книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

Если мы установили, что последовательности не имеют ни чренда, ни автокорреляции, можно попытаться проверить гипо­ тезу о том, что события подчинены распределению Пуассона.

Напомним, что в гл. 2 распределение Пуассона определялось как дискретное вероятностное распределение, которое можно считать предельным случаем биномиального при условии, что п (число испытаний) становится очень большим, а р (вероят­ ность успеха в одном испытании) становится очень малой. Мы можем представить себе, что наш временный ряд подразделя­ ется на п интервалов равной длины. Если события происходят случайно, то число интервалов, которые содержат в точности нуль, одно, два, . . . , х событий, будет подчиняться биномиаль­ ному распределению.

Если мы начнем уменьшать длины интервалов, п будет уве­ личиваться, а вероятности событий будут уменьшаться. Бино­ миальное распределение в этом случае уже не годится для под­ счетов, н удобнее пользоваться распределением Пуассона, так как в нем не требуется точных сведений о величинах п и р . Вместо этого требуется знать произведение пр=%, которое здесь характеризует скорость появления событий. Пуассоновская вероятностная модель основана на следующих допущениях: а) события происходят независимо; б) вероятность появления события не изменяется с течением времени; в) вероятность появления события в некотором интервале пропорциональна длине этого интервала; г) вероятность того что более чем два события произойдут в одном и том же временном интервале, исчезающе мала.

Заметим, что скорость появления событий % здесь является только параметром распределения. Типичные пуассоновские частотные распределения представлены на рис. 4.11. Распреде­ ление Пуассона применяется при решении таких задач, как оп­ ределение частоты телефонных вызовов на коммутаторе или определение промежутка времени между сбоями в вычисли­ тельной системе. Кажется вполне возможным его использование при изучении рядов геологических событий, описанных в нача­ ле этого раздела. Если мы смогли установить, что наша после­ довательность подчиняется пуассоновскому распределению, то мы можем использовать характеристики этого распределения для вероятностного прогнозирования данного ряда.

Критерий Колмогорова—Смирнова обеспечивает нам про­ стой способ проверки соответствия распределения ряда событий пуассоновскому распределению. Сначала ряды переводятся в

292

Первый критерий — это просто максимум положительных раз­ ностей между наблюденным рядом и ожидаемым, исходя из пуассоновского распределения; второй — это максимум отрица­ тельной разности и третий — это большее из абсолютных зна­ чений двух предыдущих. Проверяемая статистика КС затем сравнивается с двухсторонними критическими значениями, при­ веденными в табл. 2.26. Если статистика превышает критическое значение, то максимальное отклонение больше, чем ожидаемое в выборке, полученной случайным образом из пуассоновского распределения.

Маури Шейл — это черные, содержащие кремний, глины раннего мелового возраста, встречающиеся на территории шта­ тов Колорадо, Вайоминг и Монтана. Интервал характеризуется многочисленными бентонитовыми слоями, которые залегают в нескольких местах в Вайоминге и Монтане и обнаруживаются при бурении на ил и литейную глину. Бентониты состоят из монтмориллонита, возникающего как продукт разрушения вул­ канического пепла риолитового и андезитового состава. В табл. 4.7 приводятся значения мощности интервалов между последо­ вательными бентонитовыми слоями, измеренными в обнажении

Таблица 4.7

Мощность (в футах) интервалов между последовательными бентонитовыми слоями в меловых отложениях Маури Шейл

во Фремонт Кантри (щтат Вайоминг)

Маури Шейл во Фремонт Кантри (штат Вайоминг). Эти слои представляют скопления пепла в результате бурных изверже­ ний вулканов в Идахо. Предполагается, что содержащаяся там черная глина откладывалась с постоянной скоростью, и эту по­ следовательность значений мощности можно анализировать как ряд событий, аналогичный историческому ряду, образованному извержениями Асо.

Проверьте эти данные на тренд в значениях скорости появ­ ления. Если тренд не будет обнаружен, проверьте на автокор­ реляцию последовательные интервалы между событиями. Объ­ ясните: а) возможные эффекты от неодинаковых скоростей осадконакопления черной глины и б) возможность проявления активности более одного вулкана.

