книги / Сферическая астрономия

Тензор не содержит недиагональных членов. Это говорит о том, что сферические координаты ортогональны: сфера с радиусом г = сопз!;, конус с углом 0 = сопз!; и меридиональная плоскость Л = сопз!; пе­ ресекаются под прямыми углами друг к другу.

Таким образом, свойства геометрии в криволинейной системе координат определяются компонентами дц метрического тензора. В дальнейшем мы будем рассматривать четырехмерное пространствовремя для вычисления эффектов теории относительности (измене­ ния хода часов, находящихся в гравитационном поле, отклонения луча света). В четырехмерном пространстве-времени имеется, сле­ довательно, 16 компонент тензора, из них только 10 различны изза симметричности тензора (четыре с одинаковыми индексами и 12/2 = 6 с различными индексами).

1.4. Основные формулы сферической геометрии

Рассмотрим сферический треугольник А В С на небесной сфере, причем точка А является полюсом, а точка В лежит в плоскости Охг (рис. 1.6). Декартовы координаты единичных векторов т а , т в ,*с определяются согласно (1.21) при К = 1:

По определению скалярного произведения гв • тс = соз а. Это же произведение в декартовых координатах имеет вид:

гв - гс = з т с з т б с о з Л + созссозб.

Перепишем эти формулы в следующем виде:

тв — тоже единичный вектор. Используя (1.17), запишем левую часть (1.38) в виде:

Правую часть (1.38) согласно (1.5) можно записать в виде:

т в з т а =

= з т а [1(зтА Б со зВ А Б ) + ^ з т АО зт В АО) + ксоз А Б \ . (1.40)

В треугольнике В АО сторона В Б — 90°, и плоскость ОВО пер­ пендикулярна плоскости ОВС ( / ОВС — 90°). Поэтому / А В Б = 90° + В. По формуле косинусов имеем

соз АО = соз 90° соз с + з т 90° з т с соз(90° + В)

или

соз АО = - з т с з т В .

Приравнивая ^-компоненты в формулах (1.39) и (1.40), получим:

—з т 6з т сз т А = —з т а з т сз т В

По аналогии из треугольника С А Б получим: соз АО = 81П Ь81П С,

что приводит к выражению:

—з т б з т с з т Л = —з т а з т б з т С .

В результате, мы можем записать, что

з т а _ з т Ь _ з т с

Эти соотношения известны как формулы синусов. Сформулируем полученный результат как теорему: «В сферическом треугольнике отношение синусов сторон равно отношению синусов противолежа­ щих им углов».

Для вывода следующей группы соотношений между сторонами и углами сферического треугольника запишем формулу синусов для треугольника АВО.

или: соз В — з т АО зт В АО. Сравнивая ^/-компоненты в уравнени­ ях (1.39) и (1.40), получим:

Сформулируем следующую теорему: «Произведение синуса сторо­ ны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно произведению косинуса противолежащей углу стороны на синус тре­ тьей стороны минус произведение синуса на косинус этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними».

Используя циклическую перестановку сторон и углов, можно по­

Формулы (1.42) и (1.43) известны как формулы пяти элементов или формулы подобия.

На основе формул синусов, косинусов и формул подобия можно получить ряд других уравнений, связывающих углы и стороны сфе­ рического треугольника. Приведем так называемые формулы коси­ нусов:

соз А = —соз В соз С + з т В з т С соз а, соз В — —соз А соз С + з т А з т С соз 6, соз С = —соз А соз В + з т А з т В соз с,

из которых следует, что «Косинус угла равен произведению косинусов двух других углов, взятого с обратным знаком, плюс произведение си­ нусов этих углов, умноженное на косинус стороны между ними».

С выводом этих и других уравнений можно ознакомиться в со­ ответствующих учебниках. Так как в астрономии наиболее часто ис­ пользуются формулы синусов, косинусов и подобия, на выводе дру­ гих уравнений мы не будем останавливаться.

Для усвоения основных формул сферической астрономии рас­ смотрим решение следующих задач.

Задача 1. Вычислить кратчайшее расстояние между точками А и В на поверхности Земли, координаты которых (широта и долгота) равны (р\ , Ах и (р2чА2 , соответственно. Землю считать сферой радиу­ са К.

Решение. Так как кратчайшим расстоянием на сфере является дуга окружности большого круга, используем для решения задачи формулу косинусов. Рассмотрим сферический треугольник с вер­ шинами А , В , С, в котором точка С является северным полюсом. То­ гда дуга АС равна 7г/ 2 —р\, дуга ВС равна 7г/ 2 —у>2 »дуга А В равна

Согласно (1.16) получим:

СОЗ А В = 81П (рх 81П <02 + СОЗ С08(р2 СОз(А2 —Ах ).

Расстояние между двумя точками равно К агссоз (соз АВ).

