книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

ду 1950 и 1960 г. На этих замечаниях ввиду их тривиальности1 не стоило бы останавливаться, но, как мы увидим в дальней­ шем, далеко не все геологические последовательности обладают такими свойствами.

В качестве примера рассмотрим последовательность страти­ графических данных, образованную литологическими разновид­ ностями горных пород, слагающих осадочную толщу. Такой по­ следовательностью можно считать серию (снизу вверх) извест­ няк— глинистый сланец— известняк — глинистый сланец— пес­ чаник— уголь — глинистый сланец — известняк. Мы хотим как-то осмысленно описать эту последовательность, однако не можем выбрать для нее шкалу. Очевидно, что это изменение литологических признаков происходит в течение определенного времени, но у нас нет никакого способа выбора соответствую­ щей временной шкалы. Мы могли бы использовать мощность, но она может очень сильно изменяться от места к месту, даже если последовательность пород остается неизменной. Таким об­ разом, использование мощности пород вряд ли поможет нам в наших исследованиях. Тот факт, что известняк в разрезе стоит на третьем месте, а уголь — на шестом, не имеет того значения, которое можно было бы выразить числом (то, что номер 6 вдвое больше номера 3, для нас не имеет смысла). Аналогично лито­ логический состав слоев не может быть выражен на числовой шкале. Можно только закодировать приведенную последова­ тельность, например, таким образом: 1—2—1—2—3—4—2—1, где известняк обозначается цифрой 1, глинистый сланец — 2, песчаник — 3, уголь — 4. Но такая условность совершенно про­ извольна и не выражает никаких соотношений между разновид­ ностями пород. Очевидно, что эта последовательность ставит перед исследователями большее число различных проблем, чемэто было в ранее рассмотренных примерах.

Имеются, однако, другие возможности. Пусть, например, нас интересует некоторая измеряемая характеристика, входя­ щая в последовательность. Предположим, что мы установили значения содержаний бора в каждой литологической разновид­ ности рассматриваемой сериц. Мы можем использовать шкалу расстояний между пробами в метрах и считать, что решаем за­ дачу, связанную с изучением глубины или расстояния. Кроме того, мы можем рассматривать зависимость содержания бора от места, занимаемого этим значением в последовательности.

Близко связана с предыдущими задача анализа последова­ тельности, которую можно охарактеризовать присутствием или отсутствием некоторой переменной или переменных в некоторых ее местах. Нас может интересовать, например, повторное появ­ ление зависящей от фаций микрофауны в образцах пород, ото­

162

даемых на пересечении шлифа. В этом случае мы можем ис­ пользовать миллиметровую шкалу, но она не позволяет оценить, что чаще встречается — оливин или плагиоклаз.

Данные, которые можно охарактеризовать непрерывным расположением в пространстве или времени, часто называют рядами, или последовательностями, или цепями. Природа рас­ сматриваемых данных предопределяет те задачи, которые для «их можно поставить. Ясно, что мы не можем извлечь инфор­ мацию о временных интервалах из последовательности стра­ тиграфических данных, так как временная шкала, соответст­ вующая этой последовательности, неизвестна. В стратиграфи­ ческих задачах часто используют вместо временной шкалы пространственную, но при этом наши заключения не лучше, чем взятое в их основу предположение о том, что время, требуемое для образования осадка определенной мощности, может быть измерено.

В табл. 4.1 приведена классификация различных методов анализа данных, которые будут рассмотрены в этой главе. При этом можно выделить три типа рядов. В первом из них расстоя­ ние между наблюдениями изменяется и потому должно быть охарактеризовано в каждой точке. Во втором предполагается,

vro точки расположены в пространстве регулярно и равномерно- и, кроме единственной постоянной, никакие числовые характе­ ристики пространственного расположения данных не участвуют в анализе. Наконец, в третьем -существенна лишь последова­ тельность наблюдении, а их пространственное расположение не имеет значения.

Эти методы можно классифицировать также и по типам не­ обходимых наблюдений. В одних случаях требуется знать ин­ тервал между наблюдениями или их отношение: переменная должна быть измерена по некоторой шкале и выражена в ве­ щественных числах. В других используются номинальные или порядковые данные, и наблюдения требуется лишь некоторымобразом расклассифицировать. В методах, рассматриваемых в этой главе, классы не ранжированы, т. е. состояние А нельзя считать в некотором смысле более широким или объемлющим, чем состояние В или С. Номинальные данные обычно представ­ ляют целыми числами, буквами или символами.

