книги / Сферическая астрономия

сое Е и сложим результат. После приведения подобных членов по­ лучим:

гзт (у - Е) = а € т Е см Е {у/1 —е2 - 1) + аезт Е.

Разлагая \/1 —е2 в ряд и деля обе части уравнения на г, находим, что

При е 1 можно разложить знаменатель в ряд по степеням е, затем (так как V — Е равно арксинусу малого угла, пропорционального е) разложить арксинус. Сохраняя члены до е2, получим:

Выразим теперь зш Е 1зш 2Е через М, используя ряд (2.67). Имеем

81П Е = 81п(М + е 81П М + — 81П 2 М ):

После простых тригонометрических преобразований находим, что

Аналогично находим, что

8Ш 2Е = з т 2М + е(—з т М + з т ЗМ).

Подставив в ряд (2.68) разложения (2.67), з т Е>з т 2Е как функции М, после приведения подобных членов получим уравнение, называ­ емое уравнением центра:

В заключение этого раздела рассмотрим движение Земли по ор­ бите.

1) Центр Земли движется относительно центра масс системы Земля+Луна. Последний находится на линии, соединяющей центры

1x10 —

X, км

Рис. 2.17. Движение Солнца относительно барицентра Солнечной системы в эклиптической системе координат на интервале времени 1900 —2000 г г .

Промежуток между точками равен одному году.

виде следующим образом. Необходимо найти положение небесно­ го тела, которое будет задано вектором г(^) относительно барицен­ тра Солнечной системы как функцию времени, которое измеряется в этой же системе. Так как наблюдения проводятся в геоцентриче­ ской системе, движущейся со скоростью V относительно барицен­ тра, то радиус-вектор небесного тела в геоцентрической системе изза лоренцева сокращения равен г'(г'). Положение тела измеряется как функция земного времени Ь' .

Таким образом, преобразование координат включает перенос осей, лоренцево сокращение радиусов-векторов и времени, а также изменение скорости течения времени из-за изменения гравитацион­ ного потенциала в точке расположения часов. Определение динами­ ческих шкал земного и барицентрического времени будет подробно рассмотрено в главе 4.

Положение и скорость центра Земли относительно барицентра Солнечной системы вычисляется на основе эфемерид. Как говори­ лось выше, в настоящее время широко используются эфемериды Ла-

боратории реактивного движения БЕ200, БЕ403 и БЕ405. Основ­ ное отличие между ними заключается в том, что в более поздних вер­ сиях были уточнены массы планет, учтены массы некоторых асте­ роидов и использованы разные шкалы барицентрического времени. Массы планет уточнены на основе измерений траекторий космиче­ ских аппаратов.

Если система материальных тел состоит из N точек с массами га*, г — 1,2,..., ЛГ, то положение ее центра масс определяется относи­ тельно заданной системы координат радиусом-вектором гоРадиусвектор центра масс N материальных точек есть по определению:

Радиусы-векторы каждой из точек г* (г = 1,2,..., ЛГ) и го определе­ ны в заданной системы координат. Если начало этой системы коор­ динат помещается в центр масс, то, очевидно, го = 0 и

N

г=1чпц - 0.

Пусть векторы положения и скорости центра Земли относитель­ но барицентра Солнечной системы равны К 0 , У 0 , а геоцентриче­ ские радиусы-векторы и векторы скорости Солнца, Луны, планет, астероидов равны К.#*, V#*. Тогда легко показать, что:

NN

К0 = Х : ГПгКЕг/ ^ 2

У 0 = ^ т Л ^ / ^ т * .

Изменение масс планет и астероидов приводит к изменению ко­ ординат и скорости центра Земли относительно барицентра Солнеч­ ной системы. С помощью РСДБ наблюдений космических аппара­ тов, радиолокации планет эфемериды БЕ403, БЕ405 согласованы с системой 1СК5, тогда как оси системы, задаваемой эфемеридами БЕ200, повернуты на несколько миллисекунд дуги.

Глава 3

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ЗЕМЛЕ

При определении небесной сферы указывалось, что центром сфе­ ры является глаз наблюдателя. Небесная сфера с центром на поверх­ ности Земли называется топоцентрической. Если гипотетического наблюдателя поместить в центр Земли, то такая система координат называется геоцентрической, если в центр Солнца, то гелиоцентри­ ческой и, если центр небесной сферы помещен в центр тяжести Сол­ нечной системы, то барицентрической.