Задача 2. Вычислить широту и долготу р, А самой северной точ­ ки дуги большого круга, проходящего через точки А , В на поверхно­ сти Земли, широты и долготы которых равны (рг,Х\ и ср2, А2 , соот­ ветственно.

Решение. Рассмотрим сферический треугольник АВС, в кото­ ром точка С является северным полюсом (рис. 1.7). Определим се­ верный полюс как точку, при наблюдении с которой вращение Зем­ ли происходит против часовой стрелки.

Обозначим самую северную точку дуги большого круга, прохо­ дящего через точки А, В, через В. Проведем через точку В плос­ кость, перпендикулярную оси, соединяющей полюсы. Такая плос­

Синус дуги А В легко вычислить, используя решение предыду­

щей задачи. Как известно, з т А В = ± \А _ - соз2 АВ. Нужный знак выбирается из условия зт(А 2 —Ах)/ з т А В > 0 , так как соз (р > 0 и требуется найти самую северную точку дуги большого круга.

Долготу Л точки В найдем из следующих соображений. Исполь­ зуя формулу подобия для прямоугольного треугольника САО> по­ лучим:

зт АОсоз(/СТ>Л) = соз(——<^1 ) з т ( ——ср)—

А^

Определение долготы становится невозможным в двух случаях: если точки А и В лежат на экваторе (в этом случае (р\ = <р2 = 0; з т АВ = 8 ш(А2 —Ах); из (1.44) следует, что ср = 0 ; значит соз(А — Ах) = 0 • оо) и если точки А и В лежат на одном меридиане (в этом случае Ах = Аг или Ах = А2 Н- я* и <р = 7г/2, т. е. дуга проходит через полюс).

Глава 2

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Одной из задач сферической астрономии, как говорилось во «Введении», является определение системы отсчета. Под системой отсчета мы будем понимать совокупность координатных осей и ча­ сов, по отношению к которым находится положение небесных тел и определяется шкала времени. В сферической астрономии дается ма­ тематическое определение систем координат и связи между ними, а также определение шкал времени и соотношений между ними. Ре­ ализация ’систем координат, т. е. привязка их к выбранным небес­ ным телам, является задачей астрометрии. Реализация шкал време­ ни (разработка часов и методов их сличения, определение единицы времени) является комплексной задачей, которая решается не толь­ ко астрономами, но и специалистами в области атомной, лазерной физики, электроники и т. д.

Для определения системы координат необходимо задать ее на­ чало и направление осей. Когда оси заданы, определяется основ­ ная плоскость системы, от которой отсчитывается одна из сфериче­ ских координат. В древности чаще всего использовали эклиптиче­ скую систему координат, т. е. основной плоскостью была плоскость эклиптики. Такой выбор объясняется тем, что древние астрономы изучали главным образом движение планет, Солнца и Луны, кото­ рые располагаются вблизи плоскости эклиптики. В средние века в качестве одного из основных направлений стали использовать на­ правление оси вращения Земли. Более удобной стала экваториаль-

ная система, задаваемая плоскостью среднего экватора и точкой ве­ сеннего равноденствия1.

Кроме указанных, используются горизонтальная и галактиче­ ская системы координат, основными плоскостями в которых явля­ ются плоскость горизонта наблюдателя и плоскость экватора нашей Галактики. В каждой из этих систем можно использовать для опре­ деления положения небесных тел тройки чисел ж, у , 0 или Д, в, Л, ко­ торые связаны друг с другом посредством уравнений (1.21).

Вполне естественно для наблюдателя одну из осей системы коор­ динат связывать с выделенным направлением. На Земле сама при­ рода подсказывает наблюдателю два направления: одно совпадает с отвесной линией, или с силой притяжения Земли, второе —с осью вращения Земли. Плоскости, перпендикулярные этим направлени­ ям, являются основными плоскостями горизонтальной и экватори­ альной систем координат, соответственно.

В следующем параграфе мы определим эти системы и введем со­ ответствующие сферические координаты. Затем получим формулы для преобразования координат небесных тел от одной системы ко­ ординат к другой в случае, когда начала осей совпадают. Если систе­ мы отсчета движутся друг относительно друга, то строгое преобра­ зование координат выполняется с учетом формул общей теории от­ носительности.

Центр небесной сферы и, следовательно, начало систем коорди­ нат может быть расположено в любой точке пространства. В зависи­ мости от выбора начала различают следующие системы координат:

•топоцентрические, с началом в точке наблюдения на поверхно­ сти Земли;

•геоцентрические —в центре масс Земли;

•гелиоцентрические —в центре Солнца;

•барицентрические —в центре масс Солнечной системы.

При изучении движения космических аппаратов рассматривают­ ся объектоцентрические системы с началом в центре масс аппарата. Определение этих систем будет дано в следующей главе.

Термин «средний экватор» употребляется в астрометрии в том смысле, что эква­ тор смещается только вследствие прецессии.