книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

Оценка общей дисперсии

13,23.

/V— 1 = ~ 2 0 ~

Оценка .межвыборочной дисперсии

Оценка внутривыборочной дисперсии

Сущность проведенного дисперсионного анализа лучше по­ яснить, рассмотрев тот предельный случай, когда все повторные пробы идентичны. Тогда средние значения столбцов будут та­ кими же, как средние по всем столбцам, и оценка дисперсии, вычисленная по всем наблюдениям, будет совпадать с оценкой, вычисленной только на основании данных одного столбца. Ины­ ми словами, мера ошибки обратится в нуль. В этом случае нет дисперсии, возникающей из-за различии между повторными про­ бами. Такой неправдоподобный результат должен навести на мысль, что первоначальные образцы на самом деле различны н что каждое множество повторных проб было извлечено из различных совокупностей, имеющих нулевые дисперсии.

Рассмотренный пример является менее экстремальным. Вы­ числяя значение /■’-критерия, мы получаем следующее критиче­ ское значение. Выбрав критическую область, соответствующую заданному уровню значимости и заданному числу степеней сво­ боды, можно теперь принять пли отвергнуть проверяемую ги­ потезу:'

F = MSA/(M SW) = 10,14.

Однофакторный дисперсионный анализ применяется в тех случаях, когда требуется проверить гипотезу о том, что некото­ рый набор совокупностей, представленных выборками, состоит из идентичных объектов. Однако для его проведения требуется, чтобы мы могли случайно выбрать повторные пробы внутри выборок и провести их анализ в случайной последовательности. В некоторых ситуациях это может оказаться сильным ограни­ чением и может привести к неполноценному анализу, при кото­ ром теряется слишком много информации об изменчивости. На­ пример, предположим, что некоторая измерительная процедура приводит к завышению дисперсии. Используя однофакторную модель, мы не можем оценить величину возникающей по этой причине изменчивости, так как она входит в сумму квадратов вместе с изменчивостью, возникающей от других причин. Одна­ ко более кропотливый статистический анализ может дать воз­ можность выделить эту изменчивость и оценить ее.

93

Двухфакторный дисперсионный анализ И-всстен ряд более сложных критериев, подробно описан­

ных г- руководствах по дисперсионному анализу н планирова­ нию aKcricpj.мента. Прекрасные описания некоторых схем, весь­ ма полезных при геологических исследованиях, содержатся г. книгах Гриффитса [13] и Крамбейна, н Гренбилла [20]. 3;ieci мы ограничимся рассмотрением лишь одного дополнительного примера и соответствующей статистической процедуры. Ордо­ викские песчаники Сент-Питер представлены очень чистыми ортокварцитами, которые распространены в верховьях р. Мис­ сисипи. Так как зерна этих пород хорошо окатаны и отсортиро­ ваны, то они необыкновенно однородны по своему строению В связи с этим нефтяные месторождения, приуроченные к пес­ чаникам, при добыче нефти путем откачки ведут себя так, как

.можно в точности предсказать с помощью теоретических моде­ лей их поведения, .хотя последние построены на основе иде:ли­ зании условий. Отклонения поведения модели от действитель­ ности могут указать на ошибочность допущений в структуре модели.

Небольшой нефтяной район в южном Иллинойсе предс: яв­ ляется идеально приспособленным для исследования совпаде­ ния в поведении модели и реального нефтяного месторождения. Так как этот раной арендовался только одной компанией, тща­ тельно хранившей документацию, то данные о добыче нефти из этого месторождения оказались доступными для исследования. Однако, прежде чем выполнить исчерпывающий анализ поведе­ ния месторождения, целесообразно проверить на примере вы­ шеупомянутого песчаника предположение об однородности его свойств.

Из множества скважин, пробуренных в процессе разработ­ ки, десять были выбраны случайным образом для проведении анализа. В каждой пробе наудачу был высечен 1 куб породы объемом 16 см3 таким образом, чтобы вертикальная ориента­ ция пробы сохранялась. С помощью соответствующего прибора были сделаны два измерения скорости движения флюида сквозь высеченные кубы: в вертикальном направлении по отно­ шению к слоистости и в горизонтальном, параллельно слоисто­ сти. Используя эти измерения, вычислили проницаемость образ­ ца в квадратных микрометрах.

