книги / Сферическая астрономия

Для измерения углов используются также часы, причем (1Ь) — это центральный угол, соответствующий 1/24 части окружности. В одном часе содержится 60 минут или 3600 секунд (1 ь = 60т = 36008). Очевидно, что 1ь = 15°, 1 т = 15', I8 = 15".

Рассмотрим теперь три точки, которые лежат на сфере и не при­ надлежат одному большому кругу. Через каждую пару точек можно провести большие круги (рис. 1 .2 ).

Определение 1.1.4. Сферическим треугольником называется фигу­ ра, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попар­ но соединяющих три точки.

Примерами сферических треугольников могут быть треугольни­ ки А В Р , А В 2 (рис. 1.1) и АВС (рис. 1.2).

Обычно углы сферического треугольника обозначают больши­ ми буквами, например Л, В, С, а стороны, противолежащие углам — соответствующими малыми буквами: АВ = с, ВС = а, АС = 6 (рис. 1.2). Как и в планиметрии, в сферической геометрии суще­ ствуют определенные соотношения между сторонами и углами тре­ угольников. Основные формулы, связывающие углы и стороны тре­ угольника, будут выведены в следующем параграфе. Здесь отметим лишь следующие свойства сферических треугольников. Углы А и В в треугольнике А В Р (рис. 1.1) - прямые, так как большие круги,

проходящие через точки Р, А, 7, и Р, Р, 2Г, перпендикулярны плоско­ сти АОВ. Поэтому, поскольку угол ^ > 0 , сумма углов сферическо­ го треугольника может превышать 180°. Теперь проведем плоскость через точки А , Р, С (рис. 1.2), лежащие на сфере, и параллельно ей плоскость, которая проходит через центр сферы. Очевидно, что вто­ рая плоскость поделит сферу на две полусферы, причем треуголь­ ник АВС будет полностью лежать в одной из полусфер. Таким обра­ зом, любой из углов сферического треугольника будет меньше 180°. В пределе (при увеличении каждого из углов до 180°) сферический треугольник трансформируется в полусферу.

Следующие свойства сферического треугольника аналогичны свойствам плоского треугольника:

а) в каждом сферическом треугольнике против ббльшего угла лежит ббльшая сторона; б) сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Найдем площадь сферического треугольника. Для этого рассмот­ рим треугольник АВС (рис. 1.3). Обозначим его площадь через 5.

Рис. 1.3. Вычисление площади сферического треугольника.

Плоскость А В М А 'В Ш делит сферу на две полусферы, в одной из которых и расположен треугольник АВС. Площадь полусферы рав­ на 2п Д2, если радиус сферы равен К. На рис. 1.3 площадь ближ­ ней к нам полусферы складывается из площадей следующих фигур: сегмента сферы А В М А 'С А , сегмента ВС В'М АВ минус треуголь­

ник А В С , сегмента СА*С 'В'С минус треугольник А 'В 'С 1. Если уг­ лы треугольника АВС измеряются в радианах, то площадь каждого из указанных сегментов равна 2А й2, 2В К2, 2 СК2Усоответственно. Треугольник А!В*С' равновелик заданному треугольнику АВС. По­ этому можно написать уравнение:

2тгК2 = 2АК 2 + 2ВД2 - 5 + 2СД2 - 5.

Отсюда площадь сферического треугольника АВС равна

3 = К2(А + В + С - тг),

где углы А, В, С выражены в радианах.

Определим теперь площадь всей небесной сферы, которую удоб­ но выразить в квадратных градусах. Для этого сначала выразим ра­ диус сферы в градусах: К = 360°/27г. Тогда площадь всей сферы бу­ дет равна

1.2.Скаляры, векторы, тензоры и системы координат

Прежде чем выводить основные формулы сферической геомет­ рии, рассмотрим более общий вопрос: об определении скалярных, векторных и тензорных величин в математике и физике и их связи с системами координат.

Многие физические законы в векторной форме имеют вид:

т. е. вектор а пропорционален с коэффициентом Л вектору Ь. В каче­ стве примера можно привести закон Ньютона: Р = т а —ускорение а тела пропорционально действующей на него силе Р. Коэффициент пропорциональности равен массе га тела. Согласно (1.1) вектор а па­ раллелен вектору Ь, если Л > 0 , и антипараллелен, если Л < 0 .

Введем систему координат с началом в точке О и осями Ох, Оу, Ох. Направления осей задаются векторами 1^,к, соответствен­ но, причем длина каждого вектора считается равной единице. По­ этому они называются единичными векторами. Система координат

Охуг является прямоугольной (декартовой), если векторы 1,^ к вза­ имно перпендикулярны.

Определение 1.2.1. Скалярным произведением а • Ь двух векторов а и Ь называется скаляр, равный произведению модулей векторов на косинус угла 7 между ними:

Скалярное произведение векторов обозначается точкой (•), ре­ зультатом его является скаляр, т. е. величина, характеризуемая толь­ ко числовым значением. Скалярами, например, являются масса, температура, давление, длина и т. д.

Пусть в системе Охуг векторы а, Ь имеют компоненты (декар­ товы координаты) а1 , а2 »«з и 6 1 , 6 2 , 6 3 , причем Ь\ —это проекции векторов на ось Ох, а2 , Ъч —на ось Оу, аз,Ъз —на ось Ог. Тогда мо­ дули векторов а и Ь равны

Из свойств скалярного произведения выделим следующие:

а • Ъ = Ъ • а, а • (Ь + с) = а • Ь + а • с, ((За) • Ь = (3(а • Ъ), (1.4)

где (3 — скаляр.

Из определения скалярного произведения следует, что оно равно произведению модуля одного вектора на величину проекции друго­ го вектора на первый. Пусть <р\ , <^з —углы между вектором и ося­ ми системы координат (единичными векторами 1 к), соответствен­ но. Используя определение скалярного произведения, находим, что проекции вектора а на оси системы координат Охуг равны

ах = |а| соз</?1 , а2 = |а| со8 <^2 > аз = |а| сое да.

Косинусы углов между вектором и осями системы координат назы­ ваются направляющими косинусами. Используя определение модуля вектора (1.3), получим, что сумма квадратов направляющих косину­ сов равна единице:

Так как |1| = |д| = |к| = 1 , то проекции вектора на оси координат равны также:

а\ = а 1, а2 = а ^ а3 = а • к.

Если в формуле (1.2) 7 = 90°, то с = 0 . Значит два вектора пер­ пендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведе­ ние равно нулю. Используя это свойство, получим:

В линейной алгебре выражение (1.5) называется разложением век­ тора а по базисным векторам 1, к. Тогда скалярное произведение в декартовых координатах имеет вид:

а Ь = (ах 1 + а2л + а3 к)(Ь11 + Ь2д + 6 3 к) = а1 6 1 + а2 Ь2 + а3Ь3. (1.6)

Так как в дальнейшем мы будем использовать матричные мето­ ды вычислений, то следует использовать более общее определение скалярного произведения. Определим матрицу С как таблицу

скаляров с^*, г = 1,2,..., га, 3 — 1,2,..., п. Элементы называют­ ся элементами прямоугольной матрицы С размером га х п, га есть число строк, п — число столбцов матрицы. Матрица размера га х 1 называется вектор-столбцом, а матрица размера 1 х га — векторстрокой; число га называется размерностью вектора.

Согласно определению, произведение матрицы А размера т х п на матрицу В размера п х к есть матрица С размера т х купричем элементы матрицы С определяются формулой:

г-ой строки матрицы А на элементы ^'-ого столбца матрицы В. Чис­ ло столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В. Поэтому обратное произведение В А может не существовать. Если обе матрицы квадратные (т = п), то произведение В А определено, но в общем случае В А ф А В .

Исходя из этого определения, получим, что скалярное произве­ дение равно произведению вектор-строки на вектор-столбец, и ( 1 .6 ) можно записать в виде:

Обратное произведение Ь • а (произведение вектор-столбца на век­ тор-строку) является матрицей. Чтобы свойства скалярного про­ изведения не изменились, соотношения (1.4) следует переписать о

обозначить операцию транспонирования, то (А В )Т = В ТАТ. На­ помним, что матрица Ст размера к х п с элементами с^ называет­ ся транспонированной по отношению к матрице С размера п х к с элементами с^-, т. е. строки и столбцы меняются местами. Тогда с учетом определения операции транспонирования скалярное произ­ ведение записывается в виде

&1 \

Требование пропорциональности векторов, накладываемое фи­ зическим законом, приводит к уравнению:

а = ЛЬ = АЛЬ = ЛЬ

или

Параметры А, входящие в (1.11), называются собственными значе­ ниями матрицы Л. Как мы покажем ниже, собственные значения ха­ рактеризуют направления осей системы координат, в которых ком­ поненты векторов а и Ь параллельны.

Очевидно, что система (1.11) имеет решение Ъ = 0 , которое не дает нам никакой информации. Чтобы система (1.11) имела нетри­ виальное решение, детерминант матрицы М = Л - XI должен рав­ няться нулю:

Уравнение (1.12) является полиномом относительно параметра А. Известно, что корнями полинома могут быть как действительные, так и комплексные числа. Но с физической точки зрения параметры А должны быть действительными числами. Это условие накладыва­ ет определенные требования на величины недиагональных элемен­ тов матрицы Л. Проще всего это показать для матрицы Л размером 2 х 2, т. е. для двухмерных векторов а и Ь. Так как

АеЬМ = (Лц —А)(Л22 —А) —Л12Л21 = 0 ,

то из условия реальности корней этого уравнения

(Лц —Л22)2 + 4Л12Л21 > 0

следует, что Л12 = Л2 1 . Значит, матрица Л должна быть симметрич­ ной (Л^- = Л^).

Если собственные значения найдены (обозначим их как АД то

Каждому собственному значению А^ матрицы Л соответствует соб­ ственный вектор матрицы. Для двумерных векторов легко вы­ числить, что

Так как с!е1:М = 0 , то, как говорят, строки матрицы М линейно зависимы. Поэтому компоненты собственных векторов можно най­ ти лишь с точностью до произвольного множителя. Из первых урав­ нений этих систем получим:

Если собственные значения различны, то собственные векторы вза­ имно перпендикулярны. В самом деле, собственные векторы с номе­ рами т и п удовлетворяют уравнению (1.13), т. е.:

ЛЪ<т ) = Ат Ъ(т),

ЛЪ<Я) = АПЪ<П).

Умножим первое уравнение скалярно на вектор-строку (Ь^п))т , а второе —на вектор-строку (Ъ(ш))т и затем вычтем одно из друго­ го. Получим

(ь(п))т л ь(ш) - (ь(ш))т л ь(п) =

(Ь(П))ТАШЬ(Ш) - (Ъ(Ш))ТАПЪ(П). (1.14)

Легко проверить, что если матрица Л симметрична, то левая часть (1.14) равна нулю. Используя определения транспонирования и свойства скалярного произведения, получим

(ь(п))т лт ь(т )-(ь (т ))т лпь(п>= лт ((ь(т ))т -ь(п) ) т - л п(ь(т ))т -ь(п).

Но

((Ъ<т >)т • Ь("))Т = (ь(т ))т • ь (п),

(число равно самому себе) и в результате имеем

Так как Ат ф Ап, то из определения скалярного произведения сле­ дует перпендикулярность собственных векторов Ъ^т\ Ь(Л\

В трехмерном пространстве три собственных вектора определя­ ют три взаимно-перпендикулярных направления, которые можно

1.2. Скаляры, векторы, тензоры и системы координат

5*