с успехом применять для реше­ ния более сложных задач.

Непараметрическая корреляция

В предыдущих параграфах подробно приведено вычисление коэффициента корреляции, а параметрический критерий значи­ мости выборочного коэффициента корреляции описан в пара­ графе, посвященном ^-критерию. Однако во многих случаях, когда обычный коэффициент корреляции (называемый иногда пнрсоновскнм коэффициентом корреляции) непригоден, жела­ тельно иметь и другие меры связей между переменными.

Считается, что структурные свойства песчаника отражают условия осадконакопления. Например, высоко энергетическая фациальная обстановка в окрестностях пляжа приводит к вы­ ветриванию и разрешению, в результате которых образуются хорошо рассортированные и хорошо окатанные грубозернистые отложения. При низко энергетических условиях отложения бу­ дут представлены менее тщательно отсортированным материа­ лом с более мелкими угловатыми зернами. Фолк [11] опреде­ ляет структурную зрелость как степень отсортированное™ и окатанности песчаных зерен. Предполагается, что эти два свой­

•116

ми, — простое дело. К сожалению, округлость н степень отсор­ тированное™ измеряются обычно не в интервальной шкале или шкале отношений, а в порядковой. Степень отсортированности

вать эти термины, го обычный коэффициент корреляции для характеристики силы связи между степенью окатанности и сте­ пенью отсортированности непригоден.

В таких случаях используется ранговый коэффициент кор­ реляции Спирмена, который, как это видно из самого назва­ ния, выражает степень сходства между двумя наборами рангов. Пусть мы имеем два набора порядковых измерений на некото­ ром множестве объектов, которые обозначим через X,- (для пер­ вого набора) и через У,- (для второго). Затем ранжируем каж­ дый набор измерений, обозначив их ранги соответственно через R(X,) и R(Y,). Коэффициент корреляции Спирмена измеряет сходство между двумя наборами рангов:

В скобках под знаком суммы содержатся разности рангов объ­ ектов двух наборов.

В табл. 2.24 приведены структурные характеристики двенад­ цати песчаников, являющихся нефтяными коллекторами. Каж­ дый из них сравнивался с другим для того, чтобы ранжировать их от наиболее плохо до наиболее хорошо отсортированного и от наиболее угловатого до наиболее окатанного. Результаты ранжирования приведены в таблице. Как и в критерии Манна — Уитни, наблюдениям со связанными рангами приписываются усредненные значения гех рангов, которые были бы приписа­ ны этим наблюдениям в случаях, если бы они не были связан­ ными.

Коэффициент корреляции Спирмена между двумя перемен­ ными равен

Область изменения коэффициента ранговой корреляции г' та­ кая же, как и у обычного коэффициента корреляции — от +1,0 (полное соответствие между рангами) до —1,0 (полная обрат­ ная связь между рангами). Равенство коэффициента ранговой корреляции нулю означает, что два множества рангов незави­ симы. Равенство коэффициента ранговой корреляции, напри­ мер, 0,43, означает, что имеется слабая положительная связь

117

Т а б л и ц а 2 .24

Окатанность и сортированность зерен песчаника в нефтяной залежи

Категории сортированное™: Б — бедный; У — умеренный; X — хорошо рассортированный. Категорий окатишюсщ. У — yiловатый, Г1У —полуугловатый; Г1К — полуокатааиын.

между степенью окатанности зерен и степенью их отсортированности.

