книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1
.pdfЭто — кубическое уравнение, имеющее три корня. Разложив его на множители, можем записать (А,—4) (Я—0)(Я +2)=0 в получим корни Я1=4, >.2= 0, Яз=—2.
Хотя изложенные приемы применимы к матрице любого по рядка, нахождение корней полиномов высоких степеней явля ется нелегкой задачей. Обычно собственные значения находятсяне с помощью решения полиномиальных уравнений, а с по мощью методов матричных преобразований, сущность которых состоит в последовательных приближениях к собственным зна чениям. Эти методы оказались применимыми только благодаряиспользованию быстродействующих ЭВМ, позволяющих за весьма короткий промежуток времени найти приближенное ре шение, а затем уточнить его в течение нескольких минут.
Теперь, когда мы получили представление о процедуре вы числения собственных значений, можно попытаться понять и их сущность. Матрицу можно рассматривать как набор значений
координат точек в «-мерном пространстве. Матрица |
порядка. |
2х £ соответствует плоской поверхности, такой же, |
как лист |
бумаги. Таким образом, матричные операции можно трактовать геометрически. Так, матрица
'4 |
8 |
’ |
|
М 1“ |
8 |
4 |
|
определяет две точки плоскости |
с координатами (4,8) и (8,4). |
||
Эти точки соответствуют двум векторам на координатной плос кости, выходящим из начала координат, как это показано на рис. 3.1. Отметим, что в качестве координат точек можно ис пользовать и столбцы матрицы, что не внесет существенных изменений в наши рассуждения. Для определенности будем действовать со строками.
Представим себе, что две точки лежат на эллипсе с центром в начале координат. Тогда эллипс будет представлять кривую, проходящую через эти точки. В результате собственные значе ния матрицы окажутся равными длинам большой и малой по луосей этого эллипса. В нашем примере собственные значения равны Ал = 12, А,2 = —4.
Необходимо отметить, что отношения полуосей можно ис пользовать как меру вытянутости эллипса, что графически по казано на рис. 3.2. Первое собственное значение характеризует большую полуось, длина которой от центра до самой удаленной от него точки кривой равна 12 единицам. Второе собственное значение характеризует малую полуось, находящуюся во вто рой четверти координатной плоскости. Ее длина равна 4 еди ницам и берется со знаком минус. Если бы две данные точки были ближе друг к другу, то отношение полуосей изменилось
152
Рис. 3.1. Два вектора, определенные элементами порядка матрицы 2X 2
Рис. 3.3. Удлиненный эллипс, соответ ствующий матрице, элементы которой задают точки с расстояниями между ними, меньшими, чем на рис. 3.2.
Собственные вектооы являются главными полуосями эллипса
Рис. 3.2. Эллипс, определенный элементами матрицы порядка 2X2.
Собственные векторы матрицы соответ ствуют главным полуосям эллипса
Рис. 3.4, Матрица, содер жащая равные строки, приводит к вырожденно му эллипсу — прямой
бы. Например, если выбраны точки с координатами, образую щими матрицу
|
Гб |
81 |
1^ = |
|_8 |
6 J ’ |
то собственными значениями |
матрицы будут числа ?и = 14, кг — |
|
= —2. |
|
|
153
Это показано графически на рис. 3.3. Большая полуось дан ного эллипса намного больше малой. Если две выбранные точ ки совпадают, т. е. две строки матрицы одинаковы, то второе собственное значение становится равным нулю, и рассматри ваемый эллипс вырождается в прямую. Этому случаю отвечает, например, матрица
характеристическое уравнение которой К2—12А + 0= 0 дает соб ственные значения Xi = 12, Я2 = 0.
Такая ситуация изображена графически на рис. 3.4. Две выбранные точки совпадают, через них проходит большая по луось, а перпендикулярная к ней малая ось равна нулю.
Противоположный крайний случай описывается матрицей, соответствующей двум перпендикулярным векторам равной длины. Например, матрица
имеет характеристическое уравнение ?i2 + 0A—80= 0, корни ко торого X, = + 8,95, %2 ——8,95.
Этот случай графически представлен на рис. 3.5. Данные' векторы являются радиусами окружности, в которую превра тился эллипс. Их длина равна собственным значениям.
