книги / Сферическая астрономия

Поверхности, определяемые уравнениями IV = сопз!, называют­ ся эквипотенциальными, или уровенными. Применительно к Земле, одна из них, соответствующая среднему уровню моря в отсутствии волн, течений и приливных возмущений из-за воздействия Луны и Солнца, является геоидом. Строгое определение геоида при учете приливных деформаций дается в §3.5. Понятие «средний уровень моря» — условное; поэтому в «Стандартах МСВЗ» геоид определен числовым значением потенциала IV.

Линии, которые ортогональны к уровенным поверхностям, назы­ ваются силовыми линиями. В общем случае они не являются пря­ мыми линиями, а слегка искривлены. Вектор силы тяжести направ­ лен по касательной к силовой линии и определяет направление от­ весной линии.

Введем единичный вектор п, так что

то есть вектор п направлен вверх (в зенит).

Тогда угол между направлением отвесной линии в точке Р, или вектором п, и плоскостью экватора Земли называется астрономи­ ческой широтой точки Р. Проведем теперь через точку Р линию, па­ раллельную оси вращения Земли. Эта линия и отвесная линия в точ­ ке Р определяют плоскость меридиана, которая проходит через Р. Двугранный угол между плоскостями меридианов Гринвича и точ­ ки Р называется астрономической долготой точки Р.

Если астрономическая широта точки Р равна (ру астрономиче­ ская долгота равна Л, то вектор п имеет компоненты:

Тогда из выражений (3.7), (3.8), (3.9) получим:

= —д собесов А,

И'* = -дзт<р,

где д = |&|. Эти уравнения связывают прямоугольные координаты х, у, г точки Р, от которых зависит потенциал IV (3.6), и астрономи­ ческие координаты <р, А.

Дифференцируя потенциал силы тяжести ТУ = ТУ(х, у, г), полу­

чим

ЭТУ^ ЭТУ, ЭТУ,

ш= зГь + аГ'!'+"&‘'г

или в векторном виде:

где Зг — (Зх, Зу, йг).

Предположим, что мы поднимаемся по силовой линии от уровенной поверхности ТУо, совпадающей с уровнем моря, до поверх­ ности ТУ, проходящей через точку Р, на высоту Н. Высота Н точки Р, измеряемая вдоль силовой линии, начиная от геоида, называется ортометрической высотой. Если вектор Зтнаправлен вдоль силовой линии в направлении увеличения высоты Н , то его длина

\3г\ = ЗН,

а направление противоположно §. Следовательно, § • Зг = —дЗН и уравнение (3.11) принимает вид:

Уравнение (3.12) связывает высоту Н и потенциал ТУ:

н _ _ с™ ЛГУ

Интеграл вычисляется вдоль силовой линии, начиная от геоида (Н = О, ТУ = ТУо), до точки Р, через которую проходит уровенная поверхность ТУ.

3.2. Уравнение геоида

По определению, в каждой точке геоида сила тяжести направле­ на по нормали к поверхности, то есть по касательной к силовой ли­ нии. Геоид не имеет простой геометрической формы, однако бли­ зок к эллипсоиду вращения. Поэтому для изучения фигуры Земли вводят референц-эллипсоиды, аппроксимирующие геоид в некото­ рой области ее поверхности с той или иной точностью, или средний

где г' —расстояние от точки А до точки Р, ф —угол между отрез­ ками ОА и ОР. Найдем разложение знаменателя по степеням 1 /г до членов третьего порядка, предполагая, что 5 = ( ^ ) 2 —2 (^)со зф:

Традиционное представление потенциала V имеет вид:

п=0

где Рп(со8 ^) —полиномы Лежандра (см. приложение С.6). Индекс п называется степенью полинома Лежандра, причем

3 1

Р о ( С 0 8 '0 ) = 1 , Р [ (С 08 '0 ) = 0 0 8 '0 , Р 2 (с О З /ф ) = — С 082 ф —

& Л»

Чтобы найти потенциал в точке Р от всех точек тела, проинте­ грируем (3.13) по всему объему тела, используя разложение (3.14):

Первый член соответствует потенциалу расположенной в начале координат О точки с массой М = ЛМ. Второй член равен нулю, так как начало координат совпадает с центром масс тела. Это легко доказать. В самом деле, центр масс тела — это точка О, радиус-вектор которой относительно некоторой системы координат равен:

г° = Ь Ш ы м ’

где г — радиус-вектор элемента массы <1М. Если центр масс тела совпадает с началом системы координат, то го = 0 , следовательно

где 17с — центробежный потенциал. Запишем его в виде:

Так как геоид определяется как поверхность постоянного потенци­ ала, приравняем потенциалы на полюсе и экваторе Земли, учиты­

Определяя геометрическое сжатие эллипсоида как / = (а - с)/а и замечая, что второй член в скобках имеет величину порядка 10_3,

Чтобы найти уравнение поверхности геоида, перепишем форму­

д —отношение центростремительного ускорения к ускорению силы притяжения на экваторе д'е. Так как на поверхности геоида величи­ на потенциала IV постоянна, приравняем его потенциалу на эквато­ ре (г = а, в = 90°):

Для теории 1АШ000 Я = О,0032737875 ± 5 • 1(Г10 = 1/305,4566. Используя определения параметров ^ и Я, найдем полярный момент инерции Земли:

С = ^яМ а 2 и 0,330698М а2.

Так как моменты инерции определяются плотностью вещества внут­ ри тела, то вычисленное на основе наблюдений значение полярного момента инерции Земли С представляет одно из основных условий, которым должно удовлетворять радиальное распределение плотно­ сти внутри Земли. Момент инерции Земли С меньше момента инер­ ции однородного шара, для которого численный множитель равен 0,4, и, следовательно, плотность вещества внутри Земли должна уве­ личиваться к центру Земли.

Найдем теперь ускорение силы тяжести д на геоиде. Для этого достаточно продифференцировать полный геопотенциал (3.19). Так как § = §гас! IV, то с учетом (3.3) найдем, что модуль § равен:

Второй член имеет величину порядка е2 (3.21). Поэтому с точностью до е, получим:

!9т =д\Удг

На поверхности геоида выполняется равенство: г = а(1 —есоз2 в). Поэтому, сохраняя лишь члены порядка 10"“3, получим:

Знак минус в формуле (3.24) подчеркивает тот факт, что радиаль­ ная компонента § направлена в сторону, противоположную направ­ лению единичного вектора 1г. В соответствии с принятыми значени­ ями постоянных (см. табл. 8.2) де = 9,7803278 ± 1 • 10”6 м • с~2.