Привычный /-критерий значимости коэффициента корреля­ ции не может быть применен к г', так как /-критерий применя­ ется в случаях, когда выборка сделана из совокупности, имею­ щей двумерное нормальное распределение. К счастью, сущест­ вуют таблицы критических значений, позволяющих прямо осу­ ществить проверку рангового коэффициента корреляции Спир­ мена; частично эти таблицы воспроизведены в табл. 2.25. Как и в случае /-критерия, нулевая гипотеза состоит в том, что две переменные независимы или что р/==0. Наиболее общая альтер­ натива— р'т^О, так что критерий двусторонний, и как очень большие, так и очень малые (отрицательные) значения приво­ дят к отклонению проверяемой гипотезы. Предположим, что принят уровень значимости а = 0,05, достаточный, по нашему мнению, для проверки значимости корреляции между окатанностью и отсортированностью. Тогда верхнее критическое зна-

119

чение будет соответствовать 1—а/2 = 0,975 и будет равно0,5804 для п=12. Нижнее критическое значение, соответствующее а/2 = 0,025, равно —0,5804. Вычисленный коэффициент корре­ ляции г' = 0,43 не выходит за эти границы, и гипотезу о том, что степень округлости и степень сортировки не зависят друг от друга, отклонить нельзя. Если все же между этими свойствами имеется связь, то выборка, состоящая из 12 наблюдений, не яв­ ляется достаточно представительной для того, чтобы устано­ вить это при 5%-ном уровне значимости.

Критерии Колмогорова — Смирнова

Одна очень полезная группа непараметрических критериев включает критерий Колмогорова — Смирнова. Наряду с други­ ми приложениями их можно использовать для проверки соот­ ветствия выборочного и гипотетического распределений, и та­ ким образом, они могут служить альтернативой описанного выше %2-критеркя. Хотя критерии соответствия типа %2 также являются непараметрическими в том смысле, что их можно при­ менять к наблюдениям с любым типом распределения, крите­ рии Колмогорова—Смирнова являются наилучшими в некото­ рых обстоятельствах. Самое значительное их преимущество со­ стоит в том, что для их использования не обязательно группи­ ровать наблюдения в произвольные категории; по этой причине они являются более чувствительными при проверке отклонении в хвостах распределений с низкими частотами, чем критерий у2.

На рис. 2.40 проиллюстрировано применение критерия Кол­ могорова—Смирнова. Из некоторой неизвестной совокупности взята выборка и нужно проверить соответствие выборочного распределения гипотетической модели. Как выборочная, так и гипотетическая модели нанесены на один и тот же график в ку­ мулятивной форме, площади под графиками приведены к 1,0. Находим наибольшую разность между значениями распределе­ ния; это и есть статистика Колмогорова—Смирнова (К—С). В табл. 2.26 приведены критические значения для статистика К—С; они могут быть использованы для проверки как одно­ сторонней, так и двусторонней гипотез. Двусторонняя нулевая гипотеза утверждает, что классы распределений, из которых получена выборка, для всех значений х совпадают с классами распределений гипотетической модели. Односторонняя нулевая гипотеза утверждает, что все классы выборочного распределе­ ния равны или меньше, чем классы гипотетической модели, если мы используем максимальную положительную разность прове­ ряемой статистики, или что все классы выборочного распреде­ ления равны или больше, чем классы гипотетической модели, если мы используем максимальную отрицательную разность

120

Рис. 2,40. Процедура проверки гипотезы о соответствии выборочного распре­ деления (тонкая линия) гипотетической модели (жирная линия) с помощь» критерия Колмогорова—Смирнова.

Оба графика даны в кумулятивной форме, область значения от 0,0 до !,0. Максималь­ ная разность — это проверяемая статистика К—С

Рис. 2.41. Кумулятивный график распределения значений солености в бассей­ не Уайтуотер, стандартизованных и приведенных к масштабу от 0,0 до 1,0.

Максимальная разность между кумулятивным выборочным распределением и кумуля­ тивным нормальным распределением — К—С равна 0,06

проверяемой статистики. В большинстве примеров мы будем использовать двустороннюю гипотезу и альтернативу.

Обычно критерий Колмогорова—Смирнова используется в тех случаях, когда гипотетическая модель полностью определе­ на, т. е. параметры распределения известны (или предполага­ ются известными) из каких-либо дополнительных соображений, отличных от данных, содержащихся в самой выборке. Некото­ рое усовершенствование критерия, принадлежащее Лиллиефорсу [24], однако, позволяет использовать метод Колмогорова—

121