книги / Сферическая астрономия

или, используя формулу Тэйлора (ф ~ 10 8),

(4.48)

Правая часть (4.48) изменяется во времени из-за движения Земли по орбите и вращения, так как меняется барицентрическая скорость часов и потенциал ф в точке расположения часов. Это значит, что промежуток в единицах собственного времени меняется по сравне­ нию с промежутком в единицах координатного времени.

Вуравнении (4.48) предполагается, что т и I измеряются в одних

итех же единицах (например, секундах СИ). Однако можно считать, что тъ1 измеряются в разных единицах (например, отношение этих единиц описывается уравнением (4.35)); в этом случае правая часть уравнения (4.48) должна быть умножена на коэффициент 77. Инте­ грирование уравнения (4.48) дает:

причем предполагается, что две шкалы времени синхронизированы в момент времени ^о, так что т — I в момент ^о.

Вычислим интеграл в уравнении (4.49). Для этого будем считать,

что

где Кф, Уф — векторы положения и скорости центра Земли, г ' , т о — векторы положения и скорости часов относительно центра Зем­ ли. Все векторы измеряются в барицентрической системе коорди­ нат. Потенциал ф(г) является суммой потенциалов Земли ф®(г) и остальных тел Солнечной системы фс(г): ф(г) = ф®(г) + фс(г). За­ метим, что потенциал ф®(г) = ф®(г') для часов, расположенных на поверхности Земли, является почти постоянной величиной (ес­ ли пренебречь движением полюса и неравномерностью вращения), тогда как потенциал фс(т) меняется из-за движения часов, вызван­ ного вращением и орбитальным движением Земли. Подставляя вы­ ражения (4.50) в (4.48), получим:

У& + 2Уф ■г + Ю2

(4.51)

2с2

Уравнение (4 49) показывает, как собственное время атомных часов, фиксированных на поверхности Земли, зависит от их поло­ жения и скорости в барицентрической системе отсчета и координат­ ного времени. В частности, это уравнение показывает, что при срав­ нении часов, находящихся в разных местах, следует учитывать раз­ ность их собственных времен. Для этого атомные часы должны пе­ риодически сравниваться, и разность показаний двух часов г и ^ бу­ дет определяться разностью т* —тду причем т*, тд вычисляются по формуле (4.49). Таким образом уравнение (4.49) может быть ис­ пользовано для понимания проблемы синхронизации часов.

Поправка является общей для всех часов, расположенных на Земле. Поэтому она одинакова для всех часов, и ее можно не учи­ тывать при синхронизации. Однако при преобразовании между соб­ ственным и координатным временем член Д^ф является основным.

Релятивистская поправка А1' различна для разных часов. Это означает, что в результате релятивистских эффектов шкалы атом­ ных часов расходятся. Это расхождение выражается в виде линейно­ го дрейфа и малых квазипериодических вариаций. Линейный член в (4.54) определяется гравитационным потенциалом и скоростью часов относительно центра масс Земли. Так как часы расположены не точно на поверхности геоида, то различие их положения по вы­ соте на АН приводит к изменению гравитационного потенциала на величину:

1

6фе (АН) =

\Гд + ДЬ|

тд —вектор от центра Земли до часов, находящихся на геоиде. Для часов, расположенных на поверхности Земли, АН гду где АН = \АН\ —ортометрическая высота часов, гд = |гр|, и с большой точно­ стью предыдущее выражение можно записать как

бфф(АН) = доАН

где #о — ускорение силы тяжести на геоиде. Релятивистская теория предсказывает, следовательно, изменение хода часов при изменении высоты с коэффициентом ~ 1,1 х Ю“ 13Д/г [км].

Таким образом, если г' = тд + Д к, то ф®(г') = ф®(гд) + 5ф®(АН).