В этой главе мы рассмотрим математические методы, ис­ пользуемые при анализе последовательностей данных. Однакорассматриваемые здесь методы не исчерпывают все существую­ щие возможности. Скорее их можно охарактеризовать как осо^ бенно перспективные при количественных исследованиях в нау­ ках о Земле. Другие методы могут оказаться более подходящи­ ми или более мощными в специфических ситуациях или для некоторых особых последовательностей данных. На наш взгляд,, знакомство с описанными ниже методами — хорошее введение в обширную область аналитического исследования геологиче­ ских данных. Однако многие из этих методов были разработа­ ны специалистами в областях науки, далеких от геологии, и их описание, приспособленное к использованию в инженерном де­ ле, в биологии клетки, к анализу рыночных отношений или речевой терапии, трудно приспособить для решения геологиче­ ских задач. Некоторые из этих методов оперируют с непара­ метрическими статистиками, почти не рассматриваемыми во вводных статистических курсах. Так, как большинство геологов не знакомо с основами анализа последовательностей данных, то мы полагаем, что им будет полезно прочесть приведенный здесь обзор разнообразных методов и подходов. Как видно изтабл. 4.1, эти методы охватывают последовательности различ­ ных типов и предназначены для ответа на ряд вопросов. Ни один из методов не излагается здесь исчерпывающе, однако рассмотренные здесь примеры и приложения могут помочь гео­ логу выбрать наиболее подходящий метод для решения задачи.. Список литературы поможет найти детальное изложение спе­ циальных вопросов.

Рассмотренные методы дают возможность получить ответы на ряд вопросов, а именно: можно ли считать наблюдения слу­

164

чайными или в них обнаруживается некоторый тренд; если тренд существует, то какова его форма; можно ли обнаружить и измерить циклы и повторения; позволяют ли данные сделать оценки и предсказания; можно ли оценить зависимости между переменными и указать их силу? Хотя вопросы такого рода и не явно ставятся в последующем изложении, читателю реко­ мендуется продумать сущность каждого метода, а также его возможности при решении задач различного типа. Заметим, что выбранные нами задачи могут помочь в решении многих других.

Геологам приходится иметь дело не только с анализом по­ следовательностей данных, но и сравнивать между собой раз­ личные ряды наблюдений. Наглядный пример — стратиграфи­ ческая корреляция при изучении разрезов или при электриче­ ском каротаже скважин. Причина, по которой геологи используют корреляцию, — простое желание ускорить получе­ ние геологических выводов из закодированной информации, хранящейся в банках данных. Кроме того, геологи сталкивают­ ся с задачами корреляции в тех случаях, когда не могут свои­ ми силами решить вопрос об эквивалентности двух рядов на­ блюдений. Слабое сходство, слишком незначительное, чтобы его можно было обнаружить визуально, может быть выявлено эти­ ми методами, даже если это невозможно при использовании других приемов. Количественные методы позволяют геологам рассматривать одновременно несколько переменных, что явля­ ется мощным средством распознавания изучаемых объектов. Наконец, в силу абсолютной инвариантности операции в вы­ числительной программе корреляционный анализ бросает вы­ зов геологу. Если корреляционные зависимости, очевидные гео­ логу, не согласуются с результатами, полученными машиной, геолог обязан определить причину этого расхождения. Обычно более тщательное исследование позволяет выявить осложнения и смещения, не замеченные при первоначальном исследовании. Это не означает, что геолог должен изменить свою интерпрета­ цию таким образом, чтобы она согласовывалась с результата­ ми, полученными с помощью вычислительной машины. Совсем наоборот, имеющиеся в настоящее время в нашем распоряже­ нии программы автоматической корреляции довольно грубы и составлены просто в соответствии с ходом мыслей, используе­ мых геологами. Однако по мере продолжения исследований по корреляции можно ожидать, что будут созданы весьма полез­ ные алгоритмы, которые позволят значительно облегчить рабо­ ту геолога.

Большую часть методов сравнения двух или более последо­ вательностей можно разбить на две большие категории. В пер­ вой из них пары данных могут занимать только одно положе­ ние, и наша задача — определить степень сходства между эти­ ми двумя последовательностями. В качестве примера можно

16:

рассмотреть сравнение дифрактограммы неизвестного минерала с целью его идентификации с некоторым рядом стандартов. Сравнение со стандартами проводится не только по интенсив­ ности отражения, но и по соответствующему ей углу отражения. Например, никаких выводов нельзя сделать, если сравнивать интенсивность отражения рентгеновских лучей под углом 20 20° с интенсивностью отражения под углом 20 30°. Даже если величина интенсивности одинакова, сравнение совершенно ли­ шено смысла.

Тот факт, что данные, аналогичные приведенным, записаны в виде последовательности, не имеет значения, так как каждый элемент ряда рассматривается как отдельная и независимая переменная. Интенсивность отражения под углом 20 20° харак­ теризуется одной переменной, а интенсивность под углом 20 в

многомерные критерии сходства и рассмотрим задачи класси­ фикации и дискриминантного анализа. В этом классе задач положение наблюдения в последовательности служит для его идентификации с данной переменной и не играет больше ни­ какой роли.

Наоборот, некоторые из описанных в данной главе методов основаны на рассмотрении последовательностей данных как выборок из непрерывного множества наблюденийАприори нет никаких причин считать, что одна из сравниваемых величин лучше другой. Такие методы, как взаимная корреляция и ассо­ циация, наиболее близки геологам, но, к сожалению, их приме­ нение ограниченно, так как они не допускают изменений мас­ штаба одного разреза при его сравнении с другим. Для многих типов последовательностей, рассматриваемых в этой главе, из­ менения масштаба не требуется, и поэтому трудностей не воз­ никает. Однако скорости осадконакопления, например, не яв­ ляются постоянными, поэтому стратиграфические данные труд­ но изучать с помощью существующих методов корреляционного анализа.

Как мы уже отмечали в гл. I, вычислительная машина яв­ ляется мощным орудием решения сложных задач. Однако она глупа и может принимать бессмысленные данные и выдавать столь же бессмысленные результаты без колебаний. Множество программ анализа последовательностей результатов наблюде­ ний можно легко получить из различных источников. Если же использовать эти программы как «черный ящик», не понимая производимых в них операций и наложенных ограничений, то легко сбиться с пути. Мы надеемся, что описание методов и примеры этой главы будут достаточными для того, чтобы оп­ ределить область применимости каждого метода и помочь по­ ниманию программ. Однако в окончательной стадии анализа

166

Т а б л и ц а 4.2

Двадцать измерений содержания магния в водах р. Стрим Уотер (расстояния исчисляются

от устья реки до мест взятия проб)

процедуру. Предположим, что Fi и Y2— наблюдаемые значения в точках Xj и Х2, и мы хотим оценить значение Y' в точке X'. Считая зависимость в промежуточных точках линейной, значе­ ние Y ' в точке X ' можно вычислить по следующей формуле:

ниями в двух соседних точках является линейной функцией разделяющего их расстояния. Значение в точке, лежащей по­ середине между двумя наблюдениями, находится точно посере­ дине между значениями в двух прилежащих точках. Ближай-

В случае, когда число равномерно расположенных точек при­ близительно равно числу точек наблюдений и последние более или менее равномерно распределены, этот метод дает удовлет­ ворительные результаты. Однако если точек наблюдения на­ много больше точек, получающихся после интерполяции, то большая часть первичных данных не используется, так как для

163

Рис. 4.1. Линейная интерполяция между точками последовательности данных

У

определения одной точки в интерполяционной процедуре тре­ буется использовать только два ближайших значения. Если исходные данные подвержены значительному влиянию случай­ ных изменени,! то полученные в результате интерполяции но­ вые значения также могут иметь недопустимую случайную из­ менчивость. Оба эти момента учитываются в методах, предна­ значенных для использования более двух первоначальных значений и основанных на процедурах усреднения, использую­ щих взвешенные расстояния. Однако методы усреднения, кото­ рые будут рассмотрены ниже, при изложении процедур сгла­ живания данных также имеют недостатки. Например, значение переменной в первоначальной точке при интерполяции не обя­ зательно сохраняется, так как полученное в результате усред­ нения новое значение может превышать (или быть меньше) значения в близлежащих точках из-за влияния более удален­ ных точек.

