книги / Проектирование транспортных сооружений
..pdfИзгибно-крутильные факторы 0, |J и Тх распространяются вдоль пролетов более плавно, чем Вюи и поэтому расчетная схема в ви де бесконечно длинной балки к ним неприменима. Для построения ли ний влияния 0 и р можно воспользоваться приближенными формулами:
л. в. |
0 |
I* |
( |
I |
|
2& EI- |
1 |
2 |
|||
|
|
||||
|
|
0) |
\ |
(7.24) |
|
л. в. Р |
|
|
|
||
|
&EI- |
[ |
2 |
||
|
|
0) |
|
|
Расчет на стесненное кручение железобетонных пролетных строе ний с переменным сечением, а тдкже балочно-консольных и рамных систем можно найти в специальной литературе [2].
7.3. РАСЧЕТ НА ДЕФОРМАЦИЮ КОНТУРА
Деформации контура поперечного сечения, происходящие под действием группы сил (см. рис. 7.2, г), вызывают появление дополни тельных нормальных и касательных напряжений сг,, и тп, которым соответствуют внутренние усилия, называемые деформирующим би моментом £ п и деформирующим моментом Мп. Кроме того, вследст вие изгиба стенок и плит появляются поперечные изгибающие моменты М8 и соответствующие им нормальные напряжения ст„.
Для задачи о деформации контура коробчатых сечений справедли во следующее дифференциальное уравнение угла искажения:
VIV<x)+4A.„ v U )- |
(7-25) |
и |
|
где у (ж) — угол искажения сечеяия (см. рис. 7.2, г). |
= 4у / я ? — — : |
рактеристика сечения; EIR — рамная жесткость поперечного сечения; m (х) — интенсивность деформирующей нагрузки.
Геометрическая характеристика сечения /„ в уравнении (7.25) пред ставляет собой интеграл вида
1 п = $ “ и<*/4, |
(7.26) |
где cOjj —главная координата, аналогичная со, характеризующая закон деплаиац ионных перемещений от деформаций контура.
Как и со, величина соц является секториальной. Решение диффе ренциального уравнения (7.25) по методу начальных параметров имеет вид
v' (0) |
в п (0) |
м п (0) |
VW = Y(0)Ах+ \ ^ В |
х- - ^ - — |
Сх- — — — Dx+ r ( x ) , (7.27) |
ЛЦ |
Allc i H |
ЛИСМ1 |
где — ch А,ц х cos Xjj х; |
|
|
171
Вх~ — (ch Яи х sin Хп x+ sh Яп x cos Яп x);
Cx~ — sh |
x sin |
Xu x: |
Dx -~ — (ch Xjj x sin Яи .v |
^h |
x cos >4I .v); |
У (0)» У' (0), Bn (0) н Mu (0) — начальные параметры: угол искажения, его
первая производная, деформирующий бимомент н деформирующий момент; у* (л) — член, учитывающий влияние внешней нагрузки.
Выражение для деформирующего бимомента Ви получается двой ным дифференцированием уравнения (7.27) и при учете зависимости
( * ) = - £ /„ у"(х). |
(7.28) |
Выражение для деформирующего момента получается |
из предыду |
щего: |
|
dBu {х) |
|
Л*ц(*) = ----Z------* |
(7-29) |
При определении у (х), у ' (х), Вп (.х), М п (х) начальные параметры находят из граничных условий, принимаемых по аналогии с изгибае мой балкой, лежащей на упругом основании (табл. 7.4).
