книги / Проектирование транспортных сооружений

Приведенные выше формулы позволяют определить геометриче­ ские характеристики при расчете на изгиб однородных сечений. Ана­ логично можно определить такие же характеристики при учете раз­ ных материалов в составе сечения (например, стали и бетона). Для железобетонного сечения элементы арматуры можно сосредоточивать на ограниченной площади (например, АР1 и Арг на рис. 8.13, а). Ра­ диусы-векторы центров тяжести этих площадей обозначаются через тр1 (см. рис. 8.13, б). Тогда для получения приведенных геометриче­ ских характеристик сечения с учетом элементов арматуры в выше­ приведенные формулы следует добавлять следующие слагаемые:

1

+ p ^ Epi Ад (rpj Г)2: Eb i l

I^

+— У, Epi(rPim')2; Eb

1V'

+— 2j EoiAPi (rPi ■') (rpi"l ),

Eb 1

где p — количество сосредоточенных площадей арматуры; EPf, APf — мо­ дуль упругости н площадь i-го элемента арматуры; Еь—модуль упругости мате­ риала однородного (бетонного) сечения.

В том случае, когда требуется определить геометрические харак­ теристики сечений с учетом ослаблений под каналы напрягаемой арматуры, в формулах (8.68) принимают:

EPi~Eb< APi~ —A0j,

где Aoi — площадь i-ro ослабления сечения (рис. 8.13, в).

Следует заметить, что при определении геометрических характе­ ристик начальные координатные оси v", w" могут быть назначены на плоскости в произвольном месте. Однако если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, одну координатную ось целесообразно совместить с этой осью.

211

8.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

При проверках трещиностойкости балок предварительно напря­ женных пролетных строений эстакад требуется вычислить нормаль­ ные напряжения в сечениях от нормативных усилий в предположении упругой работы материала.

Под действием нормальной силы N и двух изгибающих моментов M v и M w в точке сечения с координатами и, w (рис. 8.14, а) возникают напряжения

где Л, IVy Iw — площадь и моменты инерции поперечного сечения относи­ тельно осей v и w\ апт — суммарные изменения напряжений в данной точке сечения, вызванные усадкой, ползучестью бетона и другими длительными воз­ действиями; Р и М — вектор силы и вектор момента в сечении пролетного строе­ ния; n, m, I — единичные векторы вдоль координатных осей п, v, w*

Рис. 8.14. Схемы к определению нормальных напряжений в криволинейных балках

212

Нормальные напряжения в элементе арматуры при этом: для напрягаемой арматуры

где стр — напряжения, отвечающие контролируемому усилию; 2 Дстр — потери предварительного напряжения; Ер, Es и Ej, — модули упругости напря­ гаемой, ненапрягаемой арматуры и бетона; Ст;,,, — напряжение в бетоне на уров­ не центра тяжести сечения элемента арматуры

При натяжении арматуры до бетонирования величину а Ьи в фор­ мулах (8.70) следует определять по формулам (8.69) от воздействия полных постоянных и временных нагрузок. Если натяжение армату­ ры производится после бетонирования, то напряжения а Ьи должны определяться от той части нагрузок, которые прикладывают к кон­ струкции после натяжения арматуры.

Кроме продольных напряжений а Ьи, в сечениях пролетных строе­ ний возникают нормальные напряжения а Ье в горизонтальной н abw в вертикальной плоскостях, вызванные криволинейным располо­ жением напрягаемой и даже ненапрягаемой арматуры (рис. 8.14, б). Радиусы кривизны для осей элементов арматуры в криволинейном про­ летном строении определяют в соответствии с ранее приведенными формулами (8.12). Тогда распределенные усилия, передаваемые бето­

где Ru„, RUw< Ар — радиусы кривизны продольных осей арматуры и пло­ щадь ее поперечного сечения. При этом напряжения ори (илн osu) необходимо принимать с соответствующими знаками. Если арматура растянута, то сжимаю­ щие усилия qvp или qwp направлены к центру кривизны. При сжатой арматуре те же усилия направлены в обратную сторону (см. рис. 8.14, в).