Двадцать вычисленных значений проницаемости приведены в табл. 2.17. По этим двадцати значениям требуется получить ответ па вопрос: имеются ли значимые различия в проницаемо­ сти, зависящие от положения образца в изучаемом районе (т. е. от расположения скважин) или от выбранных направле­ ний измерения?

Эту задачу можно решить с помощью двухфакторного дис­ персионного анализа. Рассмотрим два главных источника из-

94

Т а б л и ц а 2.17

Проницаемость случайно отобранных образцов песчаников Сент-Питер

менчивости: один, возникающий как следствие различий между пробами, и другой, возникающий из-за различий направлений при измерениях проницаемости. Третий источник изменчиво­ сти— остаток, или дисперсия ошибки, соответствующая диспер­ сии внутри повторных проб в однофакторном анализе. В этом примере проверяются две гипотезы:

в том, что по меньшей мере одна скважина имеет неравное ос­ тальным среднее и что вертикальные и горизонтальные прони­ цаемости неодинаковы. Эта проблема очень напоминает уже рассмотренную задачу изучения содержании карбонатов с по­ мощью однофакторного дисперсионного анализа, но с одним исключением: вместо того чтобы произвести измерения в образ­ цах на основании случайного выбора, мы провели измерения разного типа. Последние можно назвать эффектами: этот тер­ мин означает, что числа, порожденные одним эффектом, могут фундаментально отличаться от чисел, порожденных другим, даже в случае если используются одни н те же пробы. Так как измерения не вполне рандомизированы, а вместо этого разделе­ ны в соответствии с воздействием на них различных эффектов, то данные можно проанализировать с целью выявления разли­ чий как между эффектами, так и между образцами. Таким об­ разом, изменчивость, возникшая из-за различий в эффектах, не должна совпадать с изменчивостью, возникшей по другим при­ чинам, и может быть отделена на основании статистической процедуры

Для обоснованного применения двухфакторного анализа не­ обходимо выполнение следующих четырех основных положе­ нии: а) каждая комбинация эффекта и объекта является слу­ чайной выборкой, взятой из различных совокупностей; б) каж­ дая исходная совокупность нормальна; в) все изучаемые сово-

95

купности имеют одну и ту же дисперсию; г) нет никакой за­ висимости между различными эффектами и различными об­ разцами.

Последнее допущение является утверждением того, что частная комбинация эффекта и образца не приводит к большей дисперсии, чем эффекты и образцы в других комбинациях. Если бы мы выполнили однофакторный анализ, используя по­ вторные наблюдения (т. е. выполнили бы более одного измере­ ния проницаемости для каждой комбинации факторов направ­ ление— образец), то могли бы обнаружить взаимодействие, однако в этой простой схеме мы предполагаем, что взаимодей­ ствие отсутствует. Если все же взаимодействия имеются, то их наличие обесценивает результаты испытания проб. Ошибочное предположение о независимости параметров между собой при наличии такой зависимости довело не одного исследователя до беды. Хорошее введение в теорию эффектов взаимодействия со­ держится в гл, 6 книги Хикса [16].

Ниже приводится схема двухфакторного дисперсионного анализа без повторении в ячейках. Величина SSr вычисляется по формуле (2,37); SSA— по формуле (2,38). Величина SS B яв­ ляется суммой квадратов по эффектам:

где т — целое положительное число.

Так как величина SSB является разностью двух средних значений по образцам в пределах каждого эффекта, то из этих равенств вытекает, что S S B является мерой изменчивости эф­ фектов. Сумма квадратов 55сявляется остатком от общего вклада при вычитании вкладов, зависящих от этих источников изменчивости. Обозначения в этом случае такие же, как и в од­ нофакторном дисперсионном анализе, только теперь п является числом эффектов, а не числом повторных проб.

96

1

<РчS •

I tt)

О . •

но

л •

о

„ д .