Нормальные и касательные напряжения от деформаций контура определяют по формулам, структура которых такая же, как и при рас-, чете на стесненное кручение:
он |
41 - |
--- (О, |
|
|
(7.30) |
тII |
Mil Sl] |
/ и/ |
|
где Sjj — геометрическая характеристика сечения, аналогичная S—. |
|
|
Т аб л и ц а 7.4 |
Расчет на деформацию контура |
Расчет на изгиб балки на упругом |
основании |
|
Тип опорной диафрагмы |
|
Граничные |
Способы закрепления |
||
|
|
|
условия |
опорных сечений |
|
Диафрагма |
отсутствует |
|
у' = 0 |
Свободное опиранне |
|
Гнбкая из |
плоскости |
и |
Bn = 0 |
Шарнирное опнрание |
|
-> |
о |
||||
жесткая в плоскости |
и |
оц = 0 |
Жесткая заделка |
||
Жесткая в |
плоскости |
у= 0 |
|||
из плоскости |
|
|
у '= 0 |
|
|
Граничные
условия
О О ! II II 5-э
У — 0 м = о
у= 0 ф = 0
Примечание, ф —угол поворота; у —прогиб; М -- изгибающий момент.
172
mSj |
^ |
7
А
5В-
1 |
1 |
“ |
£7 |
N J |
Ы |
Рис. 7.8. Поперечное сечение пролетного строения и эпюры к расчету на деформацню контура
Ее вычисляют по формуле
<j>Sjj d(i)jj
$
где Sn = J (о,,<M:
о
d<oil- = r9 ds\
где rp — перпендикуляр, опущенный нз так называемого центра искажения на соответствующий элемент поперечного сечения.
При вычислении геометрических характеристик, как и при расчете на стесненное кручение, необходимо из поперечного сечения пролетного строения выделить контур, ограниченный срединными линиями, ко торые проведены в каждом элементе сечения (рис. 7.8, а).
Ординаты эпюры главных секториальных координат (рис. 7.8, б)
определяют по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ни ‘ |
00 |
|
> |
wn2“' |
’ |
(7.31)- |
|
‘ 4(1+р) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
з + « ; |
' Но |
atв |
а |
|
|
|
|
где р = |
а |
—---- ; |
" |
btc |
|
|
|
=з + « £ ; |
btc |
|
|
|
|||
После определения ординат эпюры шп можно вычислить характе
ристику |
/„ |
по |
формуле |
|
|
|
|
|
а2 Ь2 |
3+ 2 (а*+ «£)+«* а* |
(7.32) |
|
|
|
48 btc |
6+(«*+«*) |
|
Рамная |
жесткость |
|
|
||
|
|
|
|
24Е1С |
(7.33) |
|
|
|
|
£/„ = |
|
|
|
|
|
ЪЬ ’ |
|
где |
/ с = |
tl |
— момент инерцнн стенкн сечення; |
|
|
173
|
Iв 4~1н |
|
|
It - |
1в+ 1и , „ l> |
lc |
|
7ВIH |
|
||
|
---------)-b— |
4 |
|
|
|
|
|
IB= <в/12; /н = /н/12 —моменты инерции соответственно |
верхней н нижней |
||
плит сечения. |
|
|
|
Эпюра поперечных |
изгибающих |
моментов |
представлена на |
рис. 7.8, в. Она распространяется только в пределах замкнутой части контура. Из расчета элементарной рамы ординаты эпюры Ма опреде ляют следующим образом:
Мц — |
EIR |
(7.34) |
“ у; Маг— "П2 Л4Л1, |
||
2 (И- Лг) |
|
|
где у — угол искажения в рассматриваемом сеченнн пролетного строения;
a |
In |
3-1-------- |
|
Ь |
I. |
a |
Ir |
3+------5 |
|
b |
/„ |
Определив ординаты эпюры ш,,. вычисляют ординаты эпюры Su,
