книги / Сферическая астрономия
..pdfРы
Рис. 2.5. Галактическая система координат.
дикулярный линии, соединяющей полюсы, назовем галактическим экватором (рис. 2.5).
Определение 2.4.1. Большой круг, проходящий через звезду С и по люсы Галактики, называется кругом галактической широты.
Пусть точка А является точкой пересечения круга широты и га лактического экватора. Дуга АС называется галактической широ той звезды: АС = Ь. Галактические широты положительны в север ном и отрицательны в южном полушарии: -90° < Ь < 90°. Раньше галактические долготы I отсчитывались от восходящего узла то есть точки пересечения галактического и небесного экваторов, пря мое восхождение которой равнялось ~ 18ь40т . Сейчас начало отсче та долгот (точка В на рис. 2.5 —направление на центр Галактики)
определяется галактической долготой восходящего узла |
которая |
|
равна |
= 32°93192. Галактические долготы отсчитываются от 0° |
|
до 360° против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса Галактики.
Единичный вектор в направлении северного полюса Галактики обозначим к9, а вектор, направленный в центр Галактики —как 1д. Ось Ох галактической системы направим вдоль вектора \д, ось Ог — вдоль к д. Ось Оу определяется единичным вектором $д = \ид х \д.
Аналогичным образом (заданием тройки базисных векторов) мо гут быть определены любые другие системы координат.
После определения основных сферических систем координат рассмотрим методы, используемые для преобразования координат из одной системы в другую.
2.5.Преобразование координат из одной системы в другую
Данная задача уже упоминалась при рассмотрении горизонталь ной системы координат. Если система установки телескопа горизон тальная, то движение звезд в этой системе будет неравномерным. Для точного ведения телескопа за звездой требуется непрерывно пе ресчитывать экваториальные координаты звезды в горизонтальные.
Рассмотрим сначала классический метод и найдем выражения, связывающие экваториальные и горизонтальные координаты. Затем рассмотрим матричный метод, который значительно облегчает зада чу преобразования координат вектора из одной системы в другую.
Рис. 2.6. Связь горизонтальных и экваториальных координат.
Рассмотрим треугольник Р^7,С (рис. 2.6). Вершинами в этом треугольнике являются зенит, полюс мира и звезда С. Такой тре
угольник называется параллактическим. Согласно определениям координат имеем: дуга 2 С равна зенитному расстоянию г, дуга равна 90° - 8, дуга Р ^ 2 равна 90° - ф, двугранный угол 2 Р ^С — это часовой угол I, двугранный угол Р ^ 2 С равен 180° —А. Допу стим, что требуется найти зенитное расстояние и азимут источника по его сферическим координатам. По теореме косинусов, используя треугольник Рм 2 С, имеем:
со8 2 = соз(90о —<$)соз(90° —ф) + 8т(90° —Я)8т(90° —ф)со&1
или |
|
|
С08г = 81П 8 8111ф + С085С08(рС08I. |
(2.1) |
|
По теореме синусов получим: |
|
|
81П2 _ |
81п (9 0 ° —8) |
|
8т^ |
8т(180° —А) |
|
или |
|
|
81П г 81П А = С08881П ±. |
(2.2) |
|
По теореме подобия получим: |
|
|
81112 СО8(180°—А) = СО8(90°—(5)81п(90°—ф)—81п(90°--<$) СО8(90°—<^) С08I |
||
или |
|
|
8Й1 2 С08А — —81П 8С08ф + С0888111фС08I. |
(2.3) |
|
Из системы уравнений (2.1-2.3) можно однозначно определить г и А по координатам 8и1. Обратим внимание на необходимость исполь зования всех трех уравнений (2.1-2.3) для решения задачи. Так как азимут А входит в уравнения под знаком синуса и косинуса, то толь ко совместное решение уравнений (2.2-2.3) позволяет однозначно найти А.
Обратное преобразование (от г и А к 8 и I) записывается в виде:
С088 С08^ |
= |
С08г С08ф + 81П 2 81П фС08А , |
|
С08881П ^ |
= |
81П 2 81П А, |
(2.4) |
8Й1<$ |
= |
С08281П ф —81П 2 С08фС08А. |
|
Точно так же можно получить формулы, связывающие экватори альную систему координат с эклиптической, экваториальную с га лактической и т. д.
