книги / Проектирование транспортных сооружений

где г,-, Гу и г —радиусы-векторы точек i, j и текущий радиус-вектор оси балки на ее участке «у.

Приняв произвольную точку о на оси балки за начальную (см. рис. 9.1, в) и переходя от точки к точке, можно определить по формулам (9.2) все перемещения конструкции при заданных внешних нагрузках и внутренних.усилиях в сечениях. Однако перемещения и0 и ш0 в на­ чальной точке отсчета с радиусом-вектором г0 неизвестны. Для их оп­ ределения необходимо рассмотреть условия закрепления балки на опо­ рах. В статически определимой криволинейной в пространстве балке зададим единичные векторы tA, определяющие направление шести опорных связей (рис. 9.1, г). По формулам (9.2) найдем линейные пере­ мещения иАв точках крепления опорных связей, определяемых радиу­ сами-векторами гА. В общем случае эти перемещения не равны нулю. Если задать перемещения и„ и ш0 в начальной точке так, чтобы по на­ правлениям опорных связей перемещения были равны нулю, то будут справедливы следующие шесть уравнений:

при k -- 1-^-6.

Система уравнений (9.3) определяет шесть проекций неизвестных векторов г0 и о»0. Если определитель системы (9.3) равен нулю, то сис-

Рис. 9.1. Схемы для определения деформаций н перемещений в криволинейных балках

221

тема опорных связей мгновенно геометрически изменяемая и ее необ­ ходимо изменить. Окончательные перемещения в любой /-й точке оси балки Uj и шj определяются через полученные величины и* и ш* и перемещения в начальной точке, т. е.

Перемещения и углы поворота по направлению осей и, у, w про­ извольного сечения балки, а также относительные угловые деформа­

9.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В РАЗРЕЗНОЙ БАЛКЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Перемещения криволинейных балок определить достаточно сложно даже для простейших однопролетных схем. Прогибы и углы поворотов этих балок можно в принципе представить в виде формул, однако они получаются слишком громоздкими. Поэтому целесообразнее произво­ дить расчеты с использованием численного интегрирования. Покажем, например, порядок определения линейного перемещения и, и угла по­ ворота <о7 в некоторой точке / на оси балки. При этом сохраним обо­ значения, принятые на рис. 8.6.

Если радиус-вектор расчетного сечения

гс= iR Sin 4 }R ^1— COS -^ -j,

то единичные векторы осей инерции сечения будут:

Вектор l c одной из осей сечения считаем направленным параллель­ но оси г. Момент Мс в расчетном сечении по формулам (8.5) составит:

при sc< s

Мс — Мх—•Гр X Rjj

(9.6)

при se> s

Mc= M1 = MrcXR1+ (rg—гс)ХР4-М.

222

Так как опорные реакции и внешние усилия можно выразить в виде м, M„i', Р —Pk;

при sc > s

Относительный угол поворота сечения ус можно представить с учетом формул (9.1) в виде

а тогда перемещения /-й точки с радиусом-вектором г7будут:

Mo k= —к | ус / rfrc|, o

где Г; — радиус-вектор точки оси балки на ее конце.

223

Рис. 9.2. Графики изменения во времени характеристики ползучести и относи­ тельной деформации усадки

чение). От проявления усадки арматура получает сжатие, а бетон — растяжение.

Рассмотрим влияние длительных деформаций на напряженное со­ стояние пролетных строений с несимметричными поперечными сече­ ниями, что характерно для городских транспортных сооружений. При этом в качестве теории ползучести, устанавливающей зависимость между напряжениями и деформациями во времени, примем один из вариантов линейной теории ползучести, а именно теорию старения 1

111].

В соответствии с теорией старения (основоположники — Ц. Уит­ ни и Ф. Дишингер) характеристика ползучести

Характеристика ползучести ср( зависит от времени отсчета I и вре­ мени приложения нагрузки т.

Обозначим эту характеристику в некоторый промежуточный мо­ мент времени ( через ф(Т. Изменение ф( со временем показано на рис. 9.2, а. Если бетон загружен в более поздний срок т, но таким же усилием, как и при загружении сразу после затвердения, то закон на­ растания ф( останется неизменным, однако конечная величина харак­ теристики ползучести укХбудет меньше.

где фт —характеристика ползучести, определяемая по формуле (9.12), ио для момента времени т; (pfc—конечная величина характеристики ползучести.

Кривые нарастания характеристик ползучести бетонов, загружен­ ных в разные сроки, будут стремиться к разным значениям фЙТ, но одновременно будут оставаться параллельными. Это считается одним из основных допущений теории старения.