Квадрат скорости ги2 можно представить в виде ги2 = ги2+ Дги2, при­ чем Аю зависит от высоты Ак. Тогда

Первая скобка в правой части (4.55), которую обозначают через Ь о, представляет собой гравитационный потенциал на геоиде И^о, делен­ ный на с2:

Это величина постоянная, значение которой считается по опреде­ лению равным 6,969290134 • 10“ 10. Заметим, что константы, зна­ чения которых назначаются, называются определяющими. Так как константы Ьо и с известны, можно найти геопотенциал на геоиде: Ц^о = 62636856,0005 м2с“ 2 и таким образом задать геоид.

Вторая скобка в правой части (4.55) представляет собой реляти­ вистскую поправку в ход часов, которая различна для разных часов, но может быть точно вычислена по теории. После учета этой поправ­ ки все часы оказываются «расположенными» на геоиде. Полученная шкала времени называется земным временем ТТ (Теггезйта! Типе):

где т —собственное время атомных часов (4.49).

Шкала ТТ была введена в 1991 г. резолюциями МАС и замени­ ла шкалу ТБТ. Шкалу ТТ следует использовать при вычисления геоцентрических эфемерид. Единица измерения ТТ равна секунде СИ на геоиде. В момент времени 1997, январь 1, 0ь0т 08 ТА1 значе­ ние времени ТТ равно 1997, январь 1, 0ь0т 32,8184. Таким образом (см. выражения (4.27) и (4.36))

ТТ = ТБТ = ТА1 + 32,8184.

Так как часы не располагаются на геоиде, поправка (второй член в правой части (4.55)) учитывается при синхронизации часов и вы­ воде шкалы ТА1. Следовательно, шкала ТА1 является реализацией ТТ и в настоящее время из-за ошибок синхронизации часов и вычис­ ления имеет малое линейное смещение (~ 1 мкс/год) относительно идеальной шкалы ТТ (рис. 4.8).

Рассмотрим теперь, как вычислить интеграл (4.53) и найти по­ правку Д*0 .

Интеграл в (4.53) вычислить достаточно просто, если считать ор­ биты планет кеплеровскими невозмущенными гелиоцентрическими орбитами. Если М© —масса Солнца, Мр — масса планеты Р, К© — барицентрический радиус-вектор Солнца, гр —гелиоцентрический радиус-вектор планеты, то уравнение для радиуса-вектора центра масс Солнечной системы может быть записано в виде:

м©к© + У ] МР(К© + гр) — 0.

V

Это соотношение следует из определения центра масс и того, что в барицентрической системе начало координат находится в центре масс.

Решая это уравнение относительно К© и сохраняя лишь члены порядка Мр/М©, получим:

Для простоты будем далее учитывать влияние только Юпитера и Сатурна.

Если гелиоцентрический радиус-вектор центра Земли равен г©, то К© = К© + г©. Взаимное расположение Солнца, Земли, Луны и планеты показано на рис. 4.11.

Барицентрической скоростью Солнца можно пренебречь по сравне­ нию со скоростью Земли (см. стр. 123).

Гравитационный потенциал в центре Земли можно найти по формуле:

Рис. 4.11. Определение радиусов-векторов тел Солнечной системы; В — ба­ рицентр Солнечной системы, В ' — барицентр системы Земля+Луна.

Упростим это выражение, воспользовавшись вторым законом Нью­

и уравнением (2.63), которое перепишем в виде:

|гР12 СМ 0 СМ р

(4.60)

2 |гр| 2ар

Ор — большая полуось орбиты планеты. Так как

4.5. Динамические шкалы времени

14 Зак. 286

то

Приравнивая уравнения (4.60) и (4.61), получим после приведения подобных членов:

нию радиус-вектор го центра тяжести (барицентра) системы Земля+Луна равен:

Первые два члена в (4.64) преобразуем следующим образом. Пе­ репишем уравнение (2.63) для барицентра системы Земля+Луна:

Максимальный по величине переменный член есть 2го • гоЕго появление обусловлено обращением Земли и Луны вокруг Солн­ ца. Следовательно, его амплитуда определяется параметрами орби­ ты системы Земля+Луна, а периодичность изменения кратна году. Для оценки амплитуды используем уравнения (2.56), (2.57), (2.62). Тогда

2го • го = 2па2езт Е ,

где п —среднее движение барицентра системы Земля+Луна, е —экс­ центриситет орбиты. Так как е 1, то з т 5 можно выразить через среднюю аномалию М по формуле (2.69):

81П Е « 81П М + - 8Ш 2М.