а затем и S,, (рис. 7.8, г). Для |
характерных точек поперечного сече |
||||||
ния ординаты эпюры Su/| <о1Ц| |
вычисляют по следующим формулам: |
||||||
|
- |
ав Лв |
, ,г |
|
Лс |
|
|
|
s ih = — 4— + (5-4Р)— ; |
|
|||||
|
« I - 1 |
|
|
Ас _о Ли |
|||
|
|
|
|
|
12 |
Р |
12 ’ |
|
|
|
|
« I - 1 |
|
|
|
|
|
S'13~ |
|
4ав |
Л"; |
|
|
|
_ |
(«в—1) (Зав+ 1) . |
|
||||
|
|
|
|
16ав |
|
Лв> |
|
|
5„5 = ( 5 - 4 Р ) ^ - Р ^ - ; |
|
|||||
|
SII6 = ( i + 5 P ) - ^ - P ^ ; |
|
|||||
|
5И7= - ( . - 2 Р ) - ^ - Р- ^ ; |
|
|||||
|
С |
Ми .. |
|
0Rv_dc_ |
Лн |
’ |
|
|
^П8 |
4 (^ |
|
^Р) |
12 |
12 |
|
«о |
Ав—а« tBi |
—о^я» |
Ас—Wc- |
|
|
||
где а ,= — |
|
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
174
При расчетах пролетных строений эстакад целесообразно исполь зовать готовые формулы, по которым могут быть вычислены у. #ц. Ми и /И, в характерных сечениях по длине пролетов. Такие формулы приведены в табл. 7.5—7.6 для однополетных и неразрезных балочных расчетных схем. Эти формулы предназначены для пролетных строе ний, у которых величина X.n / < 4. При этом тип опорных закреплений расчетных схем зависит от типа опорных диафрагм таким же образом, как и при расчете на стесненное кручение. Во всех случаях загружения и закрепления концов коробчатых балок формулы для вычисления ординат эпюр получены при следующих упрощениях:
sh 2Я,,, I ± sin 2Я,,, I ж sh 2А,ц /; ch2Х|| / ± cos 2Л,|| / = ch 2%.[] /;
|
sh Я... / |
|
----- ---- as 1. |
|
ch Л.[j l |
|
Таблица 7.5 |
Схемы загружении и эпюры |
Формулы |
175
Схемы загруження и эпюры
. mb
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 7.5 |
||
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|||
|
/ИЯ,, |
ch Ям /-)-cos А.,] I —2 |
|||||||
V(0)~ 2EIr |
|
sh Л.и / -j sinА.и I |
|
||||||
в„ (0) |
М |
chXjj/—cosAu/ |
|
||||||
4^i|| |
sh |
| /"I* sin A.]| / |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 . ^li1 |
||
|
|
|
|
|
|
sh-----sin------ |
|||
Я„(/ |
2)- |
|
|
M_____ 2_____ 2_ |
|||||
|
|
a( | |
|
sh Яп /+ sin Яп l |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
M |
|
||
|
|
MtA0)---± — • |
|
||||||
Y(/ 2) —El, |
|
|
|
__2A_____ \ |
|||||
|
|
|
sh ЯI /“f* sin |
/ J |
|||||
A - sh- |
|
|
|
lu 1 |
. |
1 |
^ii 1 |
||
|
|
|
----- 1-ch-----sin------ |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
m |
|
sh Я.Ц/—sin Яц / |
||||
11^ |
|
|
2Xfj |
|
sh Я,,/+ sin А.Цl |
||||
(12): |
|
Я^ |
shЯ,, /-f-sin Яп / |
||||||
11 |
’ |
|
|||||||
|
Я,, / |
|
|
Яп l |
|
ku t |
Яи l |
||
В -sin-----ch------—cos----- sh------ |
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
M„(0) |
tit |
ch Я[ j l |
cos Ял / |
||||||
Я]| |
sh Я|| /-f-sin Яп l |
||||||||
|
|
||||||||
Для сечений коробчатых пролетных строений, у которых Ям/ > 2, такие допущения приводят к ошибкам в вычислениях, не превышающим
2 %.