КРИТЕРИЙ СКАЧКОВ

Простейшая последовательность — это последовательность наблюдений, расположенных в порядке их появления, причем такая, что каждый ее элемент принадлежит одному кз двух взаимоисключающих друг друга состояний. Рассмотрим трещи­ новатую породу с конкрециями с целью поиска в них ископае­ мых остатков. Дробление конкрепнй является испытаниями, причем каждое из них имеет два взаимоисключающих исхода: конкреция либо содержит ископаемые остатки, либо нет. Пс-ле- довательность таких исходов при изучении данной породы в те­ чение дня составляет временной ряд специального типа. Мы мо­ жем построить аналогичную последовательность эксперимен­ тально, бросая монету и отмечая выпадение герба или решки. Полученная последовательность будет напоминать следующий ряд 20 событий:

ГРГГРГРРРГРГРГГРРГГГ.

Конечно, интуиция подсказывает нам, что в этой последователь­

194

ности должно появиться около десяти гербов, и мы можем оп­ ределить вероятность выпадения этого (или любого другого) числа гербов. В нашем примере мы получили 11 гербов; счи­ тая, что монета правильная, мы получаем вероятность выпаде­ ния этого числа гербов в последовательности 20 испытаний, равную 0,16, или приблизительно 1/6. В эксперименте, анало­ гичном рассмотренному, мы можем ожидать 9, 10 и 11 выпаде­ ний гербов, т. е. немногим больше одной трети от числа испыта­ ний. Результаты этого эксперимента подчиняются биномиаль­ ному распределению, рассмотренному в гл. 2.

Однако при этом мы не учли порядка, в котором появляют­ ся гербы. Вероятно, если бы последовательность выглядела та­ ким образом:

ГГГГГГГГГГГРРРРРРРРР,

то это показалось бы нам очень странным, хотя вероятность получения такого же количества гербов в двадцати испытани­ ях такая же, как и в предыдущем примере. Другой крайний случай — попеременное появление гербов и решек:

ГРГРГРГРГРГРГРГРГРГГ,

тоже выглядит очень необычно, хотя вероятность выпадения данного числа гербов осталась неизменной. В этих примерах наше подозрение вызывает не пропорция, в которой выпадают гербы, а порядок их появления. Мы предполагаем, что выпаде­ ние :ерба или решки случайно, а в двух последних примерах это предположение кажется весьма неправдоподобным.

Мы можем проверить гипотезу о случайности этой последо­ вательности путем исследования числа скачков. Скачки опреде­ ляются как непрерывающиеся последовательности одних и тех же состояний. Первая последовательность содержит 13 скачков, вторая — только 2, и третья— 19. Скачки в первой последова­ тельности подчеркнуты:

Мы можем вычислить вероятность того, что данную последова­ тельность скачков в эксперименте с двумя исходами (герб или решка в этом примере) можно считать случайной. С этой целью вычисляется число возможных размещений /if состояний 1 и п2 состояний 2. Общее число скачков в последовательности обо­ значается через U\ имеются таблицы, которые содержат крити­ ческие значения числа скачков U для фиксированных п\, п2 и заданного уровня значимости а. Однако если каждое из зна­ чений П\ и П2 превышает десять, то распределение величины U довольно хорошо аппроксимируется нормальным распределе­ нием, и мы при использовании этого статистического критерия

можем использовать таблицы стандартного нормального рас­ пределения. Среднее число скачков в случайной последователь­ ности с П\ успехами и л2 неудачами равно

Дисперсия среднего числа скачков вычисляется по формуле

Указанные формулы позволяют определить среднее число скачков и стандартную ошибку среднего числа скачков при всевозможных размещениях П\ и я2 взаимоисключающих друг друга исходов. Вычислив указанные характеристики, мы можем по формуле (4.10) получить критерий Z:

где U — наблюдаемое число скачков.

Легко убедиться, что это просто формула (2.28), переписан­ ная для величины U, относительно которой можно сформулиро­ вать и проверить ряд статистических гипотез. Например, при случайном размещении нам может потребоваться проверка ги­ потезы о том, что последовательность содержит более чем сред­ нее число скачков; в этом случае нулевая гипотеза и альтерна­ тива могут быть записаны так:

Н0 : U

H y . U > U ,

т. е. слишком большое число скачков приводит к отклонению гипотезы. Этот критерий является односторонним. Наоборот, мы можем пожелать определить, не содержит ли последова­ тельность невероятно малое число скачков. В этом случае соот­ ветствующая гипотеза и альтернатива записываются в виде

H0 : U > U,

Ну. U < U

и слишком низкое число скачков приведет к отклонению ну­ левой гипотезы. Этот критерий также является односторонним. Если мы хотим отклонить гипотезу о любом нарушении слу­ чайности в последовательности, то для этой цели подходит двусторонний критерий для проверки гипотезы:

Н 0 : U = 77

при альтернативе

Н у . U Ф и .