Выбо- у рочные средние

Рис. 2.32. Схемы суммирования в дисперсионном анализе:

а — однофакторный дисперсионный анализ; суммирование для нахождения выборочного среднего производится сверху вниз по столбцам; б — двухфакторн>ый дисперсный анализ; суммирование для нахождения выборочных средних производится как по строкам, так

и по столбцам

Выбрав некоторый уровень значимости для обеих гипотез, можно использовать эту статистическую процедуру с целью ис­ следования данных табл. 2.17 по проницаемости. Вопросы, на которые дает ответ этот критерий, следующие: а — имеются ли значимые различия в проницаемости в пределах нефтеносного района? б — имеются ли значимые различия в проницаемости по вертикали и горизонтали?

Можно изменить однофакторную процедуру так, чтобы она позволяла находить дополнительные члены MSB и новый по­ правочный член MSe, а затем переходила бы к нахождению двух значений F. Обращение к рис. 2.32 помогает понять, какие изменения должны быть внесены. Учитывая полученные ре­ зультаты, какие бы вы хотели дать рекомендации относительно целесообразности использования этих методов для проверки моделей залежи?

Дисперсионный анализ — один из наиболее распространен­ ных статистических методов, особенно в таких областях, как контроль качества изделий в промышленности п биологические эксперименты. Следовательно, нужны программы для ЭВМ по дисперсионному анализу практически любой степени слож­ ности.

%2-критерий

Рассмотрим еще одно распределение, тесно связанное с нор­ мальным. Если выборка объема п взята из нормальной сово­ купности, имеющей среднее значение р и стандартное отклоне­ ние а, то каждое наблюдение в выборке можно преобразовать по формуле (2.16):

Такая величина также распределена нормально с математи­ ческим ожиданием 0 и дисперсией, равной 1. Если значения Z

возвести в квадрат и сложить, то сумма будет представлять но­ вую статистику, которую мы обозначим EZ2, т. е.

Так как эта статистика строится по выборочным данным, то она изменяется от выборки к выборке. Если взять всевозможные выборки объема п из нормальной совокупности и нанести со­ ответствующие им значения 2Z2 на график, то они будут подчи­ нены ^-распределению. Распределение %2 зависит от числа сте­ пеней свободы, которое связано с объемом соответствующих вы­ борок. Типичная кривая ^-распределения изображена на рис. 2.33, а значения /^распределения для различных чисел сте­ пеней свободы и уровней значимости приведены в табл. 2.18. Отметим, что кривая /^распределения, так же как и кривая /•■-распределения, выходит из начала координат и, проходя че­ рез положительные значения, стремится к бесконечности. Под­ робно /^-распределение рассмотрено в книге Ли [23].

Распределение / 2 имеет большое значение в практике, так как его можно использовать для проверки гипотез, содержа­ щих как номинальные, так и порядковые данные. До сих пор мы рассматривали только методы исследования данных, пред­ ставляющих собой результаты измерения значении перемен­ ных. Теперь же мы обратимся к некоторым методам изучения данных подсчета, например таким, как число морских ежей на единицу площади морского дна, или число кристаллов плагио­ клаза, расположенных на пересечении шлифа, или число зерен заданной гранулометрической фракции в раздробленном пес­ чанике.

Общеизвестная задача статистического анализа заключает­ ся в сравнении выборочного распределения с некоторым зара­ нее заданным стандартным распределением. Так, статистиче­ ские критерии можно применить для проверки гипотезы, за­ ключающейся в том, что имеющиеся данные извлечены из со­ вокупности с заранее известным распределением, возможно, нормальным или логнормальным. Для того чтобы убедиться в том, что это предположение не противоречит действительности, надо сравнить выборочное и теоретическое распределения. В большинстве случаев геолог задает соответствующие классы размеров частиц и затем проверяет, согласуется ли распределе­ ние размеров частиц в естественных скоплениях гравия или на выходе из камнедробилки с некоторым заданным теоретиче­ ским распределением. В обеих рассмотренных задачах требует­ ся установить соответствие между формой двух распределений, одно из которых получено по выборке, а другое либо заранее

9 8

известно, либо предполагается имеющим определенный тип. Требуется в вероятностных терминах получить ответ на вопрос: можно ли два указанных распределения отнести к одному типу?