Если первоначальные данные расположены нерегулярно и промежуточные значения должны быть вычислены для каждой пары наблюдений, то применение линейной интерполяции, от­ ражающей равномерность изменения переменной между конт­ рольными точками, вполне оправданно. Однако в любой задаче, в которой приходится использовать интерполяцию наблюдаемых данных, всегда следует иметь в виду, что для получения оценок нельзя использовать любой метод. Точность полученного ре­ зультата зависит от плотности первоначальных данных, исполь­ зовавшихся при построении сети, и никакая интерполяция не позволит нам улучшить результаты анализа, если исходных данных недостаточно, Например, мы могли бы оценить содер­ жание магния в реке с интервалом 500 м или даже с интерва­ лом 5 м, однако совершенно ясно, что эги новые значения не дадут нам дополнительной информации о распределении изу­ чаемого элемента в потоке.

Теперь мы рассмотрим метод получения равномерно распо­ ложенных в пространстве данных, основанных на использова­ нии всех наблюдений между последовательными точками, в ко­ торых были получены оценки, Этот метод называется методом

169

Рис. 4.2, Последовательность данных, рассматриваемая как ступенчатая функ* ция или «кривая прямоугольников»

неравномерно расположенных данных путем прямоугольного интегрирования.

Площадь заштрихованной области такая же, как и иа рис. 4.2

прямоугольников. Исходные данные можно представить в виде ступенчатой функции, имеющей в интервале между последова­ тельными наблюдениями постоянное значение. Пример такой функции представлен на рис. 4.2. Если требуется изобразить распределение с равномерной сетью, надо построить другую ступенчатую функцию, но такую, чтобы площади прямоуголь­ ников с равными между собой основаниями были равны соот­ ветственно площадям исходных прямоугольников. Такое рас­ пределение представлено на рис. 4.3, где получена последова­ тельность равномерно распределенных значений, которые соответствуют данным, представленным на предыдущем рисун­ ке. Обе заштрихованные площади равны между собой. Эта про­ цедура имеет то преимущество, что она учитывает все данные внутри интервала, содержащего точку, для которой требуется получить оценку значения изучаемой величины. Кроме того, поскольку площадь, ограниченная построенным графиком, рав­ на площади, ограниченной первоначальным графиком, то на­ блюдениям, используемым для получения оценки в точке, долж­ ны быть приписаны веса, пропорциональные длине того интер­ вала, который им отвечает.

Несмотря ка то что теоретически получение оценок методом прямоугольников очень просто, оно представляет некоторые трудности при программировании. Используя первую получен­ ную оценку, вычисляем произведение расстояния до следующе­ го наблюдения на его величину, что дает нам площадь прямо­ угольника; далее производим те же вычисления, для всех на­ блюдений, пока не получим оценку в последней точке. Эта оценка определяется в результате суммирования уже найден­

170

ных площадей и деления суммы на величину интервала, вы­ бранного для получения оценки, Начальное значение в оцени­

явно в том случае, когда исходные данные разрознены, и меж­ ду двумя наблюдениями приходится получать более одной оценки. При линейной интерполяции вычисляются значения, расположенные на прямой линии, соединяющей две ближайшие заданные точки. Наоборот, в методе прямоугольников строятся оценки, равные первому наблюдению.

При изучении зоны метаморфизма вокруг интрузива была опробована скважина, пробуренная перпендикулярно к контак­ ту интрузии с вмещающими породами. Керн раскололи, и все кристаллы граната, расположенные на поверхности, извлекли и проанализировали спектрохимическим методом на содержа­ ние железа, Как расстояния между кристаллами, так и содер­ жание железа в них колебались в широких пределах, Данные, полученные в результате этого эксперимента, приведены в табл. 4.3. Желательно было бы получить с их помощью общую картину изменений в составе граната, однако эти данные ка­ жутся довольно незакономерными и не поддаются прямой ин­ терпретации. В качестве первого шага проведения анализа можно построить их оценки для равномерной сети. Желательно в качестве интервала между точками выбрать расстояние 0,5 м.

171