Однако более просто найти преобразование от одной системы ко ординат к другой системе с помощью матричных методов. Так как в дальнейшем мы будем использовать эти методы часто, рассмотрим их подробно.
Разложение вектора по тройке базисных векторов (I, к) было записано в виде (1.5):
Г = XI + ш + г к ,
где х ,у , 2 —проекции вектора г (1.3) на векторы I, к, соответствен но. Используя матричные обозначения, это выражение можно запи сать в виде:
= (> 3 к ) |
(2.5) |
|
где запись (1 з к) обозначает вектор-строку. Оставим обозначение ( 1 3 к) для базисной тройки векторов экваториальной системы. Ба зисные тройки векторов эклиптической и галактической системы координат обозначены в § 2.3 и 2.4 как (1е $е ке) и (\д ^ к^), соот ветственно.
Разложим радиус-вектор одного и того же небесного объекта по базисным тройкам экваториальной, эклиптической и галактической систем. Для этого используем формулу (1.21), в которой координа ты 0, Л заменяются на а, 6, или (3, Л, или Ь, I, и запишем матричное равенство (2.5) в виде:
(созбсо&а' |
С08 /3С08 Л |
|
г = |
С08 6 81П а |
С08 (381П Л |
\ |
8111(5 |
. 8'т Р . |
|
( С08 ЬС08 I |
|
|
С08 Ь81П I |
( 2.6) |
|
^ 81ПI |
|
Чтобы найти преобразование от одной системы координат к дру гой, надо найти матрицу поворота от одной базисной тройки к дру
гой. Например, найдем преобразование от экваториальной к эклип тической системе. Тогда
/ сов 6совам |
|
|
|
(сов /3 сов |
|||
(1 ^ к ) |
СОВ 6 81П а 1 = |
^1е |
|
к е) |
СОВ /3 81П А |
||
\ |
81П 6 |
|
|
|
^ |
вт/З |
|
Умножим обе части уравнения на |
^ |
к) |
т |
|
|||
слева, индекс т |
|||||||
|
, |
^ |
Ч* |
= |
( ‘) |
. В результате по |
|
обозначает транспонирование, и |
к) |
М |
|||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
сов 6сов а |
1 \ |
(и |
|
|
/ СОВ /3 СОВ А ' |
|
3 |
сов 6вт а |
3 I |
Зе |
ке) |
сов/3вт А . |
||
|
> 81П(5 |
к / |
|
|
|
\ |
вт/З |
По определению скалярного произведения и правилу умножения матриц имеем:
м
п • |
II |
II |
к /
/ 1 |
0 |
0 |
О |
1 |
0 |
|
||
\ 0 |
0 |
1 |
где I —единичная матрица.
В итоге, преобразование от эклиптической к экваториальной си стеме можно записать следующим образом:
г собесов ом |
(сов/3сов А > |
|
СОВ 6 81П а |
сов/3вт А |
(2.7) |
8Ш<$ |
вт/З |
|
где |
|
|
Ае = |
(»е Зе ке) . |
|
Вычислим матрицу Ае в явном виде, используя рис. 2.7. В обе-
Рис. 2.7. Расположение осей экваториальной и эклиптической систем коор динат.