Аналогичная задача возникла при опробовании в заливе Уайтуотер (штат Флорида), где было проведено 48 измерений солености поверхностных вод (табл. 2.19). Предварительный визуальный анализ этих данных позволяет предположить, что значения содержаний соли в выборке с некоторой площади распределены нормально. Если эта гипотеза верна, то из нее

следует, что происходят свободное перемешивание и обмен меж­ ду открытыми морскими водами и пресной водой, втекающей в залив. С другой стороны, если бы существовал какой-либо ме­ ханизм, который стремился бы разделить соленую и пресную воду в заливе, то распределение содержаний соли позволило бы его обнаружить. Это дало бы возможность получить пред­ ставление о циркуляции воды и предсказать тип распределения донных осадков. С помощью соответствующего критерия согла­ сия можно проверить, насколько хорошо выборочное распреде­ ление согласуется с нормальным.

Предположим, что совокупность определений солености, изкоторой взята наша выборка, характеризуется нормальным распределением с неизвестным средним значением р, и диспер­ сией а2. Альтернативой этой гипотезе, конечно, является пред­ положение, что это распределение не согласуется с нормальным законом. Значение статистического критерия можно вычислить путем подразделения области определения стандартного нор­ мального распределения на некоторое число отрезков. Вероят­ ность того, что одно случайное наблюдение, извлеченное из стандартного нормального распределения, попадает в один из отрезков, равна площади под кривой в пределах отрезка. Ис­ пользуя эти вероятности, можно вычислить ожидаемое число наблюдений в каждом отрезке. Ожидаемые частоты в каждом отрезке затем сравниваются с соответствующими выборочными частотами. Если эти числа значительно отклоняются от ожи­ даемых, то маловероятно, чтобы выборка была извлечена из нормальной совокупности. Используя ^-распределение, можно придать вероятностный смысл словам «значимый» и «маловеро­ ятный».

Указанный статистический критерий вычисляется по фор­ муле

( О / — F. j ) 2

(2.45)

где О/ — число наблюдений в j-м классе, F.j— ожидаемое число

100

Рис. 2.33. ^/-распределение при десяти степенях свободы с заштрихованной критической областью, ограничиваю­ щей 5% площади под кривой

наблюдении в этом классе. Предполагается, что имеется k раз­ личных классов (или интервалов).

В этой задаче значение статистического критерия вычисля­ ется с помощью подразделения области определения наблю­ даемых значений на некоторое число отрезков, например четы­ ре, но так, чтобы им соответствовали равные площади под нор­ мальной кривой, которым, следовательно, отвечают равные ве­ роятности попадания в соответствующий интервал. Границами этих интервалов, соответствующих равным вероятностям, будут —оо; —0,67; 0,0; +0,67 и сю. Если наши данные стандартизо­ ваны, то можно ожидать, что приблизительно одна четверть значений попадает в каждый из интервалов. Далее подсчиты­ вается число проб, попадающих в каждый из этих интервалов, находится разность между ожидаемыми и реальными числами, а результат возводится в квадрат. Квадрат разности делится на ожидаемое число попаданий в данный интервал. Получен­ ные значения суммируются по всем четырем интервалам. Если сумма превышает критическое значение, то нулевая гипотеза отклоняется и делается вывод, что распределение значении со­ лености не согласуется с нормальным.

На рис. 2.33 представлен типичный пример ^-распределения. Следует отметить, что его конкретный вид зависит от числа степеней свободы. Однако число степеней свободы в нашей за­ даче не зависит от числа наблюдений, как это было в предыду­

ного нормального распределения. В нашем примере число сте­ пеней свободы равно числу категорий без трех, или в нашем примере — единице. Мы потеряли две степени свободы потому, что^ля неизвестных параметров р и а2 использовали их оцен­ ки X и s2 соответственно, а еще одну степень свободы за счет того, что сумма частот по интервалам равна единице. Критиче­ ское значение ^-распределения, соответствующее 10%-ному уровню значимости (а = 0,10) и одной степени свободы, рав­ но 2,71 (см. табл. 2.18).

Как и в случае Е-распределения, значения уу-распределен- ных случайных величин не имеют центра в нуле и всюду поло­ жительны. Так как отклонения ожидаемых частот от иаблюдае-

101