книги / Управление большими системами. УБС-2017
.pdfУправление организационными и социально-экономическими системами
1. Введение
Задачи оптимизации и управления системами с потоками имеют многочисленные содержательные интерпретации и практически важные приложения. Среди них можно выделить транспортные (в том числе водные, газотранспортные, нефтепроводные) энергетические телекоммуникационные системы, системы производства с потоками факторов производства. На фоне большого числа моделей и методов управления потоками задачам управления структурой потоковых систем уделяется сравнительно мало внимания. Исключением являются задачи оптимизации структуры телекоммуникационных и компьютерных сетей, основанные на методах теории массового обслуживания. Между тем, очевидно, что эффективное управление структурой потоковых систем расширяет область поиска оптимальных решений и снижает затраты на функционирование избыточных неизменяемых структур. Возможность управления структурой лежит в основе адаптивности всех систем, обеспечивая их эффективное функционирование в условиях внешних и внутренних изменений.
Среди авторов содержательных математических моделей оптимизации и управления иерархическими структурами можно выделить Barnett W.P. и Carroll G.R. [16], Новиков Д.А. [1, 10], Воронин А.А. и Мишин С.П. [3, 4], Губко М.В. [6, 7, 8, 19], Рожихин П.В. [11, 13, 13], Юдицкий С.А. [15] . Следует отметить также результаты исследования оптимальности проектируемых структур в технических системах Sheu C.Y. и Prager W. [21], Yang W.H. [22], Губко М.В. [18], Сафронов В.В. [2], Цирлин А.М.[14].
Процесс структурного синтеза производственных систем традиционно делится на следующие три этапа: определение технологии, построение структуры и механизмов управления. При очевидных достоинствах подхода также очевидны его ограничения. Во-первых, в условиях глобального инновационного процесса период стационарности технологической структуры постоянно сокращается, и частые изменения техноструктуры происходят при постоянной организационной структуре и механизмах
2 |
241 |
30816 |
Управление большими системами. Выпуск XX
управления. Во-вторых, механизмы функционирования многих предприятий существенно ограничены внешними экономическими, институциональными, социальными факторами, затрудняющими процесс преобразований. Предположение о стационарности структуры производственной подсистемы не позволяет строить другие подсистемы предприятий, облегчающие ее перестроения, что снижает потенциал их адаптивности. Указанные ограничения актуализируют задачи оптимизации и оптимального управления технологической структурой предприятий.
Адаптационные свойства предприятий учитываются в макроэкономической производственной функции (ПФ) неявно через свойство эластичности ПФ по факторам производства, которое можно объяснить как неявным учетом многообразия эффективных неадаптивных технологий, так и адаптивными свойствами последних. В микроэкономическом моделировании, где высокоспециализированный вид ПФ позволяет вычленять роль отдельных элементов технологической (и потенциально — управленческой) структуры, традиционно предполагается неизменность структурно-функциональной модели предприятий, что также не позволяет напрямую анализировать адаптационные их свойства. Использование структурнозависимых производственных функций в задачах структурной оптимизации позволяет исследовать обусловленность адаптационных процессов предприятий от параметров их внутренней и внешней среды.
2.Оптимальный простой преобразователь
Вкачестве элементарной ПФ каждого элемента производственной подсистемы предприятия с неизменной технологией (простого преобразователя — ПП) используется ПФ Леонтье-
ва [9]: |
= min |
( 1 |
, |
2 |
, . . . , |
) |
, |
||
(1) |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
где — величины аргументов — трансформационных факторов производства, — технологические коэффициенты, — нормирующий множитель, выбираемый так, чтобы максимальное зна-
242 30917
Управление организационными и социально-экономическими системами
чение ПФ равнялось сумме величин ее аргументов (например,
∑
= ). Использование - факторной модели позволяет учи-
=1
тывать векторную природу макроэкономических факторов производства.
Задача оптимизации (1) имеет вид задачи ЛП [9]:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
→ |
|
|
, − |
+ 6 0, = 1, . |
|||||||
|
||||||||||||
|
{ |
|
} =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и очевидное решение |
= |
∑ |
|
, = |
. То есть ПФ оп- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|||
тимального ПП в нашем случае равна |
сумме ее аргументов. На |
|||||||||||
|
∑ |
|||||||||||
рис. 1 приведена структурная схема ПП, на рис. 2 графики ПФ ПП (при = 3).