Под действием усилий qvP или qwP в бетоне балок пролетных строе­ ний возникают сжимающие н растягивающие нормальные напряже­ ния [3]. Так как арматура искривляется в стенках или плитах несу­ щей конструкции, то можно условно определять эти напряжения только для прямоугольных элементов. Тогда напряжения (см. сечения А — А, Б — Б и В — В на рис. 8.14, в) будут определяться по формулам:

213

где а„ и aw — расстоянии от грани рассматриваемого элемента, наиболее удаленной от центра кривизны криволинейной арматуры, до точки, в которой определяются напряжения; lv, bw, lw — толщина и ширина прямоуголь­ ных элементов (см. рис. 8.14, б).

Члены, расположенные за вертикальной чертой в формулах (8.72), учитываются в том случае, когда в пределах расстояний а„ или aw находится элемент арматуры.

Если в плите или стенке балки находится несколько криволиней­ ных элементов арматуры, то напряжения по формулам (8.72) следует определить для каждого из них, потом результаты просуммировать.

Помимо напряжений от искривления элементов арматуры в бето­ не несущей конструкции, возникают нормальные напряжения аЬо или abw от предварительного напряжения хомутов илн поперечной арма­ туры плит, которые могут быть учтены обычными методами расчета железобетонных пролетных строений мостов.

8.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Распределение по сечению напряжений, вызванных поперечными силами и крутящими моментами, зависит от формы сечения.

В сплошных сечениях касательные напряжения вдоль осей и и w определяют по формуле Журавского (рис. 8.15, а):

где Qv, Qw — поперечные силы вдоль осей v и до; S°TC, S°TC— статические

моменты отсеченных частей сечения относительно осей v и до; /„, /ш — моменты инерций сечения относительно осей v и до; bB, bw — толщина элементов попереч­ ного сечения по осям t/и до.

Полные касательные напряжения в рассматриваемой точке

В тонкостенном открытом сечении касательные напряжения на­ правлены вдоль срединной линии (рис. 8.15, б) и равномерно распреде­ ляются по его толщине. При одновременном воздействии поперечных снл Qv и Qw полные касательные напряжения в таком сечении опреде­ ляются алгебраическим суммированием:

QWS ^

(8.75>

rw~ Ivb

где Ь — толщина элемента поперечного сечения.

Касательные напряжения при кручении балки с открытым конту­ ром определяют, условно разбивая сечение на отдельные прямоуголь­ ники (рис. 8.15, в). В каждом таком прямоугольнике возникает поток

214

касательных напряжений свободного кручения. При этом напряже­ ния xf распределяются по толщине элементов сечения, принимая на­ ибольшие значения по их граням. Эти наибольшие напряжения опре­ деляют по формуле

где Tt— момент свободного кручения, равный по величине внешнему крутящему моменту; Jt — момент инерции сечения на кручение.

Для сечення, приведенного на рис. 8.15, в,

Касательные напряжения свободного кручения в одноконтурном коробчатом сеченин (рис. 8.15, г) считаются равномерно распределен­ ными по толщине и образуют замкнутый поток. Крутящий момент от этих напряжений относительно любой точки на плоскости сечения должен быть равен внешнему крутящему моменту, т. е.

где г — радиус-вектор срединной линии замкнутого контура в функции ее длины s.

215

Из закона взаимности касательных напряжений можно доказать, что касательное усилие на 1 м длины q, действующее вдоль срединной линии, постоянно по всему контуру:

Тогда величину q и касательные напряжения xt можно определить из формулы (8.77):

где Q — удвоенная площадь, охватываемая замкнутым контуром сечения.

Заметим, что вторая формула в формуле (8.79) совпадает с ранее записанной в (7.11).