Заметим одно важное свойство собственных значений, кото рое читатель может проверить на приведенных ранее примерах. Сумма собственных значений всегда равна сумме диагональных элементов матрицы, которая называется следом матрицы. Это> свойство полезно использовать для проверки правильности вы-
/
Рис, 3.5, Матрица, элементы которой задают перпендикулярные векторы, опре деляет эллипс с равными полуосями, т. е. окружность
154
числения собственных значений на ЭВМ, а также для контроля вычислений при использовании метода главных компонент.
Вспомним, что мы определили собственные значения как ве личины, входящие в матрицу системы уравнений (3.13). Теперь, когда эт-: величины найдены, можно вернуться к системам уравненгд и вычислить вектор неизвестных х. Для матрицы по рядка 2 ;2 первое собственное значение получим из уравнения
[ (?п |
|
a\i |
[_ С?21 |
^*22 |
^*1 |
‘ *1"
1 ---- .
о о __(
(3.20)
Для второго собственного значения матричное уравнение составля- i л аналогично. После вычисления диагональных элеменгог ivLжно найти неизвестный вектор с помощью обращения матрице Этот вектор называется собственным вектором (а так же хара герпетическим пли главным вектором). Каждому соб ственно :vv вектору соответствует собственное значение матрицы. Сколько у матрицы собственных значений, или строк (столб цов), столько у этой матрицы и собственных векторов.
Таким образом, чтобы вычислить собственные векторы и собственные значения матрицы порядка п Х п , нужно найти п корней ее характеристического уравнения н решить п систем из
п совместных уравнений! К счастью, |
рассматриваемые |
нами |
|
примеры матриц порядка 2 x 2 |
не требуют громоздких |
вычис |
|
лений. |
|
|
|
Начнем с рассмотрения матрицы |
|
|
|
Г 17 |
—6 |
' |
|
45 |
—16 |
|
|
Вспомним, что мы уже вычислили собственные значения этой матрицы: Xi = +2, /,2 = —1.
Подстановка первого собственного значения в матрицу дает
|
'17 — 2 |
|
—6 |
' |
15 |
_ 6 |
1 |
|
45 |
— 16 —2, |
45 |
- 1 8 ) |
|||
Соответствующая система уравнений имеет вид |
|||||||
|
|
15х( — 6х2 = 0, |
|
|
|||
|
|
45х, — 18х2 = 0 |
|
|
|||
или в матричной форме |
|
|
|
|
|
||
|
15 |
— 6 |
.Ч1*8. |
ii |
О |
|
|
|
!--- Л* СЛ |
1 |
о о |
1 О |
|
||
Нетрудно видеть, |
что |
второе уравнение можно получить из |
|||||
первого |
умножением на 3, поэтому достаточно решить одно из них, |
||||||
чтобы |
полученные решения удовлетворяли и |
другому уравне- |
|||||
нию. Простой подбор дает следующие решения: x i = 2, х2 —5,,
Это координаты первого собственного вектора, соответствующе го первому собственному значению. В действительности имеется бесконечное множество решений, так как решением является любой вектор вида
где р — любое число. Мы же ограничились только одним зна чением Р = 1. Позже увидим, что интерес представляют только отношения координат вектора, а они при умножении вектора на любое число не изменяются.
Матрица системы уравнений, отвечающая второму собствен ному вектору, имеет вид
"17— (— 1)
45
Оба уравнения приводятся к одному уравнению: 3xt—х 2 —
= 0, решением которого является вектор
Хотя вычисления при увеличении порядка значительно ус ложняются, рассмотренные методы можно применять к матри цам порядка пХп. Прежде чем перейти к вычислительным ас пектам проблемы нахождения собственных значений, рассмот рим некоторые матрицы с целью проведения геометрического* анализа этих величин. Возможно, что это позволит понятнееобъяснить геометрический смысл собственных значений.
Сначала рассмотрим матрицу
Г4 |
8] |
i M s |
4 J |
с собственными значениями A,i= 12, К2= —4.
