книги / Сферическая астрономия

Л\Г/ЛЬУЛ\е/ ЛЬне равны нулю. Чтобы их вычислить, найдем производ­ ную единичного вектора 1г по углу 0 (рис. 2.13). Так как

Аналогичным образом найдем выражение для производной Л\е/ЛЬ:

Подставляя значения производных Л\Г/ЛЬУ(Не/(И в уравнение (2.43) и приводя подобные члены, получим, что ускорение тела разлагает­ ся на две компоненты —радиальную и нормальную:

г = (г — гО )1г + (г0 + 2гО)\о.

Так как второй член в скобках можно записать в виде:

1 ^ / 2й0\

гО + 2гО

г ЛЬ\ ЛЬ/'

то из второго закона Кеплера (2.42) следует его равенство нулю. Иными словами, нормальная составляющая ускорения тела, движу­ щегося по кеплеровской орбите, равна нулю.

Полагая, что г = 1гг, запишем уравнение (2.38) в полярных ко­

Дифференциальные уравнения (2.42) и (2.44) описывают зави­ симость расстояния г одного тела относительно другого и угла 0 от времени. Для решения этих уравнений обычно исключают вре­ мя из (2.44) с помощью (2.42). Для удобства введем параметр иутак

Тогда закон Кеплера (2.42) записывается в виде: в = Ни2. Теперь выразим производную г через параметр и. Для этого найдем сначала производную г:

и, учитывая, что г является неявной функцией 0, а Н = сопз!, полу­ чим

После подстановки г в уравнение (2.44) найдем:

—/12гг2^ ^ —Л2гг3 = —/хгх2

или

сРгх /х

(2.45)

+ И = /?'

Решение дифференциального уравнения второго порядка (2.45) записывается в виде:

и = К2 + Асоз(0 —а;),

где А и а; - две константы интегрирования. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что и является решением уравне­ ния (2.45). Заменяя и на г и Вводя новые параметры: р = Н2/р, е = АН2/ /х, находим уравнение траектории тела в полярных коор­ динатах:

Уравнение (2.46) является уравнением конических сечений. Вид орбиты зависит от параметра е — эксцентриситета орбиты. Если О < е < 1, то траектория является эллипсом, если е = 1, то —па­ раболой, если е > 1, то —гиперболой. Вид орбиты можно опреде­ лить также по величине постоянной энергии в уравнении (2.40), ко-

2.10. Основы небесной механики

9 Зак. 286

торая зависит от скорости и радиуса-вектора тела. Поэтому удобно связать вид орбиты с начальными параметрами Уо и го:

если V* < — , т о И ^ < 0 и 0 < е < 1 —эллиптическая орбита,

Го

Го

2д если Уо > — , т о Т У > 0 и е > 1 — гиперболическая орбита.

Го

Ограничимся сейчас случаем, когда 0 < е < 1. В этом случае уравнение (2.46) является математической формой первого закона Кеплера.

Если тело с массой т \ назвать Солнцем, другое тело —планетой, то первый закон Кеплера формулируется следующим образом: пла­ нета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находит­ ся Солнце. Параметр р называется параметром эллипса и связан с большой полуосью а эллипса формулой: р = а( 1 —е2). Малая полу­ ось Ьможет быть выражена через а и е: Ь2 = а2(1 - е2) (рис. 2.14). На рис. 2.14 Солнце находится в точке О, планета —в точке Р, ось О Х направлена в точку восходящего узла орбиты, а ось Ох —в точку ор­ биты, ближайшей к Солнцу, которая называется перигелием. Угол ш называется угловым расстоянием перигелия от узла или аргументом перигелия.

Рис. 2.14. Определение параметров эллипса.

Если обозначить период обращения планеты Р как Г, то соглас­ но второму закону Кеплера за время Г планета опишет полный эл-

части (2.51) отличается от единицы в третьем знаке. Следовательно, с точностью до 10_3 имеем

(2.52)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их боль­ ших полуосей. Если определить большую полуось а\ для Земли как 1 астрономическую единицу (1а. е.) (это неточное определение аст­ рономической единицы; см. главу 8) и Т\ как 1 год, то, измеряя пе­ риод обращения какой либо планеты в Солнечной системе в годах, можно записать третий закон Кеплера в форме:

гз

а'

где а, Т — большая полуось и период обращения любой планеты. Таким образом, третий закон Кеплера устанавливает лишь относи­ тельные параметры орбит планет. Чтобы установить истинные раз­ меры в Солнечной системе, необходимо знать величину 1 а. е. в мет­ рах. В начале XX века для этого использовались наблюдения Солн­ ца, планет, астероидов и вычислялась величина параллакса Солнца (см. стр. 323). Затем на смену оптическим наблюдениям пришли бо­ лее точные методы радиолокации планет, астероидов, что позволило определить значение 1 а. е. с ошибкой в несколько метров.

