книги / Проектирование транспортных сооружений

}

Рис .7.10. Схема эстакады, поперечное сечение пролетного строения и его контур

Статический момент сечення относительно срединной линии нижней плиты

Для определения изгибающего момента в расчетном сечении необходимо по­ строить линию влияния М (рис. 7.11, а, б).

Загружая линию влияния М временной нагрузкой, получим

М - 1,1 *200 (6,60 + 6.00) 2 - 5544 кН*м,

где 1,1 — динамический коэффициент; 200 кН — сила, действующая на

ось.

Нормальные напряжения в верхней и нижней плитах (рис. 7.11, г):

м5544,0

Вычислим геометрические характеристики для определения напряжений, связанных с деформацией контура. В соответствии с формулами (7.31) имеем:

181

Рис. 7.11. Линия влияния изгибающего момента и эпюры при расчете на изгиб

Далее вычислим

182

Деформирующий момент, передающийся пролетному строению от одной оси заданной нагрузки,

М - 0,5-200 ( l,1 5 i - 0 ,025)^ 117,5 кН -м .

факторов приведены на рис. 7.12, б, в.

Расчетный деформирующий момент получается загружением линии влияния В и . т. е.

Вп -- 1,1*117,5(1,95-2 + 1,62-2) -..922,0 кН -м .

Нормальные напряжения от деформаций контура для верхней и нижней уг­ ловых точек сечения, а также конца коисоли верхней плиты получаются равными (рис. 7.12, с):

112,34

922,0

1,06— — 0,42 МПа.

Рис. 7.12. Линии влияния и эпюры при расчете на деформацию контура

183

ного изгибаю щ его м омента о к азы в аю тся следую щ им и (рис. 7 .1 2 , ж ):

Глава 8

РАСЧЕТ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭСТАКАД

8.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ И ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

ВКРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛКАХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ

Балку пролетного строения произвольного очертания в простран­ стве можно считать заданной, если известно уравнение ее оси — линии, соединяющей центры тяжести сечений, и направление одной из глав­ ных центральных осей сечения в каждой точке оси балки [61.

Уравнение оси балки может быть задано в векторной форме через текущий радиус-вектор г, направленный из начала координат в про­ извольную точку на оси (рис. 8.1, а):

х, у, г в функции от длины s, отсчитываемой вдоль криволинейной оси балки от произвольной начальной точки s0; i, j, k — единичные векторы, направленные по осям координат х, у, г.

Зная радиус-вектор оси конструкции, можно определить направле­ ние единичного вектора нормали к любому поперечному сечению балки в координатах х, у, г по формуле (рис. 8.1, б)

где п — единичный вектор нормали к плоскости сечения, касательной к оси балки в рассматриваемой точке (п - | п | - 1).

Если в координатах х, у, г задан единичный вектор одной из глав­ ных центральных осей сечения v или и” (см. рис. 8.1, б), то направле­ ние третьей оси можно определить по известным единичным векторам следующим образом:

где т и 1— единичные векторы по направлению осей v и w.

Так, например, если одна из осей для всех сечеиий всегда верти­ кальна, то 1 = к и тогда *ш — к х п - к у ^ .

1 Здесь и далее векторы выделены полужирным шрифтом. .Модуль вектора (его длина) обозначается той же обычной или полужирной буквой в прямых скоб­ ках. Например, для вектора | а | его модуль будет а или |а|.

* Знак X означает векторное произведение векторов.

185

D

>L

Рис. 8.1. Задание оси криволинейной балки и поперечного сечения в векторной форме

Для криволинейных пролетных строений, работающих под нагруз­ ками как упругий брус, внутренние усилия удобно определять в век­ торной форме. В этом случае все сосредоточенные силы Р или рас пределенные нагрузки представляются в виде векторов, которые можно перемещать вдоль линии их действия в любую точку (скользящие век­ торы). Все моменты М также представляются в виде векторов, причем вектор момента направлен перпендикулярно плоскости действия мо­ мента и так, что с его вершины направление действия наблюдается против часовой стрелки.

Вектор момента по модулю численно равен значению момента и мо­ жет быть перемещен в любую точку (свободный вектор) параллельно

самому себе.

Момент М сосредоточенной силы Р, расположенной в точке с.радиу­ сом-вектором г2, относительно точки с радиусом-вектором г, (рис. 8.2)

верженную действию различных сил Р, и моментов Mj. Точки приложе­ ния сосредоточенных сил к конструкции определены векторами г,-, а центр тяжести расчетного сечения вектором г (рис. 8.3, а).

Тогда усилия в сечении (сила Р и момент М), уравновешивающие приложенные к отсеченной части силы и моменты, определяют из ус-

186

При определении равнодействующих усилий на отсеченной части векторы Р и М должны стоять в правой части уравнения (8.5) вместо нулей.