Подставляя первое из них в исходную матрицу, получим
■ 4 — 12
___ |
ОО |
1 |
|
|
ОО |
ОО I |
7 |
7 (М |
ОО 1 ___ |
8
ОО 1
' ---1
Этой матрице соответствует собственный вектор
' х г 1 |
Г 1 |
. *2 J ~ L 1 .
Возвращаясь снова к рис. 3.2, убеждаемся, что собственный вектор можно интерпретировать как характеристику угла на
156
клона большой полуоси эллипса. Если рассматривать элементы собственного вектора как координаты точки на плоскости, то первый собственный вектор определяет полуось, являющуюся биссектрисой угла между двумя заданными строками матрицы векторами. Длина полуоси равна первому собственному значе нию. Подставляя в матрицу второе собственное значение, по лучим
"4 - ( - 4 ) 8 8 4 - ( - 4 )
1 1 |
00 00 I |
------1 ОО ОС |
Решением будет второй собственный вектор
й - [ й
который имеет тангенс угла наклона, равный —1/1 = 135°, сле довательно, перпендикулярен к главной полуоси эллипса и оп ределяет меньшую полуось (см. рис. 3.2).
Теперь произведем расчеты для второй матрицы, строки ко торой определяют точки, расположенные ближе друг к другу, чем в предыдущем примере:
Для первого собственного вектора получим
■(6-14)
8
Таким образом, угол наклона первого собственного векторасоставляет 45°; вектор делит пополам угол, образованный дву мя заданными векторами. Длина большой полуоси равна 14,. т. е. первому собственному значению. Как и следовало ожидать, этот вектор параллелен вектору, найденному в предыдущем1 примере, но имеет большую длину. Аналогично можно найти второй собственный вектор, соответствующий второму собст венному значению:
-*2 .
Этот метод применим и к матрицам большего порядка, хотявыкладки становятся более сложными. Для примера рассмот-
5Т
р и м м а т р и ц у
' 5 2 G"
А ] ~ 2 4 3 _G 3 2
На р 3.6 наглядно изображены три вектора, заданные строкам:- матрицы. Прежде чем начать анализ, остановимся на некотор1 : известных свойствах собственных значений и собст венных лекторов. Так как матрица симметрична, все три соб ственные значения— действительные числа. Первый собствен ный вектор, соответствующий наибольшему собственному зна чению, подходит в пространственном углу, в котором лежат три заданны . зектора. Сумма собственных значений равна следу матрицы, т, е. 11. Собственные значения и собственные векторы этой матрицы следующие:
/ . , = 11.3 |
/ . , = — 2 . 9 |
/.-=2,6 |
Бок гор ! |
Веют ор - |
Вектор 3 |
0,09 |
—0,56 |
— 0,45 |
0,43 |
—0,19 |
0,88 |
0,58 |
0,81 |
—0,11 |
Эти Евкторы изображены на рис. 3.7. Все указанные выше условия выполняются. Правомерное распространение результа-
С т о л б е ц .
Рис-. 3.6. Векторы в трехмерном пространстве, определяемые элементами мат рицы порядка 3X 3
Ш
Столбец 3
Столбец 2’
Столбец (
Рис, 3,7. Собственные векторы матрицы порядка 3X 3 расположены в том же пространстве, что и векторы рис. 3.6.
Отметим, что первый собственный вектор проходит внутри угла, образованного тремя' данными векторами
тов этого анализа на матрицы больших порядков математиче ски очевидно, но наши возможности наглядного представления уже исчерпаны. Однако читатель может себе представить сово купность точек в пространстве более высокой размерности, а также существование в нем требуемого числа взаимно перпен дикулярных направлений.
Здесь мы отметим только одно важное свойство собствен ных векторов матриц общего вида, не являющихся симметрич ными.
Если вы тщательно изучили эту главу и детально прорабо тали примеры (а также обдумали возможность комплексного применения изложенных методов в более сложных задачах), то уже достаточно подготовлены к тому, чтобы перейти к изу чению современных вычислительных методов, применяемых в геологических исследованиях. Мы попытались изложить в упро щенной форме основы матричной алгебры. Как отмечалось в третьей главе, статистика слишком сложная наука, чтобы ее можно было изложить в одной главе или даже в одной книге. Матричная алгебра тоже достаточно сложна, и ее нельзя хо рошо изложить на нескольких страницах. Однако, нам кажется,
что читатель получил некоторое представление о методах мат ричной алгебры, что позволит ему без труда усвоить основы вычислительных методов, которые будут изложены далее.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Davis Р. J„ The mathematics of matrices, 2nd ed. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1973, 348 p.