При перемещении наблюдателя по поверхности Земли меняется положение центра сферы, следовательно, координаты небесных тел также будут меняться. Для того, чтобы сравнить положения небес­ ных тел, полученных наблюдателями с разных точек на поверхности Земли, нужно привести эти положения к одной системе координат. Так как принятая МАС система 1СК5 имеет начало в барицентре Солнечной системы, то преобразование координат небесных тел из топоцентрической в барицентрическую систему и обратно является одной из основных задач сферической астрономии. При этом необ­ ходимо учесть разное течение времени в разных системах и, прежде всего, определить используемые шкалы времени (глава 4).

Каждая из точек (центр Земли, центр Солнца или барицентр Солнечной системы) может быть началом экваториальной, эклип­ тической, галактической и других систем координат. Преобразова­ ние координат небесного тела между различными системами вы­ полняется в два этапа: сначала с помощью вращений координатные

оси одной из систем поворачиваются таким образом, чтобы они ста­ ли параллельны осям второй системы (метод вычисления матрицы вращения изложен в предыдущей главе). На втором этапе учиты­ вается перенос начала системы, изменение координат и промежут­ ков времени из-за эффектов общей теории относительности. Кроме этого должно быть учтено изменение положений небесных тел при переходе от одной системы координат к другой, возникающее из-за собственного движения тел, параллактического смещения и других причин. Видимые координаты небесных тел предварительно долж­ ны быть исправлены за рефракцию. В связи с увеличением точно­ сти наблюдений аберрацию следует вычислять с учетом членов вто­ рого порядка малости; также необходимо учитывать отклонение лу­ чей в поле тяжести Солнца, планет. Эти эффекты будут обсуждаться в главе 5.

Для чего вводится такое большое число систем отсчета? Выше уже говорилось, что необходима лишь одна система, к которой необ­ ходимо привести все наблюдения небесных тел для изучения их дви­ жения. Напомним, что в настоящее время — это Международная небесная система отсчета (1СКЗ).

В течение ~ 2000 лет такой системой была геоцентрическая си­ стема, которая была построена Птолемеем. Из-за вращения Земли она не была инерциальной. Переход от геоцентрической системы к гелиоцентрической системе Коперника привел не только к откры­ тию законов обращения планет Кеплером и закона тяготения Нью­ тоном. Гелиоцентрическая система была первой инерциальной (точ­ нее квазиинерциальной) системой отсчета в астрономии, в которой выполняются законы Ньютона.

Переход от гелиоцентрической системы отсчета к барицентриче­ ской системе, оси которой были фиксированы по отношению к звез­ дам, а с 1998 г. по отношению к внегалактическим компактным ра­ диоисточникам, отражает прогресс методов наблюдений. Появление и развитие радиоинтерферометрии со сверхдлинными базами, осу­ ществление проекта ГИППАРКОС привели к значительному уве­ личению точности практической реализации инерциальной систе­ мы координат.

Таким образом, чтобы преобразовать наблюдения к барицентри­ ческой системе отсчета, необходимо: 1) знать положение наблюда­ теля и ход часов относительно центра Земли; 2) определить ориен­

тацию геоцентрической системы координат относительно барицен­ трической системы; 3) вычислить положение центра Земли относи­ тельно барицентра Солнечной системы и преобразовать показания часов к барицентрической системе.

Каждая из этих задач решается различными методами. Для ре­ шения первой задачи надо установить систему координат на Земле. Это делается методами геодезии. Мгновенная ось вращения Земли изменяет свое положение и в теле планеты, и в пространстве. Изуче­ нием вращения Земли занимается Международная служба враще­ ния Земли и систем отсчета. Наконец, положение центра Земли от­ носительно барицентра Солнечной системы можно определить ме­ тодами небесной механики. Все эти проблемы тесно связаны.

В следующих параграфах мы рассмотрим вопросы, связанные с определением и построением земной системы координат.

3.1. Основные параметры Земли

Для определения положения наблюдателя нам понадобятся све­ дения о фигуре Земли.

Земля не является идеальной сферой. Из-за вращения Земля сплюснута у полюсов, кроме этого высоты точек, расположенных в материковых областях, изменяются в пределах нескольких кило­ метров над уровнем моря. Для удобства работы желательно предста­ вить реальную сложную физическую поверхность Земли достаточ­ но простой математической фигурой. В качестве фигур, аппрокси­ мирующих поверхность Земли, выбирают геоид и эллипсоид враще­ ния. С геоидом связана система астрономических координат, с эл­ липсоидом —система геодезических координат. Эллипсоидом вра­ щения называется фигура, получаемая вращением эллипса относи­ тельно его малой оси. Зная координаты точек на эллипсоиде, можно легко вычислить их взаимные расстояния и азимуты. Точность вы­ числения ограничена лишь ошибками измерения координат точек.