AA |
|
|
p |
p |
p |
R1 |
R2 |
|
|
Rm |
|
A |
AA |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||
|
AU |
? |
|
|
|
|
|||||
|
|
? |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
Рис. 1. Простой преобразователь |
|||||
Очевидно, что в условиях устойчивых межфакторных диспропорций или флуктуаций трансформационных факторов среднее значение ПФ ПП значительно ниже ее максимума. Свойство эластичности по аргументам (входам) появляется в специализированном преобразователе (СпП) — последовательности нескольких вспомогательных ПП, производящих при необходимости недостающую часть одного из факторов производства для
4 |
243 |
3108 |
Управление большими системами. Выпуск XX
a) |
b) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0.5 |
|
0.5 |
|
1 |
0 |
|
|
|
||
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0.5 |
|
0.5 |
|
1 |
0 |
|
|
|
2 3
Рис. 2. График (1, 2, 3) a) 1 = 2 = 3 = 1; b)
1 = 1; 2 = 2; 3 = 3.
достижения максимальной эффективности (последнего в цепочке) базового ПП, отвечающего основному производству. Эластичность СП по входам растет вместе с длиной цепочки до достижения максимума при некоторой ее (конечной) длине.
3.Задача оптимизации структуры специализированного преобразователя в условиях определенности
3.1.Постановка задачи оптимизации структуры специализированного преобразователя в условиях определенности
Вкачестве математической модели структуры производственной подсистемы используются полные -дольные иерархические графы (универсальные преобразователи — УП [20]) и порожденные подграфы [5] (например, специализированные преобразователи – СпП). Один из таких СпП приведен на рис. 3.
Определение 1. Пусть и непустые множества вершин графа ( , ), такие что ∩ = . Обозначим через [ , ] множество дуг, таких что для каждой вершинысуществуют дуга ( , ) , = 1, | |.
244 |
3119 |
Управление организационными и социально-экономическими
Управление большими системами. Выпуск XX
системами
Определение 2. Специализированным преобразователем
(СпП) будем называть граф ( , ), где
= { { } =1 {{ } =1} =1 },
1 = {[ {{ } =1} =1, { } =1], [{ } =1, { } = +1
]}.
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R11 |
R12 |
|
|
R1m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
|
R22 |
|
|
|
R2m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R31 |
|
R32 |
|
|
|
|
|
R3m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
|
D4 |
|
R41 |
|
|
R42 |
|
|
|
R4m−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn1 |
|
Rn2 |
|
Rnm−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dn |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nб
Рис. 3. Структура специализированного преобразователя
Структурные технологические элементы производственной подсистемы предприятия (ППi) ( = 1, ) совершают одинаковые качественные преобразования факторов ( , 1, . . . , − 1) различными взаимозаменяемыми технологиями. Процесс вспомогательного производства разбивается на n этапов (по длительности одной работы или по содержательному смыслу сложной работы). Каждый ППi имеет одинаковое качественное содержание своих факторов (т.е. их мера отражает количественный смысл) и поэтому может выполнять как все этапы работ, так и любую его часть.
Величина фактора ( ) означает меру качества некоторого
|
|
|
|
|
(планового) количества этого фактора = |
0 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
Т.е. разделение величины фактора на части, |
направляемые на об- |
|||
|
∑ |
|
∑ |
|
работку в различные ППi на самом означает, что выполняется разделение его количества.
|
Разделение величины результата работы ППi на ве- |
31220 |
245 |
Управление большими системами. Выпуск XX
личину , направляемую непосредственно в базовый ПП, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и на величину |
, направляемую в |
ППk |
= |
+ 1, |
, |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|||
означает, что общая |
входная величина |
фактора |
+ |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||
=1, − 1преобразователя ППi разделена в нем на части и. Часть является общим результатом циклов: > ,
=1, − 1, а часть является общим результатом других циклов: j>i, =1, − 1,.