А

Подставляя численные значения п, е, а, найдем

~2го • го « 1656,678 тМ + 13,84зт2М [мкс].

Таким образом, амплитуда максимального релятивистского солнеч­ ного члена не превышает 2 мс; период равен одному году. Вклад Юпитера и Сатурна можно оценить аналогичным образом; он со­ ставляет ~ 22,4 и 4,7 мкс, соответственно.

Для вычисления Р с ошибкой в несколько наносекунд необходи­ мо использовать разложение на гармоники, полученное Файрхедом и Бретаньоном и включающее около 800 членов.

Проинтегрировав уравнение (4.67), перепишем (4.49) следую­ щим образом:

I - ТТ = 71 М * - * о ) + ^ е т Ч Р

В зависимости от выбора величины г\ уравнение (4.68) выражает связь шкалы времени ТТ и одной из шкал координатного времени равного ТСВ или Терн (см. ниже).

4.5.3. Барицентрическая и геоцентрическая небесные системы отсчета

Шкалы координатного времени ТСС и ТСВ были введены ре­ золюциями Генеральной Ассамблеи МАС в 1991 г. как временные

координаты в системах отсчета с началом в центрах масс Земли и Солнечной системы, соответственно. В резолюциях Генеральной Ассамблеи МАС в 2000 г. эти системы названы как геоцентрическая (ОСКЗ) и барицентрическая (ВСКЗ) небесные системы отсчета.

Для решения астрометрических задач достаточно иметь небес­ ную и земную системы отсчета 1СКЗ и ГГКЗ и их реализации: 1СКР и 1ТКР. Однако для связи 1СКЗ и ГГКЗ необходимо ввести еще одну /юкальную геоцентрическую систему, направления пространствен­ ных осей которой совпадают с направлениями осей 1СКЗ. Но шка­ лой времени в этой системе является шкала ТСС, как и в ГГКЗ. Эта система и называется геоцентрической небесной системой отсчета (ОСКЗ). Она является промежуточной между системой ГГКЗ и ба­ рицентрической небесной системой отсчета ВСКЗ, которая отож­ дествляется с 1СКЗ.

Координаты события в ВСКЗ обозначаются как (2, х) с времен­ ной координатой I = ТС В. Начало пространственных координат на­ ходится в барицентре Солнечной системы, причем оси ВСКЗ непо­ движны относительно удаленных внегалактических радиоисточни­ ков. Потенциал Солнечной системы определяется выражением:

СМг

в котором суммирование выполняется по всем телам.

Координаты события в ОСКЗ обозначаются как (Т, X) с времен­ ной координатой Т = ТСС. Начало пространственных координат находится в центре масс Земли, оси ОСКЗ не вращаются относи­ тельно удаленных внегалактических радиоисточников. Таким обра­ зом, ОСКЗ —система кинематически не вращающаяся относитель­ но 1СК5.

Так как наблюдения проводятся с Земли, то они являются собы­ тиями с координатами (Т, X) в ОСКЗ. Оси ОСКЗ фиксированы от­ носительно квазаров, но сама геоцентрическая небесная система отг счета движется вокруг барицентра Солнечной системы. В искрив­ ленном пространстве вектор в ОСКЗ при параллельном переносе вдоль некоторого замкнутого контура не возвращается, в общем слу­ чае, в первоначальное положение относительно ВСКЗ. Само явле­ ние изменения направления вектора называется геодезической пре­ цессией и нутацией, хотя их причины существенно отличаются от