Если бы вся поверхность Земли была покрыта океаном, то при отсутствии волн, а также приливного воздействия Луны и Солнца, поверхность океана представляла бы собой геоид. Геоид — это по­ верхность, всюду нормальная к силе тяжести.

Для вывода приближенной формулы, описывающей эту поверх­ ность, используем понятие потенциала.

Согласно закону притяжения Ньютона две материальные точки с массами гаь т ъ расстояние между которыми равно г, притягива­ ются друг к другу с силой

Р = С 77117712

где С — постоянная тяготения. Хотя каждая из точек притягивает другую с одинаковой силой, удобно назвать одну из них притягива­ ющей, другую — притягиваемой массой. Если положить, что масса притягивающей точки равна 7711 = М, а масса притягиваемой точки равна единице (7712 = 1), то формула

„СМ

выражает силу притяжения точки с массой М другой точки с еди­ ничной массой, расположенной на расстоянии г.

Определим скалярную функцию для нашей системы двух точек с массами т \ = М и 7712 = 1:

СМ

(3.1)

г ’

которая называется силовой функцией или гравитационным по­ тенциалом. Заметим, что в физике потенциалом обычно называют функцию — II. Эта функция характеризует потенциальную энергию поля. В случае гравитационного притяжения двух тел потенциаль­ ная энергия пропорциональна массам тел и обратно пропорциональ­ на расстоянию между ними.

По определению силовая функция зависит только от масс точек и взаимного расстояния между ними и, следовательно, не зависит от выбора системы координат. Функция II положительна всюду, за исключением случая, когда расстояние между точками становится бесконечно большим (II = 0 при г = оо). Наоборот, силовая функ­ ция обращается в бесконечность при г = 0, т. е. при столкновении материальных точек1.

Уравнения (2.28) описывают движение точки Р2 с массой ттгг, прямоугольные координаты которой равны х<ъ,2/2 , 2 2 >под действием*

*Во многих учебниках и монографиях по астрономии, гравиметрии используются термины «потенциал силы тяжести» или «гравитационный потенциал», под которы­ ми понимается силовая функция (3.1). В дальнейшем мы также под гравитационным потенциалом будем понимать силовую функцию 17.

силы притяжения Гг (рис. 2.12). При тт — М и т 2 — I получим, что компоненты силы Гг равны:

а в сферических координатах (г, 0, Л), где г —расстояние, 0 —поляр­ ное расстояние, Л —долгота (1.21) имеет вид:

причем единичные векторы 1Г, 1$, 1д направлены в сторону возраста­ ния координат И 1 г X 10 = 1 д .

Иными словами, вектор силы притяжения Гг есть градиент ска­ лярной функции —гравитационного потенциала У.

Если система состоит из N материальных точек тль гаг,..., тм> то потенциал системы равен сумме вкладов от каждой точки (3.1):

Это выражение легко обобщить на случай непрерывного распреде­ ления материальных точек внутри некоторого объема V. Тогда сум­ ма (3.4) может быть записана в виде интеграла

где г — расстояние от элемента массы йМ до притягиваемой этим элементом точки Р.

Если материальная точка находится на поверхности вращающе­ гося тела, то помимо силы притяжения на точку действует центро­ бежная сила. Свяжем с телом правую систему координат, начало ко­ торой О поместим в центр масс тела, ось Ох направим по его оси вра­ щения, а оси Ох, Оу расположим в плоскости экватора. Тогда цен­ тробежная сила, действующая на материальную точку с единичной массой, равна:

Рс = П2^/х * + у 2,

где О —угловая скорость вращения тела. Вектор центробежной си­ лы Гс параллелен плоскости экватора и имеет компоненты:

Г с = (Л2ж,П22/, 0).

Следовательно, потенциал Лс центробежной силы равен:

Общая сила, действующая на материальную точку, равна сумме силы притяжения и центробежной силы. Она называется силой тя­ жести. Если точка Р находится на поверхности вращающегося тела, то потенциал силы тяжести IV в точке Р:

Вектор силы тяжести & есть градиент IV:

Ж дИЛ

(3.7)

ду ’ дг )