Наиболее распространенный учебник по теории матриц с минимальным коли чеством терминов н максимумом примеров н приложений.
2.Gere I. М. and Weaver W., Jr. Matrix algebra for engineers, 2nd ed.: Bro-
oks-Cole Publ. Co., Monterey, Ca., 1982, 175 p.
Эта скромно изданная книга является одним из нанлучших руководств по матричной алгебре.
3. Could Р. On the geographic interpretation of eigenvalies: an initial explo ration: Trans. Inst. British Geographers, no. 42, 1967, 53—86 p.
Интуитивный взгляд на теорию собственных значений н векторов с использо ванием геометрических аналогий. Материал этой отличной книги, предназна ченной для студентов, частично использован в гл. 3 настоящего издания.
4. Maron М. J., Numerical analysis— a practical approach: Macmillan Publ. Co., Inc., New York, 1982, 471 p.
Содержит процедуры и алгоритмы матричных операций, в особенности методы •обращения матриц, решения систем совместных уравнений и нахождения соб ственных значений.
5.Pettofrezzo A. J. Matrices and transformations: Dover, Inc., New York, 1978, 133 p.
Вэтом скромном переиздании известного учебника содержится традиционный •материал по односеместровому курсу матричной алгебры. Приводятся примеры
ипроблемы.
6.Reiner I, Introduction to matrix theory and linear algebra: Holt, Rinehart, and Winston, Inc., New York, 1971, 154 p.
Вводный курс с подробными объяснениями методов.
7.Robinson Е. A. and Treitel S., Geophysical signal analysis: Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1980, 466 p.
Тл. 3 содержит краткое, но ясное изложение вопросов, связанных с операцией свертки.
Глава 4 АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДАННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ
В этой главе мы рассмотрим методы исследования данных, которые характеризуются своим положением на прямой. Для таких данных существенную роль играет место, занимаемое не которым определенным значением в данной последовательно сти. Множество данных такого типа часто встречается в геоло гии. Например, они могут представлять собой последователь ность значений литологических признаков, геохимических и ми нералогических характеристик проб, взятых по разрезу или в буровой скважине, значений электрического каротажа нефтя ных скважин, зарегистрированных приборами. К этой общей категории можно отнести также данные, изменяющиеся с тече нием времени, например измерения стока воды в реке, харак теристики добычи газа из скважины. Методы изучения после довательностей одномерных данных можно отнести к анализу временных рядов, несмотря на то что последовательности могут характеризовать как временные, так и пространственные зави симости.
Прежде чем переходить к изложению методов исследования таких последовательностей и рассмотрению примеров из геоло гии, остановимся на различных типах последовательностей данных, с которыми приходится встречаться геологу. Это может быть последовательность абсолютно точных измерений как зна чений изучаемой переменной, так и значений шкалы, вдоль ко торой расположены результаты измерений. В качестве примера можно рассмотреть значения каротажной кривой для буровой скважины и изменение продуктивности скважины во времени.
В первом |
примере переменной является |
признак, |
измеряемый |
|||
в омах, |
а |
единицами шкалы измерений |
являются |
литры. Во |
||
втором |
примере |
переменная — тоже признак, |
измеряемый в |
|||
литрах |
нефти, а |
единицами шкалы измерений |
являются дни, |
|||
месяцы или годы. При любой форме записи существенны два момента. Во-первых, измеряемая переменная выражается в еди ницах интервальной шкалы или шкалы отношений; 1000 л неф ти в два раза больше, чем 500 л, а сопротивление в 10 Ом в десять раз превышает сопротивление в 1 Ом. Во-вторых, ин тервалы, вдоль которых располагаются данные, тоже имеют определенную величину. Глубина скважины в 900 м в десять раз превышает глубину в 90 м, а десятилетие между 1940 и 1950 г. имеет ту же продолжительность, что и десятилетие меж
41—201 |
161 |