книги / Проектирование транспортных сооружений

Величины I if I и R в формулах (8.38), (8.39) принимают для рас­ сматриваемого 1-го участка балки, но индекс г для упрощения у них опущен.

В том случае, когда в пределах рассматриваемого участка внешняя на­ грузка отсутствует, в формулах (8.38), (8.39) также необходимо при­ нять Р - Т - 0.

Приведенные формулы (8.38), (8.39) позволяют определить внут­ ренние усилия в любом сечении криволинейной балки при воздейст­ вии внешних нагрузок как на участке с рассматриваемым сечением, так и на других участках. Величины К;, К/+1 и Z,, Z/+1 дают, кроме того, углы закручивания и прогибы по концам /-го участка.

Изложенная методика может быть использована для построения ли­ ний влияния внутренних усилий, а также прогибов и углов закручива­ ния в необходимых сечениях. При расчете пролетных строений, име­ ющих в поперечном сечении несколько балок с жестким сечением, внешние воздействия можно определить с учетом коэффициента попе­ речной установки.

На основе приведенной методики составлены таблицы 171 линий влияния от единичных усилий, движущихся вдоль балки пролетного строения. Они охватывают случаи криволинейной консоли, однопролетной'балки, двух-, трех- и четырехпролетных неразрезных балок с различной кривизной, жесткостью и способами закрепления их на опорах против закручивания. С помощью этих таблиц можно рассчи­ тывать криволинейные балки при R > 4,5 В, где В - - ширина пролет­ ного строения, а также спиральные балки.

8.4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОРОБЧАТЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА С КРУЧЕНИЕМ

Действующими нормами на бетонные и железобетонные конструк­ ции 1241 регламентируется расчет по прочности элементов только пря­ моугольного сечения с ненапрягаемой арматурой, работающих на кру­ чение с изгибом. Вместе с тем в сечениях современных предваритель­ но напряженных железобетонных коробчатых пролетных строений эстакад и особенно криволинейных в плане возникают значительные крутящие моменты как от временных, так и от постоянных нагрузок,

ипоэтому расчеты по предельному состоянию первой группы с учетом кручения весьма необходимы. В качестве возможного варианта про­ верки прочности коробчатых сечений при совместном действии изгиба

икручения можно рассматривать изложенную ниже методику [29].

Как показывают расчеты, отношение крутящего момента к изги­ бающему от постоянных и временных нагрузок в сечениях пролетных строений криволинейных эстакад составляет 0,3- 2,0.

Предельный крутящий момент Ти, воспринимаемый сплошным прямоугольным или коробчатым бетонным сечением без его работы на изгиб, можно определить исходя из предположения, что бетон в мо­ мент разрушения ведет себя как пластичный материал, а главные рас­ тягивающие напряжения в пределах всего поперечного сечения по-

201

Рис. 8.8. Схемы к определению момента сопротивления сечений при пластическом кручении

стоянны и равны пределу прочности бетона на растяжение Rbt. Тогда можно записать, что

В формулах (8.41) и (8.42); Ь и h — соответственно меньший и больший раз­ меры прямоугольного поперечного сечения (см. рис. 8.8, а) или открытых частей коробчатого сечения (рис. 8.8, б)\ В и Н — соответственно меньший и боль­ ший внешние размеры замкнутой части коробчатого сечеиия (см. рис 8.8, б): bd и hd — соответственно меньший и больший внутренние размеры замкнутой части коробчатого сечения (см. рис. 8.8, б).

Чтобы определить момент сопротивления Wk по формуле (8.42) для трапецеидального коробчатого сечения, оно должно быть приведено к сечению с вертикальными стенками.

Предельный изгибающий момент, воспринимаемый железобетонным сечением без его работы на кручение, определяют по формуле расчета на прочность изгибаемых элементов

Мц Нь Ь\ (Л<| —0,5х) VRb (b'f —b)h'f (h0—0,5Л^) f Rsc Л' (Ло, —a's) f-

х — высота сжатой зоны; Л0 — рабочая высота сечения; bf, hf — ширина и толщина плиты в сжатой зоне; Rsc — расчетное сопротивление ненапрягаемой

арматуры на сжатие; As— площадь поперечного сечеиия ненапрягаемой ар­

ложенной в сжатой зоне; Ар— площадь поперечного сечеиия напрягаемой

арматуры в сжатой зоне; ар— расстояние от центра тяжести напрягаемой арарматуры в сжатой зоне до верхней грани сжатой зоны (рнс. 8.9, а).

202

h0—h—а,

где h — полная высота сечения;

Rs А&о.ц-f- Rp АР йр

Rs /4«~Ь^?р Ар

as, Op — расстояние от растянутой грани до центров тяжести иеиапрягаемой и напрягаемой арматуры в растянутой зоне.