Усилия и перемещения от деформаций контура в сечениях коробча тых пролетных строений эстакад могут быть определены путем загружения действующими нагрузками соответствующих линий влияния. Для однопролетной расчетной схемы с шарнирными для депланаций опираниями по концам формулы линий влияния начальных парамет ров у' (0), у' (7), Afn (0) и Мц (/), а также у, Вп и Мц в произвольном сечении и приведены в табл. 7.7. При этом через S в табл. 7.7. обозна чена величина, определяемая формулой
s= -j- [(shЯи I cos Яп /)*2+(ch ЯпI sin Ям /)2]. |
(7.35) |
176
|
|
|
|
Таблица 7.6 |
|
Схемы загружеиия и эпюры |
Формулы |
|
|
||
|
у(1 2) |
Е1и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (sh Xj, /—sinX|, /) (ch A,,, /-j-cos A( | /)— |
||||
|
4 (ch Aj| /--1-cos A,, /)2 |
|
|||
|
-(ch A,] /—1) (1 —cos Аи /) |
|
|||
|
4 (ch Aj, /-(-cos Ап/у2 |
] |
|||
|
|
|
'■и * |
л,,, |
|
|
M |
|
sh —-—sin---- |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2An |
|
ch Aj|/-f cosAj| / |
|
|
|
p/\ |
|
2 sh A|j/-(-sin A[| l |
||
|
|
|
ch Aj|/ + cosAn / |
||
|
|
|
AM/ |
А-ц 1 |
|
|
ch —-— cos —-— |
|
|||
|
M\\ 1(0) |
eh A,, /-|-cos A,, / |
’ |
||
sinАц / (ch Aji /—l)4-sh A,| /(1 —cos Ац I1)
'sh 2A11 /
M < .P(/ 2 ) - - y >
sin Ajj / (ch Au /—l)+ sh Аи /(1 —cosAu /)
|
|
sh 2Ац / |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
ЩГЮ = — Г |
|
|
|||
Ац/ |
|
1 |
^n / |
. |
Aji/ |
2 ch-----cos------- f-sh-----sin |
|||||
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
ch AM/-(-cos An/ |
|
|
|||
|
M |
sh-----sin------ |
|||
^ii' (°)== |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
ch A„ H-cos A„ / |
||||
177
Схемы загруженни и эпюры
m
Окончание табл. 7.6
|
Формулы |
|
... |
X|I / |
Xn / |
2ch------cos------ |
||
m |
2 |
2 |
eir |
ch Xn / -frcos X]] / |
|
11 f |
2 (sh X„ 1 — sin X„ /) |
|
----sin |
||
2 |
|
|
2 (ch Х,, /4-cos лп /)
m sh Хм l —sin Хп / 4X(, ch AM/-f-cos Xn /
m вц('-'2>- — X
Лп
X,,/ Х„/
4sh —-— sin —-— (ch Хп / -f cos Хм /)—
4 (ch X|, H-cosX[j /)2
X|| / Xj| /
— ch ~ j ~ cos~y~ (sh 1" sin x" 1) 4(chXn 1-- cos X,J /)2
|
m |
sh Xj j /—cos XM/ |
|
|
2X„ |
ch Xjj /■-•- cos Xjj / |
|
,м‘;>(о , |
m |
3 ch Xjj l-\- sin X|( / |
|
“ |
ch XM/4-cos Xt| / |
||
|
|||
|
|
||
|
m |
sh Xn / — sin Xn / |
|
|
4XM |
ch Xjj /4 COS Xjj/ |
m /И>f» (/) - 4XM
sinAn / sh Хл /
sh XJ j /--sin Xjj / Ch X|| l 4 cos Xjj l
cosX,,/ ^ chX,,/
178
|
|
|
|
Таблица 7.7 |
|
Линии влияния |
|
|
Формулы |
||
Y'(0)=- |
|
1 |
|
Dt Bi-X—Bi Di—X |
|
|
|
|
|
||
Mi £/ii |
|
||||
Y' (0 ----- |
|
1 |
D/ Bx—B\ Dx |
||
Mi E‘n |
S |
||||
|
|||||
M,,(0) |
|
В/ Bi-x+4Di Dt- X |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
BiBx {-4Dt Dx |
||
|
|
|
0 |
S |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
[Bi-u (Di Bx—Bi Dx)— |
|||
SXf, Elu |
|||||
|
|
|
|
Bx+ Wt Dx)]; |
|
1 |
