книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

СЕГМЕНТИРОВАННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Зонирование

Зонирование — это разделение последовательности в относи­ тельно однородные сегменты, каждый из которых отличен от прилегающих сегментов. Палеонтологи, например, прибегают к зонированию стратиграфической последовательности на ос­ нове соответствующей избыточности ископаемых микроэлемен­ тов. Данные опробования могут быть разделены в относитель­ но однородные интервалы и будут представлять зоны постоян­ ной литологии, соответствующей стратиграфическим единицам. Данные траверсов, полученные воздушной радиометрической разведкой, подразделяются на зоны, которые могут быть интер­ претированы как пояса однородных скальных структур или минерализаций.

Имеется два основных подхода к зонированию. Простейший из них называется «локальным поиском границ». Он оснозап на поиске внезапного изменения средних значений, пли, что эквивалентно, на поиске наиболее сильного изменения градиен­ та последовательности. Для определения границ между почвен­ ными зонами вдоль траверса Уэбстер [56] развил метод сколь­ зящего среднего. Ряд значений изучается последовательным движением короткого интервала вдоль последовательности. Скользящий интервал называется окном. Он распадается на две части: сегмент от точки i+h последовательности до точки i и другой сегмент от точки i до точки i—h.

Мера, называемая обобщенным расстоянием, вычисляется для разностей между сегментами внутри двух половинок окна. Обобщенное расстояние есть отношение, образованное делени­ ем квадрата разности между средними значениями двух сег­ ментов на объединенную дисперсию последовательностей в сег­ ментах. Обозначим это среднее сегмента от х; до Xt+h через А7,

Заметим, что объединенная дисперсия есть просто сумма дис­ персий двух сегментов, так как оба сегмента содержат одно и то же число наблюдений. Также заметим, что первые и послед­

г. которой границы зон имеют вид острых пиков. На рис. 4.26,а предел азлено первоначальное шестикилометровое сечение вдоль

242

Одно из возражений против методов локального поиска границ состоит в том, что они могут привести к получению не­

заранее заданное число сегментов, которые внутренне настоль­ ко однородны, насколько это возможно, и отличны от прилегаю­ щих сегментов настолько, насколько это возможно.

Одна из первых и наиболее практичных процедур такого рода была рекомендована Джиллом [21], который использовал итерационную версию дисперсионного анализа. Сначала после­ довательность делится на два сегмента, очень короткую на­ чальную часть и остаток последовательности. Сумма квадратов внутри сегментов S S Wвычисляется по формуле

где Xi, — i-я точка внутри /-го сегмента, А,-— среднее /-го сег­ мента, щ — число точек в /-м сегменте, т — число сегментов. Сумма квадратов между сегментами SSb является мерой из­ менчивости средних сегментов относительно А'.., общего сред­ него объединенной последовательности или

Разбиение на два сегмента движется вдоль последователь­ ности, и в каждом положении вычисляются две величины SSw и SSb. Для каждого возможного положения границы вычисля­ ется отношение

SSb ~ S S w

(4.56)

7~ S.Sb

Положение, соответствующее максимальному значению R, вы­ бирается в качестве первой зональной границы.

Далее, повторением процесса вставки дополнительной гра­ ницы, которая снова должна давать максимум R, эти две зоны снова подразделяются. Зонирование повторяется до тех пор. пока вен последовательность не разделится в заранее заданное число зон или пока величина R не перестанет увеличиваться при добавлении новых границ.

Процедура Джилла была использована для осуществления автоматического цифрового зонирования данных скважин. Не­ давно очень похожая процедура была опубликована Хоукингом и Мерриэмом [27], [28]. Они использовали глобальную оптнми-

24 4

зацию, основанную на методах динамического программиро­ вания. Как и алгоритм Джилла, этот алгоритм является итера­ тивным, но в силу его рекурсивности он имеет преимущество перед принципом оптимальности Веллмана в том, что в конце процедуры выбора границ зон дает самое лучшее разбиение из всех возможных. При использовании не рекурсивных процедур всегда возможно такое явление: позиция, выбранная как наи­ лучшая граница между двумя зонами, не будет наилучшей, если в одну из зон будет вставлена дополнительная граница.