196

Мы можем применить этот критерий для проверки гипотезы о случайном расположении элементов первой последовательности, содержащей результаты испытаний при 20 бросаниях монеты. Нулевая гипотеза утверждает, что нет существенного различия между наблюдаемым числом скачков и средним числом скач­ ков для случайной последовательности того же объема. Мы ис­ пользуем для ее проверки двусторонний критерий. Нулевая гипотеза отвергается, если в этой последовательности имеется либо слишком мало, либо слишком много скачков и принима­ ется альтернатива

Ht : U ф(7.

Выбрав 5%-ный уровень значимости (а=0,05), мы получим границы критической области —1,96 и +1,96. Сначала вычис­ лим среднее значение и стандартное отклонение для числа скач­ ков в случайной последовательности, имеющей п,\ гербов (л,= = 11) и л2 решек (л2 = 9):

U = -2 ' -1— + 1 = 10,9,

1 1 + 9

а2 (2-11 - 9) (2 -11 - 9 — 11 — 9)

и~ ( 9 + ц ) 2 ( 9 + п _ 1 )

Статистика Z равна

Таким образом, число скачков в последовательности мень­ ше стандартного отклонения от среднего значения всех возмож­ ных скачков в такой последовательности и не попадает в кри­ тическую область. Следовательно, указанное число скачков не дает оснований для отклонения нулевой гипотезы и принятия предположения, что последовательность не является случайной. Другие последовательности, наоборот, дают совершенно отлич­ ные значения критерия. Так как п\ и л2 одинаковы для всех трех последовательностей, то U и og также одинаковы. Для

второй последовательности значения критерия

для третьей

z = l9+J0+9 = 3 9

2,1

Оба эти значения расположены за критическими пределами, и мы должны отклонить гипотезу о случайном расположении элементов последовательностей.

197

Геологические применения этого критерия не вполне оче­ видны, так как обычно приходится рассматривать последова­ тельности с числом состояний, большим двух. Стратиграфиче­ ские разрезы или, например, пересечения шлифа обыкновенно содержат не менее трех состояний, которые нельзя ранжиро­ вать никаким осмысленным образом. Мы рассмотрим способы, с помощью которых часть последовательностей можно привести к последовательности дихотомических состояний, но прежде мы остановимся на геологическом примере применения критерия скачков при изучении системы с двумя состояниями.

Обычные пегматиты образуются при кристаллизации оста­ точного расплава, обогащенного летучими веществами при от­ вердении гранитной магмы. Их структура обусловлена одновре­ менной кристаллизацией кварца и полевого шпата в эвтектиче­ ской точке. Если кристаллизация пегматита происходит без помех, то можно допустить, что зерна кварца и полевого шпата возникают в случайных точках внутри охлаждающего распла­ ва. Эта ситуация (случайное образование зерен) остается не­ изменной до тех пор, пока расплав затвердеет. Однако присут­ ствие одного кристалла, например полевого шпата, может сти­ мулировать дополнительное образование зерен полевого шпата и привести к возникновению пестрой структуры. Наоборот, рост одного кристалла может локально исчерпать из магмы нужные составляющие и приостановить кристаллизацию, в ре­ зультате чего возникает пестрая мозаика из кварца и полевого шпата. Большую плиту полированного пегматита можно рас­ сматривать как окно в геологическую кухню, в которой студен­ там дана возможность изучения этих альтернативных процес­ сов. Полированная поверхность породы позволяет легко уста­ новить контакты между слагающими ее зернами, поэтому ли­ ния, проведенная на ней, приводит к построению последова­ тельности зерен кварца и полевого шпата. Линия на полирован­ ной плите может рассматриваться как случайная зыбопка из возможных последовательностей в теле пегматита, из которого была извлечена эта плита. Последовательность зерен кварца и полевого шпата вдоль линии указана в табл. 4.8. Наша зада­ ча— изучить скачки от кварца к полевому шпату, проверить случайность последовательности и определить, нет ли теидеп-

Т а б л и ц а 4.8

Последовательность 100 зерен полевого шпата (П ) н кварца (К)> полученная при пересечении пегматита

(Начало)

ПК К П К К П П К П К П Г Ш П П П П К К П К П П П К П П П П К П П П К

кп кпк кк пп пппкпппппккккппкккппппппк пкпппппкпкпкппкп ппп пк ппп ккп кпп к

(Конец)

19

Рис. 4.12. Последовательность наблюдений, которая анализируется методом скачков вверх и вниз

ции к систематическому следованию одного состояния за самим собой или, наоборот, тенденции одного состояния следовать не­ посредственно за другим. Выполните исследование этих дан­ ных с помощью критерия скачков и оцените три альтернативы.