Высоту сжатой зоны бетона х определяют из уравнения, характе­ ризующего равенство нулю проекций всех внутренних сил в сечении на продольную ось пролетного строения или (в общем случае) элемен­ та, т. е.

где Rs, Rp — расчетные сопротивления иеиапрягаемой и напрягаемой ар­ матуры в растянутой зоне; /4«, Ар — площади поперечного сечения иеиапрягае­ мой и напрягаемой арматуры в растянутой зоне.

по формуле (8.43) следует считать Ь ~ Ь\. При этом отношение x/h0 должно соответствовать требованиям СНиП 2.05.03-84.

Предположим, что имеется коробчатая балка, находящаяся под воздействием изгибающего и крутящего моментов. При преобладании крутящего момента над изгибающим характер разрушения балки будет соответствовать представленному на рис. 8.10, а. Если изгибающий момент больше крутящего, то картина разрушения балки будет такой, как показано на рис. 8.10,6.

Рис. 8.9. Схемы к определению предельного изгибающего момента

203

Рис. 8.10. Типы разрушения коробчатой балки, подверженной действию изгибаю­ щего и крутящего моментов

При первом типе разрушения главные растягивающие напряжения равны или превышают предел прочности бетона на растяжение R h{, т. е.

гДе аЬх — продольные нормальные сжимающие напряжения в бетоне от дей­ ствия изгибающего момента и сил предварительного напряжения; аьу ~ нормальные напряжения в бетоне в направлении, нормальном к продольной оси; т*, тq — касательные напряжения от кручения и от изгиба.

Записав выражение (8.46) относительно ть получим

Если учесть, что касательные напряжения от кручения

тг- Т w„,

а прочность бетона на растяжение

RbtTv/Wh,

выражение (8.47) после преобразований перепишем в виде

204

Wfr/Wku и °iJR b являются переменными величинами. При крутильном характере разрушения коробчатой балки поперечные сечения работают как цельные (см. сечение А — А на рис. 8.10, а), передавая касатель­ ные усилия Q через трещины на хомуты, и в этом случае момент сопро­ тивления можно считать равным Whu. При изгибном характере разру­ шения крутящий момент воспринимается только сжатой зоной бетона (см. сечение Б — Б на рис. 8.10, б), и момент сопротивления Wk мож­ но считать практически равным нулю.

Основываясь на двух последних положениях, представляется воз­ можным допустить, что момент сопротивления на кручение Wh ли­

где <Jbx — нормальные напряжения от сил предварительного напряжения, определяемые средним значением между верхними и нижними фибровыми напря­

жениями (а"Л Ь а®Л)/2 при воздействии внешнего крутящего момента и рав­ ные верхним фибровым напряжениям о\х при воздействии только изгибающего момента.

При одновременном воздействии внешних крутящих и изгибаю­ щих моментов

Подставляя выражения (8.49) и (8.50) в формулу (8.48), получим выражение, характеризующее условие прочности на растяжение ко­ робчатой (или прямоугольной) предварительно напряженной балки в виде

(8.51)

Rbt

205

При втором типе разрушения в сжатой от изгиба зоне происходит раздавливание бетона в результате достижения главными сжимаю­ щими напряжениями предела прочности бетона на сжатие Rb. В фор­ мализованном виде последнее положение представляется так:

(8.52)

В формуле (8.52) отсутствуют касательные напряжения от изгиба тч, поскольку для пролетных строений эстакад они не оказывают су­ щественного влияния на прочность верхней плиты, по которой проис­ ходит разрушение. Преобразуя формулу (8.52), так же как формулу (8.46) при получении выражения (8.51), будем иметь:

Выражения (8.51) и (8.53) дают возможность при заданном зна­ чении М /М ц определить отношение Т1Ти, при котором соблюдаются условия прочности рассчитываемого сечения на растяжение и сжатие. Другими словами, при известном изгибающем моменте М прочность рассматриваемого сечения будет обеспечена, если крутящий момент Т не превышает значений, получаемых по выражениям (8.51) и (8.53).

Содержание формул (8.51) и (8.53) весьма удобно раскрыть на конкретном примере. Рассмотрим случай, для которого R^Rbt = М, = 0, аЬы = 0, а

е = abjR b является переменной величиной. При заданных параметрах выраже­ ния (8.51) и (8.53) представляются графиками, приведенными на рис. 8.11.

В конструкциях без предварительного напряжения, т. е. когда е = 0, раз­ рушение, происходит за счет кручения при достижении бетоном предела прочно­ сти по главным растягивающим напряжениям. При отношениях М/Ми ^0,3 крутящий момент оказывается по значению больше предельного, а при М/М и> > 0,3 происходит уменьшение части сечения, воспринимающей крутящие мо­ менты, и поэтому отношение Т/Ти также уменьшается. В том случае, когда М =

=-Ми, сечение ие воспринимает крутящий момент совсем.