Хоукинг и Мерриэм вычисляют величину, которая есть сум­ ма внутризонных дисперсий, эквивалентная величине SS\V в алюритме Джилла. Если эта величина вычисляется для всех возможных разбиений последовательности в два сегмента, тп результат будет некоторым табличным SS& для п—1 возмож­ ных положений первой границы. Для каждого возможного пер­ вого разбиения затем вычисляется новое значение S S Wдля всех возможных позиций второй границы, которая делит последова­ тельность на три зоны. Выбирая наименьшее значение ЗЗ^для второго разбиения, получаем оптимальное соответствующее по­ ложение первой границы и оно остается наилучшим, сколько бы дополнительных границ мы ни вставляли.

Процесс итерируется по третьему циклу, и для каждой ком­ бинации оптимальной первой границы со всевозможными вто­ рыми границами находятся всевозможные третьи границы и вы­ числяются соответствующие им значения 5S^. Выбор наимень­ шего значения S S W затем определяет оптимальное положение второй границы. Процесс повторяется снова и снова до тех пор, пока не будет найдено заданное число границ.

В силу рекурсивной природы алгоритма окончательное мно­ жество зон обладает наименьшей возможной дисперсией среди любого возможного множества с тем же числом зон, покры­ вающих весь интервал. К сожалению, этот метод непрактичен при очень длинных последовательностях из-за высокой цены вычислительных работ, выполняемых для достижения оп­ тимума.

Классификация по сходству

В этом разделе мы остановимся на методах упорядочения наблюдений на основе их относительного сходства по некото­ рому признаку. Если наблюдения характеризуются некоторым множеством переменных, то это в сущности требует их проек­ тирования некоторым образом на единственную прямую, на ко­ торой их положение логически соответствует их расположению л исходном множестве данных. Это может быть осуществлено одним из многих методов, таких, например, как метод главных компонент или факторный анализ, которые рассматриваются в

245

последней главе. Такой классификацией может быть хронологи­ ческое упорядочение, широко используемое в археологии, К со­ жалению, нет гарантий того, что последовательность наблю­ дений, упорядоченная по сходству, будет хронологически упо­ рядочена некоторым осмысленным образом. Понятия упорядо­ чения по сходству и простого упорядочения ранее широко не использовались в геологии, исключая применения численной таксономии в палеонтологии [51]. Однако имеется область,

вкоторой понятие упорядочения по сходству оказывается по­ лезным, а именно, исследование геологической корреляции двух стратиграфических последовательностей.

Два петрографических ряда данных можно исследовать совместно на основе сходства их записей в буровых скважинах. При этом их перетасовывают, подобно колоде карт, с помошью процедур динамического программирования [23]. Каждая точ­ ка одной последовательности сравнивается с наиболее близкой точкой другой последовательности, причем соблюдается лишь условие, что стратиграфический порядок должен быть сохранен

вобеих последовательностях. Таким путем достигается истин­ ное упорядочение по сходству, так как окончательное размеще­ ние имеет смысл как литологический, так и хронологический. Можно ввести дополнительные ограничения, которые приведут

кобъединению специфических точек двух последовательностей,

образом, если основания маркеров ъ пределах двух сравнивае­

следующим ограничениям: линии корреляции ж* могут пересстдгьет и основания маркеров должны быть корпелшюваиы.

Алгоритм, оау бликованный Горденом и Рен ментом [23]. на- аимг.ш-эг алгоритм зонирования Хоукинга ч Меррнэма [28].

ивши!— таблица размера пХт. При -пом можно йснользоваiь множество различных сравнительных мер, но Гордон и Геймент используют простую меру несходства:

где /у,--отклик каротажной переменной I на глубине / ь пер­ вой скважине, а оц, — отклик той же переменной на глубине «

246

зо второй скважине. Если угодно, различным переменным

• , правый нижний угол таким образом, чтобы сумма мер не­ сходства была минимальной. Стратиграфический порядок со­ храняется благодаря тому, что исследователь может двигаться только in-:з ;• направо. Но рис. 1.27 изображен несложный при­ мер, в котором проводится сравнение трех интервалов карота­ жи одной скважины с четырьмя интервалами другой. Замелим. iTO большая часть строк п столбцов матрицы повторяется; это

247

позволяет алгоритму спустить вниз ту или иную каротажную диаграмму к началу и закончить процесс. Некоторые примеры путей в матрице вместе с соответствующими им результатами стратиграфической корреляции приведены на рис. 4.28.

Для нахождения оптимального пути используется рекурсив­ ная процедура. Начиная с левого верхнего угла (начало) вы­ бираем первый интервал равным щ или щ; мера несходства вдоль любого пути одинакова и равна 2+2. Если выбрать ии следующий интервал может быть либо и2 с общей мерой не­

на первом шаге, на втором шаге можно выбрать либо v2, либо «1. Пусть v2 Дает вклад в общую меру несходства, равную 2+ + 2+2=6. Выбирая из этих двух случаев тот, в котором путь (начало)->«1-^П2 имеет минимальную меру несходства, полу­ чаем, что собственно первый шаг осуществляется в щ.