Теперь рассмотрим статистическую процедуру исследования скачков вверх и вниз. Она используется в тех случаях, когда мы имеем дело не с двумя различными состояниями, а когда последующее наблюдение больше или меньше, чем предыду­ щее. На оис. 4.12 изображена типичная последовательность, ко­ торую можно проанализировать методом скачков вверх и вниз.

Отрезок АВС изображает скачок вверх, так как каждое наблюдение превосходит предыдущее; аналогично отрезок GHI изображает скачок вниз. Отрезок CDEF изображает скачок вниз, несмотря на то, что разность между D и Е равна нулю. Действительно, интервал DE расположен между двумя отрез­ ками CD и EF, каждый из которых изображает скачок вниз, поэтому и весь участок CDEF можно рассматривать как еди­ ный скачок вниз. Интервал IJ можно рассматривать либо как часть отрезка СИП, изображающего скачок вниз, либо как часть отрезка ПК, изображающего скачок вверх, причем общее число скачков остается в любом случае неизменным. Если каж­ дое наблюдение выражено некоторой величиной, то обычно она имеет дробную часть, и одинаковые значения (две последова-

.ельные точки с одинаковыми характеристиками) практически невозможны.

При рассмотрении только разностей между значениями в соседних точках мы преобразуем данную последовательность в последовательность, имеющую только два состояния (или три, если имеются равные значения). Последовательность, изобра­ женную на рис. 4.12, мы можем переписать в виде

+ + + — 0 — + ------0 + .

Считая первый нуль минусом, мы получаем пять скачков: три

199

от плюса к минусу и два от минуса к плюсу (число скачков не зависит от того, назовем ли мы второй нуль плюсом или мину­

При изучении кремнистых сланцев в Скалистых горах было отмечено, что эта порода содержит необычно много хорошо со­ хранившихся остатков радиолярий. Их присутствие в сланцах скорее всего не является случайным, так как последователь­ ность образцов была собрана на приблизительно равных рас­ стояниях по разрезу. Из образцов были сделаны шлифы, в ко­ торых на площадке 10x10 мм2 было подсчитано число радиоля­ рий. Данные для 50 образцов приведены в табл. 4.9. Можно ли считать, что распространенность радиолярий изменяется в шли­ фе случайно? Вполне реально составить программу, которая выполнила бы все необходимые вычисления, однако усилия, которые требуется при этом затратить на программирование, по-видимому, превысят трудности, которые придется преодоле­ вать при расчетах вручную.

В этом случае дихотомизация наблюдений достигается с по­ мощью сравнения их величин с предыдущими наблюдениями. В действительности критерий скачков может быть применен к данным, дихотомизация которых осуществляется по произволь­ ной схеме при условии, что проверяемая гипотеза может быть представлена дихотомически. Например, известная процедура

200

дихотомизации ряда наблюдений состоит в вычитании каждого наблюдения из медианы, вычисленной по всем наблюдениям, после чего проводится проверка гипотезы о случайности после­ довательности скачков относительно медианы с помощью кри­

тозитов в Ларамийском хребте в штате Вайоминг наблюдается несколько магнетитовых тел. Одно из них было вскрыто, и по­ рода дробилась для использования в качестве добавки к буро­ вому раствору. В карьере были отобраны образцы в точках, равномерно расположенных на пересечении магнетитового тела. Собранные образцы различались между собой; одни со­ держали преимущественно плагиоклаз, другие — оливин, неко­ торые почти целиком состояли из магнетита, а другие представ­ ляли собой смесь их трех минералов. Несоответствие ряда чле­ нов заставляет предположить, что в магнетиювом теле имеют место систематические изменения. Чтобы проверить это пред­ положение, были проведены измерения удельного веса образ­ цов, результаты которых приведены в табл. 4.10. Можно ли считать, что изменение удельного веса вдоль пересечения соот­ ветствует тому изменению, которого можно было бы ожидать в предположении, что состав образцов изменялся случайно от­ носительно центрального значения?

Мы можем также провести проверку гипотезы о случайно­ сти скачков по отношению к среднему значению. Результаты этой проверки будут использованы в этой главе в разделе, по­ священном тренд-анализу. Критерии скачков принадлежат к широкому классу непараметрических процедур, рассмотренных в гл. 2.

Имеются многочисленные разновидноети критериев скачков, рассмотренных выше. Информацию о них читатель может по-

201