их системах ось Ох направлена в точку весеннего равноденствия Т. Поэтому направление векторов 1 и \е совпадает. Оси Ог и Ог' на правлены соответственно в полюс мира Рлг и полюс эклиптики Щг. Следовательно угол между векторами к и ке равен е. Угол между векторами $ и $е также равен е. Используя определение скалярного произведения, получим:
|
1 |
|
1 |
к е \ |
/1 |
|
0 |
|
|
Ае = |
3 |
1е 3 |
Зе .1 |
= |
0 |
|
соае |
|
|
|
к е 1 |
|
|
О |
|
(П |
|||
|
к 1е к ] е к к е/ |
|
8 ся |
1 |
|||||
|
|
0 |
|||||||
|
Н-1 |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
соз с |
— зте |
1 . |
|
|
|
|
|
|
0 |
зте |
соз с / |
|
|
|
|
|
|
0 |
\ |
соз(90° + е ) |
I = |
СОЗ€ |
) |
|
(2.8) |
Уравнения (2.7) и (2.8) однозначно определяют связь между дву мя системами координат и удобны при вычислении на компьютере. Тем не менее, приведем преобразование (2.7) в явном виде:
сов 6сов а |
= соз /3соз А, |
(2.9) |
С086 81Па |
= СОЗ/3 81ПА С08Е —81П /? 81П6Г, |
(2.10) |
81П6 |
= С08 /3 81ПА 81ПЕ + 81П /3 С08Е. |
(2.11) |
Используя матричную запись (2.7) легко найти обратное преобразо вание от экваториальной к эклиптической системе координат. Для этого умножим уравнение (2.7) слева на матрицу, обратную А е, т. е. на А ~г:
соз 6 соз а |
(соз (3С0 8 Л |
|
СОЗ 6 81П а |
С08/381П Л |
( 2.12) |
( |
^ 81П/3 |
, |
,
Матрица А е обладает специальными свойствами. Нетрудно прове рить, что А ^ А е = А еАе = /, т. е. А^ = А~г. Подобные матрицы на зываются ортогональными. Преобразование (2.12) имеет, таким об разом, вид:
(соз /3соз А >
С08 /3 81П Л = а 1
81П/3
0 |
|
1 |
/ С 08 6 С 08 ОС |
|
|
с о в е |
° |
I |
С 0 8 # 8 1 П а |
(2.13) |
|
я п е |
I |
||||
— 81П6: |
СОВЕ/ |
\ |
81П($ |
|
|
Матрица А^ описывает преобразование от экваториальной си стемы к эклиптической. Вращение на угол е для совмещения осей Оу и Ог с осями Оу' и Ог1, соответственно, называется правым, так как при этом движение воображаемого правого винта совпадает с на правлением оси Ох. Матрица А^, поэтому, описывает правое враще ние относительно оси Ох.
В явном виде из (2.13) получим:
С08 (3 соз Л = С08 6 соз а
С08 (381П Л = СОЗ 6 81П Ос С08 Е + 81П 681П Е |
(2.14) |
81П /? = — С08 6 81П Ос 81П Е -|- 81П 6 СОВЕ.
Аналогично могут быть получены матрицы вращений относи тельно осей Оу и Ог. Для сохранения общности изложения обозна-
чим матрицы поворотов относительно осей Ох, Оу, Ог на угол фкак Д1 (ф), К2{Ф), Кз(Ф) соответственно, причем
(\ |
О |
о |
(сОЗф |
0 |
—81П <А |
Кг(ф) = О |
СОВ ф |
8Н1 ф \ Ы Ф ) = |
0 |
1 |
со0зф )г |
\0 |
— 81П ф |
С08 ф^ |
у81П ф |
0 |
С08 ф |
81П ф |
О |
|
я3(Ф) = — 81П ф |
С08 ф |
О |
(2.15) |
О |
0 |
1 |
|
Матрица А е (2.8) равна, следовательно, Дх(-е:), т. е. для перехода от эклиптической к экваториальной системе необходимо повернуть оси эклиптической системы относительно оси Ох (Ох') на угол —е.
С помощью матриц (2.15) можно вычислить любую матрицу, описывающую вращение в трехмерном пространстве.
Рассмотрим две декартовы системы координат: Охуг и Ох'т/г' (рис. 2.8). Найдем матрицу преобразования К координат вектора из
Рис. 2.8. Определение углов Эйлера.
системы Охуг к системе О х '^ г'. Для этого сначала повернем систе му Охуг относительно оси Ог на угол Ф (до совмещения оси Ох с линией узлов 0$1). Вращение относительно линии узлов (которая теперь совпадает с осью Ох) на угол © приведет к совмещению оси Ог с осью Ог'. И, наконец, поворот относительно оси Ог' на угол Ф переводит ось Ох в положение Ох' (Оу в Оу[ соответственно). Все повороты —положительны.
Углы Ф, 0, Ф называются углами Эйлера. Три угла Эйлера одно значно определяют поворот одной системы координат относительно другой. Эти углы имеют собственные названия. Если оси Ох, Оу ле жат в плоскости эклиптики, то угол Ф называется углом прецессии, угол © —углом нутацищ а угол Ф —углом собственного вращения.