Выбрав в качестве начальной точки щ с двумя возможными вариантами второго шага либо в и2, либо в щ, исследуем воз­ можные варианты третьего шага. Снова имеется четыре воз­ можности: из «2 в «з с общей мерой несходства 2+2 + 0+1 = 5; из и2 в щ (2+ 2 + 0 + 0 = 4 ); из щ в v2 (2+2 + 2+ 4=10); и из щ в и2 (2+2 + 2+ 0= 6). Наименьшая сумма соответствует пути (начало)->«1->-«2-»-1'1. так что оптимальный второй шаг — пере­ ход в точку и2. Далее проводится следующая итерация, в кото­ рой исследуется результат осуществления четырех возможных переходов из и2. Путь с минимальным значением меры несход­ ства определяет оптимальный шаг после и2. Процесс повторя­

248

наблюдение должно быть отделено от предшествующего наб­ людения некоторым интервалом по времени или некоторым расстоянием, которые являются постоянными для данного ряда. Положение наблюдения в ряде мы будем обозначать нижним индексом, например Yt. Поэтому необязательно явно указывать время или расстояние для переменной X, так как оно вполне характеризуется индексом и может быть в случае необходимо­ сти определено благодаря тому, что Х = А t, где А — расстояние между соседними точками. Весь временной ряд содержит «то­ чек и имеет общую длину Т=А(п—1).

Расстояние между двумя любыми точками У/ и K/+t назы­ вается лагом длины т, где т — число интервалов между двумя точками. Это — смещение временного ряда относительно себя самого в предшествующий момент времени или в предшествую­ щем положении. Между временными рядами и цепями можно провести аналогию. Каждой связи в цепи соответствует наблю­ дение в ряде. Если мы приложим два одинаковых сегмента цепи друг к другу и сравним их между собой, то получ,чм попар­ ное сравнение с лагом 0. Если мы сдвинем одну цепь на одно звено так, чтобы первое звено первой последовательности срав­ нивалось со вторым звеном второй, то все другие звенья также сдвинутся, и такое положение сравниваемых последовательно­ стей называется имеющим лаг 1. Цепи могут быть сдвинуты более чем на одно звено, и попарное сравнение тогда будет иметь лаг 2 и так далее.

Автоковарнация с лагом т — это ковариация между всеми наблюдениями Yt и наблюдениями У<+т, т. е. ковариация вы­ числяется между членами самого ряда и того же ряда, смещен­ ного на лаг длины т. Определяющее уравнение автоковариации есть

ного ряда. Если ряд очень длинный, а лаг т короткий, то сред­ нее данного ряда и сдвинутого рядов в сущности тождествен­ ны и уравнение (4.58) может быть упрощено. Однако если т является значимой дробной частью длины временного ряда, то различие между средними становится существенным. Вычисли­

( л — т ) ( Л — т — 1)

250

500

Рис. 4.31 Автокорреляционная функция гамма-каротажа, изображенного на рис. 4.30.

Лаг 48 соответствует сдвигу по глубине на 48 футов

Имеется соглашение о том, что автоковариация вычисляется для лагов от 0 до примерно п/4. Полученные значения можно представить как автоковариограмму или автоковаркационную функцию, которая представляет зависимость автоковариацни от лага. Рис. 4.31 представляет автоковариационную функцию для данных каротажа скважин, изображенных на рис. 4.30.

гому 48 футам, так как данные гамма-каротажа были оцифро­ ваны с интервалом в 1 фут. Это есть приблизительно величина вертикального расстояния между последовательными положе­ ниями известняков в последовательности, представленной на рис. 4.30.

Единицы, в которых измеряется автоковарнация — это квад­ раты единиц измерений временного ряда; в нашем примере — это квадраты единиц электродвижущей силы Е. Это означает, что автоковариация чувствительна к изменениям масштаба вре­ менного ряда, что доставляет затруднения при сравнении двух автоковариограмм. Однако если временной ряд стандартизован вычитанием из каждого наблюдения среднего и делением на стан­ дартное отклонение, ряд будет представлен в единицах стан­ дартного отклонения и автоковариация будет иметь стандарти­ зованный вид. Как отмечалось в гл. 2, ковариация стандарти-

251