Векторные уравнения (8.5) эквивалентны шести обычным уравне­ ниям равновесия в пространстве.

Векторы Р и М позволяют определить все составляющие усилий в сечении, действующие относительно его осей и, и, w.

Нормальные и поперечные силы N t Qv, Q№, изгибающие, а также крутящие моменты M rt М,г, т определяй

1 Написание двух векторов рядом без знака лярное произведение.

Рис. 8.3. Определение усилий, возникающих в сечении криволинейной балки

187

Рис. 8.4. Задание оси напряженной арматуры в векторной форме

Если требуется представить усилия в сечении в векторном виде, то получаемые из формул (8.6) значения умножают на единичные векторы осей сечения1, т. е. (см. рис. 8.3, б)

Так будут получены все составляющие усилий, по которым затем можно определить напряжения и относительные деформации от внеш­ них нагрузок.

Помимо внешних постоянных и временных нагрузок при расчете пролетных строений, необходимо учитывать силы предварительного напряжения, от которых также создаются внутренние усилия.

Очертание оси напряженной арматуры, так же как и оси самой бал­ ки, может быть задано в координатах .г, г/, г (рис. 8.4, а) в виде

где rp, х (,sp), у (sp), г {sp) — радиус-вектс p оси элемента напряженной ар­ матуры и функции его проекций на координатные оси: sp — длина арматурного элемента, отсчитываемая от произвольной начальной точки.

Однако целесообразнее задавать вектор эксцентриситета элемен­ та напряженной арматуры е в плоскости каждого сечения балки (рис. 8.4, б):

где ve, we — проекции вектора е иа координатные оси сечения v, w; m и 1— единичные векторы осей сечения, которые определяются в осях х, у, г по форму­ лам (8.2) и (8.3).

1 Векторы моментов обозначены иа рис. 8.3, б двойными стрелками.

188

Для дальнейших расчетов, кроме очертания оси напряженной ар­ матуры, необходимы значение и направление радиуса ее кривизны R. Его значение обратно кривизне р арматуры, определяемой как вторая производная радиуса-вектора, т. е.

а вектор радиуса кривизны арматуры R, направленный из центра кривизны к рассматриваемой точке, и векторы его проекций в пло­ скостях uw и uv (см. рис. 8.4, а):

а вектор момента силы предварительного напряжения относительно центра тяжести сечения

Nip —е X Np.

Поскольку усилия, действующие на сечение, обратны по направле­ нию векторам (8.13), то составзяющие внутренних усилий от сил пред­ варительного напряжения в сечении будут определяться по формулам, аналогичным (8.6), в виде

Если в сечении балки пролетного строения имеется несколько ар­ матурных элементов, то усилия определяют от каждого из них по фор­ мулам (8.13)— (8.15), а результаты потом суммируют. Если элементы арматуры сконцентрированы вблизи их общего центра тяжести, и, кроме того, имеют сходное по длине очертание, то при определении Np принимают их общую площадь сечения и получают суммарные значе­ ния усилий в балке от сил предварительного напряжения. Полные

189

внутренние усилия получают при суммировании величин, определен­ ных по формулам (8.6), (8.7) и (8.14), (8.15).

При определении шести опорных реакций в статически определи­

них сил, другое — равенство нулю моментов всех этих сил относитель­ но произвольной точки (например, начала координат). Векторные урав­ нения эквивалентны шести обычным уравнениям равновесия и имеют вид

где Pj и М,- — векторы сосредоточенных сил и моментов, действующих на балку; R* — векторы неизвестных опорных реакций; г< и г0; — радиусы-векто­ ры точек приложения внешних сосредоточенных сил и опорных реакций; р и т — число сосредоточенных сил и моментов, действующих на балку.

Неизвестные опорные реакции могут быть представлены в виде про­ изведения неизвестных скалярных величин опорных реакций Rt на известные заданные единичные векторы t; направления опорных свя­ зей 1см. формулы (8.16)1.

Для получения уравнений (8.5) и (8.16) в обычной записи необхо­ димо каждое из них умножить скалярно на каждый единичный вектор i, j, к координатных осей. Если определитель системы уравнений (8.16) окажется равным нулю, это означает, что опорные связи обра­ зуют геометрически изменяемую систему и ее следует перестроить.

Системы уравнений, аналогичные (8.5) и (8.16), могут быть составле­ ны для случая воздействия на рассчитываемую балку распределенной силовой или моментной нагрузки. Это можно сделать двумя способа­ ми:

Рис. 8.5. Схемы для определения опорных реакций и задания распределенной на­ грузки в векторной форме

190