Применяемая также модифицированная теория старения точнее учитывает экспериментальные данные о характере деформаций ползу­ чести. По этой теории кривые характеристик ползучести остаются также взаимно параллельными, но к ним добавляется вертикальный отрезок, равный афт, условно учитывающий более быстрое нарастание

1 Факторы, влияющие на деформации ползучести и усадки и нарастание их во времени, изложены в нормах, общих курсах железобетонных мостов.

225

ползучести в момент загружены я бетона т (рис. 9.2, б). Тогда фор­ мулы (9.13) принимают вид:

Ф^= <Р/— фт+ афт= ф(—' ( 1— «); 1

Предположим, что имеется несимметричное сечение пролетного строения с произвольно расположенной арматурой (рис. 9.3). Будем считать также, что на уровне центра тяжести бетонного сечения дейст­ вуют переменные во времени сжимающая сила N t и моменты М ы и M wt, а в арматуре— переменное усилие Na . Тогда за любой промежу­ ток времени d t можно записать условие равенства деформаций арма­ туры и окружающего ее бетона:

приращение деформации усадки; Ер — модуль упругости арматуры; Ар — пло­ щадь поперечного сечеиия арматуры.

Первые четыре члена уравнения (9.15) учитывают прирост деформа­ ций ползучести и усадки за промежуток времени d t по отношению к име­ ющимся деформациям бетона на уровне центра тяжести арматуры. Ос­ тальные слагаемые учитывают упругие изменения напряжений в ар­ матуре и окружающем бетоне за тот же отрезок времени dt.

Выражение (9.15) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и переменной правой частью. Это уравнение может быть записано после преобразований так:

dNa flwe = c ( dN, d<Pt d<Pt

226

Величины, входящие в формулу (9.16), определяют.по следующим формулам:

С=(1-В) Ер Ар Еь Ль

C0 = (l-fl)- Ер Ар ew ; Cw = (i-B)- Е DАп е„ Eb^vb ' EbIwb

Сi—(1 —В) Ер Ар.

Решая уравнение (9.16) и считая при этом, что в начальный момент времени ср, = 0 и JVe = 0, получим

где e —основание натуральных логарифмов.

При усилиях, например, от собственного веса и сил предваритель­ ного напряжения (Nt = N, MBt = Mv и Mwt = Mw) изменения напряжений в арматуре (потери) только от ползучести бетона составят:

a учитывая, что выражение в круглых скобках равно начальному на­ пряжению в бетоне аьо на уровне центра тяжести арматуры, получим

Pc —условный коэффициент армирования сечения; К —коэффициент, учитывающий влияние ползучести бетона (табл. 9.1).

227

Изменения напряжений в бетоне сечения (потери) в точке с коор­ динатами ни®определяют через потери в арматуре (9.19) по формуле

Изменения напряжений в бетоне на уровне центра тяжести арма­ туры, т. е. при w = ew и v = ev,

Аоьр—— оьоК ■

Изменения напряжений в арматуре, вызванные только усадкой,

где А'., — коэффициент, учитывающий влияние усадки бетона и сопровож­ дающей ее ползучести (табл. 9.2),

rhs — конечное значение деформации усадки; rfes— приращения дефор­ мации усадки.

228

Изменения напряжений в бетоне сечений только от усадки опреде­ ляются по формуле, аналогичной (9.21), т. е.

Потери напряжений Дстор, ДстЬР, ДстаЛ, Дobs следует учитывать при проверке трещнностойкости сечений пролетных строений статически определяемых систем.

9.4.ВЛИЯНИЕ УСАДКИ И ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА НА ДЕФОРМАЦИИ

ИУСИЛИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

Линейные гь и угловые относительные деформации уь, вызванные ползучестью от постоянных усилий N 9 M v> М и и крутящего момента M wt а также усадкой, можно определить в центре тяжести бетонного сечения через величины изменения напряжений по формулам:

229

сти бетона при кручении, которая может отличаться от его характеристики пол­ зучести <р* при сжатии. В первом приближении можно принять ф* = 2ф*.

Интегрируя выражение (9.24), получим:

(9.26)

где jV, Mv, Mw, Ми — нормальная сила и моменты, действующие на бе­

Если известно положение центра тяжести приведенного сечения с учетом ненапрягаемой и напрягаемой арматуры, то продольные отно­

где гпр — вектор, направленный из центра тяжести бетонного в центр тя­ жести приведенного сечення.

Угловые деформации сечения уь при переносе центра тяжести не меняются.

Заметим, что величины гь и уь учитывают в формулах (9.1) при оп­ ределении перемещений сечений в балках статически определимых сис­ тем. В статически неопределимых системах эти величины позволяют оп­ ределить перемещения от ползучести и усадки бетона в основной сис­ теме по направлениям действия лишних неизвестных. Сами лишние неизвестные будут переменны, и в общем случае закон их изменения во времени будет разным для каждой их них. Для упрощения расчетов можно считать, что все лишние неизвестные, дополнительно возника-

230