Вконструкциях с предварительно обжатым бетоном, т. е. когда е > 0,

крутящий момент, при котором обеспечивается прочность сечений, увеличива­ ется. В то же время увеличение уровня предварительного напряжения ведет к приближению главных сжимающих напряжений к расчетному сопротивлению

Резко уменьшаются крутящие моменты, при которых обеспечивается прочность

сечений (см. штриховые кривые иа рис. 8.11). При аьх = Rb сечения не могут воспринимать никаких воздействий.

Если при расчетах на прочность сечений по растяжению одновре­ менно с продольной арматурой учитывать хомуты, то соответствующее условие запишется так:

206

где коэффициент г] учитывает влияние поперечной арматуры. Из рас­ смотрения условия равновесия внутренних и внешних сил при круче­ нии железобетонного элемента получим

Для пролетных строений железобетонных эстакад можно принять m —0,5, а угол наклона трещины — равным 45°.

При одновременном воздействии на сечение изгибающего и крутя­ щего моментов, а также поперечной силы и с приближением характера разрушения железобетонной коробчатой или прямоугольной балки к изгибному влияние поперечной арматуры на восприятие крутящих моментов уменьшается. Можно указать граничное отношение М'/Ми, при котором меняется характер разрушения балки от кру­ тильного к изгибному. Для этого в условии прочности (8.51) необхо­

димо принять аьх =■- 0. Т, =- О и Т!Ти = 1. Тогда получим

В зависимости от характера разрушения балки, определяемого диа­ пазоном изменения М'Ми, коэффициентг)следует вычислять по различ­ ным формулам. При крутильном характере разрушения, т. е. когда

< 1, что соответствует условиям изгибного характера разрушения, то становится справедливой формула

Ми

При проверках прочности железобетонных сечений по сжатию влия­ нием поперечной арматуры можно пренебречь, т. е. использовать выражение (8.53).

207

8.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА НА ИЗГИБ

Поперечные сечения современных эстакад и путепроводов нередко имеют несимметричную форму. При определении их геометрических характеристик для расчетов на изгиб или внецентренное сжатие не удается воспользоваться готовыми формулами, а приходится проводить сложное интегрирование. Задача упрощается, если для определения геометрических характеристик сечений применить методы векторной алгебры 161. В этом случае можно получить общие формулы для сече­ ний любого вида, что облегчает составление программ расчета на ЭВМ.

Заменим контур заданного сложного поперечного сечения (рис. 8.13, а) ломаной линией (рис. 8.13, б). Координаты точек перелома линий-узлов контура считаем заданными в произвольно принятой прямоугольной системе координат v", w" на плоскости сечения. Это значит, что для каждой точки i известен ее радиус-вектор rf. Если

iплотная но растяжению; штриховая но сжатию

208

в сечении имеются полости или отверстия,™ их необходимо соединить условными разрезами и внешней гранью так, чтобы можно было полу­ чить непрерывный контур сечения. Все узлы на полученном контуре нумеруют от первого i = 1 до последнего т , который считают совпа­ дающим с первым (см. рис. 8.13, б).

Площадь треугольника, заключенного между радиусами-векто­

Вектор А( направлен перпендикулярно плоскости сечения и имеет различный знак в зависимости от направления движения от точки i к точке i -f- 1, а модуль его равен площади треугольника 0, /, / + 1.

При обходе контура площадь треугольника, заключенного между двумя радиусами-векторами, получается положительной, если направ­ ление обхода не совпадаете ходом часовой стрелки (например, точки 28и 29) и отрицательной в противном случае (например, точки 31 и 32). Если просуммировать площади всех таких треугольников, обойдя весь контур сечения, получим вектор площади поперечного сечения:

где А — площадь рассматриваемого сечения.

Статический момент площади отдельного треугольника St отно­ сительно принятого начала координат численно равен этой площади, умноженной на расстояние от центра тяжести до начала координат. В векторной форме можно записать

Вектор Sbi расположен в плоскости треугольника 0, i, i -{- 1 и на­ правлен перпендикулярно медиане из вершины о (см. рис. 8.13, б). Чтобы направить вектор статического момента треугольника по на­ правлению к его центру тяжести без изменения его значения, следует произвести векторное умножение произведения (8.61) на единичный вектор п (0,0,1), перпендикулярный плоскости сечения. Тогда вектор статического момента треугольника

Суммируя отдельные векторы Sbi при обходе всего контура сече­ ния, так же как для определения его площади, и заменяя Аг выраже­ нием (8.59), получим вектор статического момента всего сечения, на­ правленный в его центр тяжести:

, т ~ 1

sb = — 2 n x [(ri+ i-i+i)x (ri x ri+1)]. (8.63) l = 1

209