-IBi-u (B, Bx-\-Wi Dx)-j- |
||||
B,,= SX, |
|||||
+ 4D,_„(D, Bx-B t D*)]; |
|||||
44,,: --- ^[Л,_и(ВгВ*+40; Dx) + |
|
+ 4C,_U(D, В*-Вг Од.)]; |
|
|
и |
I |
|Вц (D, B,_.v —fl( 0;_д.)— |
|
|
•^Mi £/ц |
|
-D u (S( B/-.v t-40; D,_,)J; |
|
1 |
[Bu (flf B/-.X r40; D(_y)+ |
SJl11 |
|
+ 4DU(О/ fl,_v—В/ 0,_д)]; |
|
Л*1Г |
[Л„ (В, B/_.v.-p4D; 0,_л.) + |
+4Си (О, Bj—д*—В; 0(_т)]. |
|
При построении линий влияния в сечениях балочно-неразрезных коробчатых пролетных строений используется тот же подход, что и при стесненном кручении.
Если для сечений коробчатых пролетных строений величина Mi / > >■ 4, то расчетная схема несущей конструкции при расчете на деформацию контура может быть представлена по аналогии с бесконеч-
179
но длинной балкой на упругом основании. При расположении сосредо точенной нагрузки в середине пролета или по крайней мере на расстоя
нии от одной из опор более чем на |
эпюры угла |
искажения у и уси |
лий 5ц и М п будут иметь вид, |
показанный на |
рис. 7.9. Формулы |
для построения эпюр указанных факторов будут следующими:
V(-'•) |
= |
/ИХ,, |
11 v(COS X,, -Vf sin X,, .v); |
|
||
е |
|
|||||
„ |
|
M |
Л...ЛГ . |
|
(7.36) |
|
|
-= — ----e |
|
(cos A,, a- —sin A,, jr); |
|||
|
|
4A,, |
|
|
|
|
|
|
|
M |
—Xiix |
-l |
|
|
.Мм |. г ) - у « |
" |
eosXu x. |
|
||
Если в формулах (7.36) считать М ~ 1, то получим формулы ли ний влияния соответствующих факторов.
Следует отметить, что в отдельных случаях в железобетонных про летных строениях эстакад предусматривают, помимо опорных диа фрагм, еще и промежуточные диафрагмы. Такие диафрагмы обычно имеют высокую жесткость в своей плоскости и поэтому исключают де формации контура в том сечении, где они установлены. В расчетной схеме диафрагмы могут быть представлены жесткими опорами или заделками в зависимости от того, допускают они передачу депланаций из одного отсека в другой или не допускают. Расчет на деформацию контура пролетных строений с использованием таких расчетных схем
был рассмотрен раньше.
Пример расчета. Задано железобе тонное балочно-иеразрезное коробчатое пролетное строение эстакады постоян ного сечения (рис. 7.10, а, б). Требует ся определить в середине центрального пролета нормальные напряжения от из гиба. деформации контура и попереч ных изгибающих моментов от действия временной нагрузки НК-80.
Проводя срединные лннни в эле ментах поперечного сечения, выделяем его контур (рнс. 7.10, в). Верхняя плнта в пределах свесов имеет переменную толщину. Ее приведенную толщину по лучают делением площади ее попереч
ного сечения на длину. Она составляет 0,15 м.
Площадь поперечного сечения про летного строения
Рис. 7.9. Эпюры угла искажений н |
А = о 0 tB-\-2btc-{-atH-0,15-10,8+ |
внутренних усилий в расчетной схеме |
-)-2-0,39-1,70-(-5,0-0,18 = 3,85 м*. |
в виде бесконечно длинной балки |
180