Определим касательные напряжения от поперечных сил и крутя­ щих моментов в многоконтурном сечении с консолями верхней плиты (рис. 8.16, а). Считаем, что известно положение центра тяжести сече­ ния и направление главных осей инерции v и w. В каждом /-м замкну­ том контуре при кручении возникает замкнутый поток касательных усилий qi. В промежуточных стенках сечения потока от двух соседних контуров алгебраически складываются. Кроме того, в сечении возни­ кают касательные напряжения от поперечных сил (рис. 8.16,6), а так­ же замкнутые потоки касательных напряжений в консольных свесах верхней плиты (см. рис. 8.16, а).

Проведем условные разрезы в каждом замкнутом контуре, пре­ вратив тем самым сечение в открытое (см. рис. 8.16, б). Под действием касательных напряжений сечение депланирует. В соответствии с тео­ рией тонкостенных стержней замкнутого профиля общее уравнение депланции имеет вид

216

где и (,s) — перемещения точки на срединной линии сечения; и (0) — пере­ мещение той точки срединной линии, от которой ведется отсчет координаты

0ц — относительный угол закручивания сечения; w — удвоенная площадь, ох­ ватываемая радиусом-вектором г при его смещении от точки срединной линии s 0 до точки s (рис. 8.16, а).

На рис. 8.16, в показаны в увеличенном масштабе депланационные перемещения точек срединной линии в местах условных разрезов.

Из условия замкнутости контура поперечного сечения следует, что

Условия (8.81) должны быть записаны для каждого замкнутого контура с учетом касательных напряжений от поперечных сил (см. рис 8.16, б). В результате получаем систему уравнений замкнутости:

промежуточной стенки, расположенной между замкнутыми контурами i и у;

г А

и

J 6

Д ля сечений, у которых контур образован из прямых линий, знак интеграла в приведенных выше формулах можно заменить знаком сум­ мы. Т ак, например, для первого контура на рис. 8.16, а, б имеем:

217

Глава 9 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ

ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ ЭСТАКАД

ИРАСЧЕТ ОПОР

9.1.ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ ЭСТАКАД

Под действием нагрузок, передаваемых пролетным строениям, кри* волинейные эстакады испытывают деформации изгиба в вертикальной

игоризонтальной плоскостях, а также деформации, связанные с кру­ чением. Общие перемещения пролетных строений как линейные, так

иугловые можно определить в векторной форме.

Вектор линейного перемещения и равен по модулю самому переме­ щению (прогибу) и совпадает с ним по направлению. Вектор угла по­ ворота to равен по модулю углу поворота в радианах (рис. 9.1. а) и направлен перпендикулярно плоскости поворота так. что с вершины вектора поворот происходит против часовой стрелки (аналогично век­ тору момента).

Относительная продольная деформация сечения на уровне его цент­ ра тяжести определяется вектором е, а относительный угол поворота сечения — вектором у*, которые можно выразить через усилия в се­ чении по формулам (рис. 9.1. б):

N

е

(9,1)

где еь, уь —относительные продольная и угловая деформации сечення, вызванные длительными процессами ползучести и усадкн бетона; А —пло­ щадь поперечного сечения. Остальные обозначения остаются прежними.

Предположим теперь, что в точке Lна оси балки пролетного строе­ ния известны векторы линейного и* и углового перемещений. Опре­ делим перемещения Uy и ©у в другой точке / на оси балки (рис. 9.1,в). На участке между этими точками в сечениях балки от внутренних уси­ лий возникают относительные деформации е и у. Перемещения в точ­ ке / вызваны поворотом и перемещением участка балки // как жесткого бруса и перемещениями от внутренних усилий.

Если учесть, что линейное перемещение в точке j от поворота на угол (0; в точке i (см. рис. 9.1, а) равно ©*х(гу— г*), то полные пе­ ремещения в точке /

* На рис. 9.!, б и далее двойными стрелками обозначены векторы угловых деформаций и перемещений.

220