Матрица вращения К равна произведению трех матриц (обрати те внимание на порядок перемножения и последовательность вра щений):
К = |
Яз(Ф)Я1(0)Дз(Ф) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
СОЗ Ф |
81П Ф |
Л |
0 |
° |
^ |
/ |
СОЗ Ф |
зт Ф |
|
|
|
|
° \ |
|
|
I *I — зтФ |
СОЗ Ф |
|
|||
|
|
— 81П Ф |
СОЗ Ф ° Г |
0 |
СО8 0 |
3 1 П © |
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
1° |
— 8 1 П © |
СОЗ © |
/ ( |
» |
0 |
|
|
или К = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
СОЗ Ф С08 Ф — 81П Ф С08 © 81П Ф |
|
СОЗ Ф 81П Ф + 81П Ф С08 © |
С08 Ф |
81П Ф 8И1 © |
\ |
|||||
—81П Ф СОЗ Ф —С08 Ф 008 © 81П Ф |
—81П Ф 81П Ф + С08 ФС08 © С08 Ф |
С08 Ф 81П © |
I |
||||||||
|
81П © 8111 Ф |
|
— 81П © СОЗ Ф |
|
С08 © / |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2.16) |
|
С помощью матричного метода легко найти матрицу преобразо вания экваториальных координат (а, (5) к галактическим координа там (1,Ь) (рис. 2.5).
Из уравнения (2.6) имеем:
(созЬсоз/ |
1 1 д \ |
/ СОЗ 6 С08 |
С08 Ь81П I |
Зд I (1 3 ^ |
I С08 6 81П СИ |
{ 8Й1Ь |
\к д / |
\ |
Напомним, что орт 1 направлен в точку весеннего равноденствия Т, 3 —в точку с прямым восхождением, равным 90°, и к —в северный полюс мира. Согласно определению вектор \д направлен в центр Га лактики, кд — в северный полюс См (§ 2.4).
Матрица
3 к) |
(217) |
является искомой матрицей преобразования.
Довольно трудно вычислить скалярные произведения гд г, \д $ и т. д. непосредственно. Поэтому вычислим матрицу (2.17), соот ветствующую переходу от экваториальной системы к галактической следующим образом (см. рис. 2.5): выполним первое вращение от носительно оси мира на угол а ^ (прямое восхождение точки $7), т. е. вычисляем матрицу Я з(а^), затем выполняем вращение от носительно линии узлов на угол 90° —6ам и вычисляем матрицу Й1(90° —6 о где 6о„ — склонение северного галактического по люса. Третий поворот —это поворот относительно оси, соединяю щей северный и южный полюса Галактики, на угол —1^. В результа те матрица Ао записывается в виде:
|
А0 = Я3Н Л ) • (90° - 8о„) • Я3(с^ ). |
Заметим, что |
= аоц + 90°, аа„ —прямое восхождение северно |
го галактического полюса. Это следует из того, что двугранный угол С?лг<РлгЛ равен 90°. Заменяя символ ф в (2.15) на соответствующие углы, получим: Ао =
соз1а |
-з т 1 й |
0 |
соз1п 0
0 0 1
1 |
0 |
|
|
( |
соваа |
|
0 |
81П 6а |
со |
0 |
I |
- з т а й |
созаа |
|
— сое 5а |
|
з 6а |
|
||
0 |
81П 6а I \ |
0 |
0 |
|||
(2.18)
Подставив значения углов и вычислив произведение матриц, полу чим: Ао =
-0,0548755601367195 |
-0,8734370902532698 |
-0,4838350155472244 \ |
(+0,4941094280132430 |
-0,4448296298016944 |
+0,7469822445004389 I . |
-0,8676661489582886 |
-0,1980763737056720 |
+0,4559837761713720 ) |
(2.19) Обратное преобразование (от галактической к экваториальной
системе координат) выражается матричным уравнением: |
|
||
г сов 6 сов а |
— л о |
С08 ЬС08 I |
(2.20) |
С08 6 81П а |
С08 Ь81П I |
||
|
А ~ 1 |
|
|
81П 6 |
|
81П Ь |
|
Так как матрица Ао —ортогональная, то А С1 = А
В заключение используем матричный метод для вычисления матрицы преобразования от горизонтальной (г, А) к экваториаль ной системе координат (2, <$) (рис. 2.3 и 2.6). Для этого достаточно