2.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты

При рассмотрении движения планет можно ограничиться толь­ ко случаем эллиптического движения. Орбита планеты в этом слу­ чае характеризуется шестью параметрами.

Определим систему координат Охуг> связанную с орбитой пла­ неты. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца —афелием. Ось Ох направим в пе­ ригелий, ось Ог —перпендикулярно плоскости орбиты. Точки пе­ ресечения плоскости орбиты планеты и эклиптики называются уз­ лами орбиты, причем восходящим узлом называется тот, который планета проходит, переходя из области отрицательных широт в об­ ласть положительных широт. Графическое представление и пара­ метры кеплеровской орбиты показаны на рис. 2.15.

Ориентация орбиты в пространстве (ориентация системы коор­ динат Охуг относительно гелиоцентрической системы О ХУ 2 ) опи-

Рис. 2.15. Определение параметров эллиптической орбиты.

сывается тремя углами. Угол между направлением на точку весен­ него равноденствия и точку восходящего узла называется долготой восходящего узла и обозначается О. Двугранный угол между плоско­ стями орбиты и эклиптики называется наклонением орбиты и обо­ значается как г. Третьим углом, который обозначается ш и называ­ ется аргументом перигелия, является угол между направлениями на восходящий узел и перигелий. Так как угол шпостоянен, то это озна­ чает неизменность положения оси Ох и в плоскости орбиты, и в про­ странстве.

Следующие два параметра: большая полуось а и эксцентриситет е определяют размеры и форму орбиты. И, наконец, положение те­ ла на орбите в начальный момент определяется эпохой прохождения через перигелий —То.

Мгновенное положение планеты на момент I определяется углом V, который называется истинной аномалией (рис. 2.16).

Помимо истинной аномалии в небесной механике используются эксцентрическая Е и средняя М аномалии. Построим окружность с радиусом а, равным большой полуоси эллипса, с центром, который совпадает с центром эллипса С . Опустим перпендикуляр Р В на ось Ох; тогда его продолжение пересечет окружность в точке Р'. Угол /.Р'СО = Е называется эксцентрической аномалией. Средняя ано­ малия М для любого момента времени ^ вычисляется по формуле:

Следовательно, соотношение (2.55) можно переписать в виде:

Из выражений (2.56), (2.57) и формулы тангенса половинного уг­ ла получим выражение, связывающее истинную и эксцентрическую

Заменяя г выражением (2.57), <1у —на (2.59) и Л на у / р а ( 1 —е2), по­ лучим:

получим трансцендентное уравнение, связывающее эксцентричес­ кую и среднюю аномалии, которое называется уравнением Кеплера:

где Го есть постоянная интегрирования —момент прохождения че­ рез перигелий.

Найдем теперь вектор скорости V = г = Зт/<И. Заметим, что 6,Е/(Н = па/г. Вектор скорости лежит в плоскости орбиты, следова­ тельно, его проекция на ось Ог равна нулю. Из (2.56) находим про­ екции V:

и квадрат скорости

Дифференцируя по времени вектор скорости (2.62) и учитывая, что

г = аеыпЕЕ, найдем вектор ускорения тела при движении по кеплеровской орбите, который также лежит в плоскости орбиты:

п2а4 / е — созЕ

(2.64)

г3 { - V I ~ е2зт Е

Для вычисления прямоугольных координат и проекций скорости те­ ла в гелиоцентрической системе координат достаточно найти матри­ цу поворота 5 системы Охуг. Если матрица 5 известна, то преобра­ зование записывается в виде матричных уравнений:

\г

Матрица 5 вычисляется следующим образом (см. рис. 2.15): сначала выполняем поворот относительно оси Ог на угол —шдо совмещения оси Ох с линией узлов, затем — поворот относительно линии узлов на угол —г и, наконец, поворот относительно оси 0 2 на угол —Я: