книги / Проектирование транспортных сооружений
..pdfХ4 и внешней нагрузки q. Уравнения (6.10) составляют для каж дого разреза, причем деформации плитных элементов определяют мето дами теории упругости как для пластинок, а деформации балочных элементов — методами сопротивления материалов как для упругих брусьев.
При расчетах рассматриваемым методом неизвестные усилия в слу чае разрезного пролетного строения выражают в форме тригонометри ческих рядов, т. е.
оо |
|
nnv |
|
V |
Х\п sin |
||
l |
|||
Z |
|||
л= 1 |
|
|
|
ОО |
|
nnv |
|
V |
Пsin |
||
l |
|||
Z |
|||
Г=1 |
|
(6.11> |
|
оо |
*871cos |
nnv |
|
2 |
|||
п= 1 |
l |
||
ОО |
. |
nnv |
|
v -V |
|||
x t = ^ |
**»s,n—— ■ |
||
n= 1
Все внешние нагрузки также представляют в тригонометрических рядах. Решением системы п линейных уравнений (6.10) определяют постоянные коэффициенты х1п — х4п, а затем по формулам (6.11) и со ответствующие величины усилий.
Метод плитно-балочных конструкций отличается высокой точно стью получаемых результатов, однако требует проведения громоздких вычислений и применяется только в сочетании с ЭВМ. К недостаткам метода можно отнести также сложность учета переменности сечений по длине пролетов и граничных условий в сложных системах. Кроме то го, во многих случаях оказывается сложным записать выражение для деформаций криволинейной балки или плиты, очерченных в плане не
Рис. 6.10. Схемы к расчету пролетных строений методом плитио-балочиых конст рукций при воздействии распределенных нагрузок
141
по дуге круга. В этой связи с целью упрощения расчетов учитывают только усилия Х2 и Х4.
При загружении пролетного строения сосредоточенным грузом распределение усилий X, — Х4 в разрезах ограничивается неболь шими участками вблизи поперечного сечения А — А (например, попе речные усилия <7,- на рис. 6.11, а). Это и позволяет с некоторой ошибкой заменять распределенные усилия сосредоточенными только в сечении А — А.
В коробчатых пролетных строениях разрезы проводят вдоль верх них и нижних плит и число неизвестных в сравнении с ребристы ми конструкциями увеличивается и, стало быть, усложняется расчет.
Упрощение расчетов может быть осуществлено в этом случае путем
замены |
распределенных |
усилий Хг — Х4 сосредоточенными силами |
N, Q, Т, |
Ми, Mv, Mw |
в отдельных точках по длине разрезов (рис. |
(рис. 6.11, б). При этом общее число неизвестных возрастает, однако отпадает необходимость разложения их в ряды.
Для расчета пролетных строений группы 5 в последнее время широ кое применение находит метод конечных элементов. Эффективность ме тода связана с возможностью наиболее просто учитывать различные краевые условия, особенности прикладываемых нагрузок, форму рассчитываемых конструкций и т. д.
Основная концепция метода заключается в дискретизации рассчиты ваемой конструкции, которая расчленяется на некоторое число эле ментов конечных размеров, деформированное состояние которых яв ляется простым. Дискретизация конструкций пролетных строений должна при этом быть произведена таким образом, чтобы соблюдалось равенство энергий заданной системы и ее заменяющей модели.
В зависимости от требуемой точности расчета и особенностей рас считываемой конструкции применяются три типа аппроксимации за-
Рис. 6.11. Схемы к расчету пролетных строений методом плитно-балочиой конст рукции при воздействии сосредоточенных нагрузок
142
S)
Рис. 6.12. Способы аппроксимации |
пролетных строений |
конечными элементами: |
/ • конечный элемент тонкой |
оболочки; 2 - конечный |
суперэлемент |
данной системы, а именно: стержневая, двухмерными и трехмерными конечными элементами.
При расчете пролетных строений группы 5 достаточно полные ре зультаты дает дискретизация двухмерными конечными элементами, хотя теоретически любая конструкция может рассматриваться как трехмерная. Связь между конечными элементами предполагается толь ко в узловых точках, перемещения которых принимаются за основные неизвестные. При использовании конечных элементов оболочки нуле вой кривизны для каждого узла /' вводится пять степеней свободы —
три |
линейных перемещения ии |
соответственно по направле |
ниям |
х, у, г, а также угловые перемещения 0? и 0? относительно осей |
|
х н у |
(рис. 6.12, а). Напряженно-деформированное состояние каждого |
|
конечного элемента однозначно определяется через его узловые переме щения и реактивные усилия взаимодействия между элементами. Пере ход от узловых перемещений к перемещениям точек внутри конечных элементов осуществляется с помощью так называемых аппроксимирую щих функций, задаваемых априорно. Основное требование, предъяв ленное к этим функциям, состоит в возможности обеспечения неразрыв ности перемещений при переходе от одного конечного элемента к дру гому. Для аппроксимации перемещений внутри конечных элементов обычно используют степенные полиномы вида
и(х, у, г) |
+ а2 x-\-aay+ a Az+ a t xy-\-.. |
|
с (*. У>г) —Pi + Pa ■*+ Рз У + Рз г+ Ps ху+ ... |
(6.12) |
|
w (х, y ,z ) : y l + y2x+ y3y+ yt z+ yb х у + ... |
|
|
где alt а 2, .... рх, р2...... у2, ... — постоянные в пределах |
каждого ко |
|
нечного элемента коэффициенты. |
|
|
В отдельных случаях |
находят применение тригонометрические ап |
|
проксимирующие функции. |
|
|
Следующим этапом в расчете конструкций МКЭ является построе ние матрицы жесткого конечного элемента и приведение заданной на грузки к узловой для каждого конечного элемента.
На основе известных соотношений теории упругости от перемеще ний точек конечных элементов можно перейти к деформациям и напря-
143
жениям. Составляя затем условия равенства работ внутренних и внеш них сил на виртуальных перемещениях, определяют из него матрицу жесткости отдельного элемента, а затем и всей системы конечных эле ментов. При дальнейшем составлении системы канонических уравне ний метода перемещений необходим учет граничных условий для рас считываемой конструкции. Решение канонических уравнений ведется известными прямыми или итерационными методами, как, например, Гаусса, квадратного корня, Зейделя и др. В результате решения опре деляют функцию перемещений по всей области системы конечных эле ментов, а по ней — напряжения и деформации в интересующих местах конструкции.
Представленная последовательность расчета по МКЭ инвариантна по отношению к виду рассчитываемой конструкции. Исключение состав ляет процесс формирования матрицы жесткости, который зависит от типа конечных элементов. В работе [13], например, приводятся матри цы жесткости для различных типов конечных элементов, а также соот ветствующие им аппроксимирующие функции. Заметим, что в пределах одной конструкции могут применяться различные типы конечных эле ментов. Членение несущей конструкции на мелкие конечные элементы приводит к значительным затратам машинного времени, и поэтому при проведении конкретных расчетов целесообразно применять более круп ные элементы, а требуемую точность достигать путем использования полиномов аппроксимирующих функций более высокого порядка.
Применение рассмотренных методов расчета к возможным расчет ным моделям пролетных строений железобетонных эстакад и путепро водов не является строгим, поскольку не существует резкой границы между несущими конструкциями и их расчетными схемами. Одну и ту же конструкцию можно рассчитать методами, рекомендованными выше для различных групп пролетных строений. ■Так, например, МКЭ может быть эффективно применен для расчета пролетных строений группы 3. При этом представляется целесообразным расчленение кон струкции на пространственные суперэлементы (рис. 6.12, б).
Взаимодействие конечных элементов обеспечивается в фиксирован ном числе узлов (см. на рис. 6.12, б узлы 1—10). В матрице жесткости такого конечного Элемента учитываются, помимо прочих, еще и дефор мации контура.
6.3. МЕТОДЫ КОЭФФИЦИЕНТА ПОПЕРЕЧНОЙ УСТАНОВКИ
При расчете железобетонных пролетных строений эстакад и путе проводов можно принимать допущение о том, что распределение усилий (вертикальных давлений и крутящих моментов) между балками (пли тами) происходит только в том поперечном сечении, где приложены внешние сосредоточенные силы. Это означает, что балки (плиты) как бы разделены продольными швами по всей их длине, кроме загружен ного поперечного сечения. Перемещая единичную силу вдоль попереч ного сечения и определяя при каждом ее положении усилия, передавае мые на отдельные балки (плиты), можно таким образом определить ли нии влияния этих усилий. Загрузив затем полученные линии влияния
144
а) |
* \~~ |
|
|
|
|
6) |
А-А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
■ |
|
оиз |
|
а* |
1_ |
|д- J |
|
|
|
|
Ом* |
||||
Ом, |
а, а* |
Окг аг Знг |
аз |
внь |
а |
|||
|
|
|
-*—и |
|||||
Рис. 6.13. Схемы к расчету пролетных строений с гибкими плитами и дна' фрагмами
временной подвижной нагрузкой, можно вычислить коэффициенты по перечной установки, показывающие, какая часть нагрузки передается на каждую из балок пролетного строения. Для каждого поперечного сечения могут быть построены свои линии влияния усилий и определе ны соответствующие коэффициенты поперечной установки.
Принятое допущение позволяет сложный пространственный рас чет несущей конструкции заменить достаточно простым определением коэффициентов поперечной установки в нескольких поперечных сече ниях. В дальнейшем методы, основанные на указанном допущении, бу дем называть методами коэффициента поперечной установки.
Рассмотрим поперечное сечение пролетного строения, в составе ко торого имеется несколько балок различной жесткости, объединенных плитой проезжей части (рис. 6.13, а).
Будем предполагать, что у всех балок замкнутые участки имеют недеформируемый контур, а плита и диафрагма в поперечном направле нии под нагрузкой деформируются.
Если из пролетного строения выделить i-ю балку и в рассматривае мом сечении загрузить ее вертикальной единичной силой, то можно най ти ее прогиб Ki с учетом закреплений по концам. Загружая ту же балку единичным крутящим моментом, можно найти в интересующем сече нии угол закручивания /7*. Обозначим через 1р1 момент инерции на изгиб в поперечном направлении участков ак1 для i-й балки. В пролет ных строениях с диафрагмами Ipt определяется как усредненный момент инерции диафрагм, приведенный к единице длины плиты. Можно за
145
где груз Р учитывается только в том случае, если он расположен иад I-й бал
кой.
Выражения (6.19) позволяют построить наиболее общие линии влияния для определения коэффициента поперечной установки. Они учитывают жесткость балок на изгиб E It вдоль пролета через вели чины Kt, жесткость на кручение GIti через величины Я г, а также жест кость поперечных элементов балок E lvi (плиты или диафрагм). При этом /,■ и 1п означают соответственно момент инерции сечения балки i на изгиб и на кручение.
В зависимости от соотношения ///< изменяется характер распреде ления нагрузки между балками пролетного строения. При I llt < 0,07 распределение нагрузки между балками происходит равномерно (см.
график |
1 на рис. 6.13) за счет высокой жесткости их на кручение. |
В этом |
случае |
|
Н, = Р/п. |
где п — число балок в поперечном сечении пролетного строения.
|
При |
I /I t > 1 0 влияние кручения |
на характер распределения на |
|||
грузки |
весьма незначительно |
и им |
можно |
пренебречь. Если 10 > |
||
> / / / { > 0,1 и IIIр < 20, то распределение нагрузки между балками |
||||||
подчиняется линейному закону (см. график 2 |
на рис. 6.13). При ///< |
> |
||||
> |
10 возможно нелинейное |
распределение |
нагрузкр (см. график |
3 |
||
на |
рнс 6.13). |
|
|
|
|
|
Рассмотренным выше приемом могут быть рассчитаны пролетные строения, состоящие из одинаковых элементов с жестким поперечным сечением и шарнирно соединенных между собой (рис. 6.15, а). Подоб-
Рис. 6.15. Схемы к расчету пролетных строений с шарнирными соединениями ме жду несущими элементами
148
ные конструкции относятся главным образом к плитным пролетным строениям. При воздействии на такую конструкцию сосредоточенной силы Р считаем, что ее распределение происходит через поперечные силы в шарнирных сопряжениях. Перемещения узла i от поперечных
сил qt- x, qt и qH l, а также внешней силы Р составят |
(рис. 6.15, б) |
6*(f—1)= (0,25а2 П—К) qt-i, |
|
®il —(2А+ 0,5а2 П) qt\ |
{6 20) |
®i<i+i) = (0,25а2 П К) Qi+i’ |
|
Дрг= (Т X—0,5еаП)Р, |
|
где К и П — прогиб отдельного элемента пролетного строения от единичной силы н угол закручивания того же элемента от единичного крутящего момента (рис. 6.15, в); а — расстояние между осями шарниров.
В последней формуле (6.20) знак минус следует принимать в том случае, когда груз Р находится на элементе i, и знак плюс, если он действует на элемент i + 1.
Записав условие совместности деформаций
бг(1-1) + б,-г + 5/(1+1) + Др/ =0
и учтя формулу (6.20), получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами вида
Qi+i+qf |
А+1 |
0,5еаП—К |
|
|
А —1 |
0,25а2 П—К |
(6.21) |
||
|
|
2 П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4/С |
|
|
Уравнение (6.21) при |
правой части, равной |
нулю, |
имеет решение |
|
Яу — |
|
1-Т /А |
= р , |
(6.22) |
|
Pi —Рг 1— |
|||
|
|
1 + 1 /а |
|
|
где / — порядковый номер шарнира, отсчитанный |
от начала координат до |
|||
рассматриваемого шарнирного сопряжения; Сх и Сг — постоянные интегриро вания.
Определяя С, и С2 из граничных условий по боковым граням попе речного сечения, состоящего из п элементов (q0 = qn = 0), и усло вий совместности деформаций в месте сопряжения элементов, получим
значения q : |
|
|
|
для участка 1 (см. рис. 6.15, а) |
|
||
9»1= 0,5 |
р Ч р 2" - г |
(Р |
|
1—р2« |
|
||
|
|
(6.23) |
|
дли участка 2 |
|
||
|
|
||
Яу2 — |
—+ -- ' (р» —р2п-» )Р . |
|
|
|
1 - Р 2п |
|
|
149
I pi принять момент инерции диафрагмы. В бездиафрагменных пролет ных строениях в качестве геометрической характеристики I pi прини мается момент инерции поперечного сечения участка плиты длиной 1 м (рис. 6.13, б). Сделав разрезы в плите между балками и приложив в них неизвестные поперечные силы qi и изгибающие моменты Mi (рис. 6.13, в), запишем канонические уравнения неразрывности дефор маций основной системы в виде
!) + Mi 6™u+Mt+1 6qi(i+ 1,-H i-l Sqid-D + |
|
|||||
~\~Qi 6gii~b<7i+i 6gi(j+i) = |
&qi< |
(6.13) |
||||
Mi—iOm/(i—1) ~\~Mi ^rnii-b^i+l ®mi'(i+i) |
Qi—1 ®qi(i—1) "b |
|||||
|
||||||
~\~Qi &£ii— Qi+1 6 qi(i+i) = —&mi > |
|
|||||
где 8gii = ^ i+ ^ i+ i + (0,5aj+afti)a ^i+(0,5aj+1-Ha*(j+1)) tli + г+ |
|
|||||
4r i |
|
/■u |
|
|
|
|
|
+ 3El, |
|
|
|
||
3EI |
Pi |
|
|
|
||
|
P(i+l) |
|
|
|
||
l) = — Ki + (0,5ai + a ki)* n t\ |
|
|||||
^<Zi(i+i>~ ' |
|
|
i+i))^ Hi+1> |
|
||
&mii —^i ~b ^i +l ' |
Okt |
afe(i+i> |
|
|||
EliPi •+ El P(i+1) |
(6.14) |
|||||
®mi(i—l)— Hi' |
®mi(i+l>------^i+i> |
|
||||
^qti~ Eli (0,5a; + aftj) |
EIi+i |
|
£ч-i>) ~f~ |
|
||
a*i |
aHi+ 1) |
|
|
|
||
+ 2ElPi |
2EIP i+l) |
|
|
|||
1)----- Eli (0,5aj +ai,j); |
1( —ffj+j (O^aj+j+ah^+j,). |
|
||||
В уравнениях (6.13) и формулах (6.14) обозначено: |
|
|||||
6чц — смещения под дейстием сил qj = |
1 по |
направлению сил qt; 6^. — |
||||
то же по направлению изгибающего момента Mt; |
6mij —смещения под действием |
|||||
момента Mj -= 1 по направлению момента Мг; Е — модуль упругости материа ла пролетного строения; Лqt — смещение от внешнего груза Р = 1 в основной системе по направлению силы qf, Amt — то же по направлению момента Мг.
Для i-й балки грузовые члены Aqi ф 0 и Ami Ф 0, если груз Р |
= 1 |
|||||
расположен на балках i и i + 1. |
В |
остальных случаях Aqi = |
Amt= 0 . |
|||
Обозначив |
эксцентриситет груза |
Р |
= 1 на t-й балке через |
eit |
а |
на |
(i + 1)-й |
балке через ei+l, получим формулы для определения |
гру |
||||
зовых членов уравнений (6.13) в виде (рис. 6.14): |
|
|
|
|||
при грузе Р — 1 на i-й балке в пределах от точки Ы до точки |
А |
|||||
(рис. 6.14, а): |
|
|
|
|
|
|
|
АQi — PKi — Pei lli (0,5aj + afcj); |
|
(6.15) |
|||
|
Ami ~ |
Het Eli' |
|
|||
|
|
|
|
|||
146
при грузе Р — I на i-й балке в пределах от точки А (рис. 6.14, б):
, —0,5а;)2 bqi = —PKi—Pei IJj (0,5oi+fl*j) —----- ---------- X
6Elpi
X (3qm «г+0,5а;),
Amj— Pei IIi
P(ej—0,5арг
2f/Pi
до точки i
(6.16)
при |
грузе |
P = 1 на (i + 1)-й балке в пределах от точки i до точки |
|||
В (рис. 6.14, в): |
|
|
|
||
|
|
Дqi = PKi+i—Pfi+i IIi+1 (0,5ai+1+ a),(j+1))+ |
|
||
|
|
+ Р (^г+1+0.5а;+х)г |
H-eJ+i+0i5ej+1); |
(6.17) |
|
|
|
ЪЕ1рО+1) |
'Я (gj+i~l~0»3fli+i)a |
|
|
|
|
Дmi= Pei+l Hi+1 |
|
||
|
|
|
|
2£/p(j+j) |
|
при |
грузе |
P = 1 |
на (i + 1)-й балке в пределах от точки В до точ |
||
ки i + 1 (рис. 6.14, г): |
|
|
|||
|
&qi—PKi+i |
Pei+i Пt+l №’^ai+i~\~alni+i))< Дmi—Pei+l^i+l- |
(6.18) |
||
Эксцентриситеты et и ei+1 счи
тают положительными, если груз |
|
Р расположен |
справа от оси загру |
женной балки, |
и отрицательными |
в противном случае.
По формулам (6.15) и (6.18) оп ределяют прогиб и угол поворота в точке i загруженной балки снедеформируемым контуром поперечно го сечения. Выражения (6.16) и (6.17) дополнительно учитывают прогиб консолей в точке t от груза Р, находящегося в пределах этих консолей.
Уравнения (6.13) позволяют определить неизвестные усилия д и М во всех разрезах поперечного сечения, построить их линии влия
ния, |
а |
также получить |
линии |
||
влияния |
вертикальных |
давлений |
|||
Hi на балку |
и закручивающих ее |
||||
моментов |
HKi (см. рис. 6.13, в), |
||||
так |
как |
|
|
|
|
|
|
— |
Яг (+Я; |
\ |
(6.19) |
|
|
f- |
J |
||
+ 9i-i) (0,5аг + а),{)|—Peit |
> |
|
|||
Рис. 6.14. Схемы к определению гру зовых членов каноническихуравнений
147
Формулы (6.23) позволяют построить эпюру поперечных сил в шар нирных соединениях с координатами у при расположении груза Р над шарниром i. Меняя местами индексы in у в формулах (6.23) и порядок участков, получим выражения для построения линий влияния qi в виде:
при у^ i |
|
|
. « - • л 1-1 |
(6.24) |
|
при у> i |
||
|
||
j2п—у |
|
|
Qit= 0,5■ 1-Р2 ■(Р'-Р-О. |
|
В формулах (6.23) и (6.24) значения i и у принимают равными 0,1,2, 3, ..., п в зависимости оттого, для какого номера шарнирного сопряже ния определяется линия влияния и над каким шарниром у расположен груз Р.
Формулы (6.24) могут быть затем использованы для определения линий влияния давлений Нг и крутящих моментов Нк1, передаваемых на отдельные несущие эламенты пролетного строения:
Hi —Qi—1—Qi l + P’ |
(6.25) |
|
Hhi = (Qi+ Qi-i)0,5a\ —Pe. |
||
|
Линии влияния Hi и HKi дают возможность определить по ним ко эффициенты поперечной установки от действующих иа пролетные строе ния временных нагрузок.
6.4. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ВНЕЦЕНТРЕННЕГО СЖАТИЯ
Железобетонные пролетные строения в широком диапазоне соот ношений Ult (см. п. 6.3) работают при линейном законе распределе ния усилий между балками. Это позволяет существенно упростить рас четные формулы для построения линий влияния усилий в балках. Обобщенный метод внецентренного сжатия исходит из указанного вы ше допущения и позволяет в сравнении с известным методом внецент ренного сжатия учесть ряд дополнительных характеристик балок, та ких как жесткость на кручение, различные условия опирания и т. д.
Рассмотрим поперечное сечение пролетного строения, имеющего в своем составе несколько различных балок (рис. 6.16, а). За начало ко ординат примем произвольно расположенную в плоскости верхнейч плиты точку О. Предположим, что внешняя нагрузка Р приложена в уровне плиты проезжей части в некоторой точке. Под действием та кой нагрузки поперечное сечение будет прогибаться и закручиваться и каждой балке будут передаваться вертикальное давление Hi и кру тящие моменты HKi (см. рис. 6.16, а).
Если выделить одну балку из пролетного строения, то под действи ем силы Hi ~ 1, приложенной по оси балки, она получит прогиб Ки
150