Замечание. Производительность ППi вообще говоря зависит от фактических объемов работ по каждому из технологи-
ческих циклов > , =1, − 1, j>i, =1, − 1, т.е. от величин 0, , , , = + 1, . Однако в рамках модели технологические коэффициенты преобразователей ППi счита-
ются постоянными, подразумевая для всей величины 0, ,
=1, − 1 выполнение всех этапов работы, тем самым завышая фактические затраты на их выполнение. С другой стороны, модель явно не учитывает затраты на организацию указанных выше четырех технологических циклов.
Целевая функция для СпП (см. рис. 3) задается следующими соотношениями:
(3)∑ 0 = ; ∑ = , = 1, − 1;
|
=1 |
|
=1 |
=0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(4) |
+ = min |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
− |
|
, |
|
|||||||||
|
|
∑ |
|
, 1 , . . . , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
− |
|
= |
1, − 1 |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(5) |
|
= min |
|
−1 |
|
, |
|
1 , . . . , |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
246 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31321 |
|
Управление организационными и социально-экономическими системами
Из переменных системы (3)-(6) составим вектор факторных по-
токов |
) |
( |
|
(7) ( , ) = |
{{ } = +1} =0−1, {{ } =1} =1−1, { } =1 , |
Оптимальная структура СпП, описываемого системой (3)- |
|
(6), является решением следующей задачи параметрического линейного программирования
(8) |
= (^, ) → |
max |
|
|
|
|
||
|
( , ), , |
|
|
|
|
|||
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) ( , ) 6 , = |
|
, |
|
|
||
|
|
1, ( , ) |
|
|
||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
= , 1, 2, . . . , −1, 0, . . . , 0 |
. |
||||
* = min |
arg max ( ) , где( ( ) — решение задачи (8). ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
зада- |
|
|
Общее количество ограничений (неравенств) |
( , ) |
||||||
|
|
( |
) |
|
|
|||
чи ЛП (8) состоит из распределения исходных факторов производства по структуре производственной подсистеме предприятия (всего — ограничений), распределение промежуточных факторов по структуре СП (в каждой вершине иерархического графа структуры производственной подсистемы предприятия по — ограничений): (4)-(5) — ( + 1) ограничений:
( , ) = ( + 1).
Общее число переменных ( , ) в задаче линейного программирования (8) равно количеству дуг соответственного иерархического графа | |:
( , ) = | | = |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ( ) + |
( ) + |
( ) = |
|
|
|||||
|
∑ |
∑ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
=1 =1 |
=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
( + 1) |
|
( + 2 + 1) |
|
||||
|
= + ( − 1) + |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
где ( ) — число дуг с началом в вершине . |
|
|
|
|
|
||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
247 |
|
31422 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Управление большими системами. Выпуск XX
3.2.Решение задачи оптимизации структуры специализированного преобразователя в условиях определенности
|
Обозначим = |
|
|
. Внешними параметрами зада- |
||||||||
|
−1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
||
чи (8) являются исходные межфакторные пропорции : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , = |
1, − 1) и пропорции технологических коэффици- |
|||||||||||
|
||||||||||||
ентов : |
( = |
|
, , = |
|
). |
|
||||||
1, |
0, − 1 |
|
||||||||||
|
Результаты решения задачи (8) для некоторых значений пе- |
|||||||||||
ременных , ( = 1, − 1) и параметров принимающих случайные значения из отрезка + представлены на рис. 4.
4.Задача оптимизации структуры специализированного преобразователя в условиях неопределенности
4.1.Постановка задачи оптимизации структуры специализированного преобразователя в условиях неопределенности
Построение иерархической структуры производственной подсистемы предприятия и управление факторными потоками на этой структуре с одной стороны придает структуре производственной подсистемы адаптивные свойства, с другой — вносит неопределенность в зависимость ее ПФ от аргументов, что подчеркивает ее параметрическую зависимость от качества управления. Управление структурой производственной подсистемой предприятия содержит неизбежные погрешности, проявляющиеся в отклонении величин факторных потоков от оптимальных. Природа погрешности заключается в неотслеживании постоянных объективных изменений внутренней среды предприятия и неидеальной системой управления. Суммарная погрешность складывается из-за информационной погрешности, погрешности планирования и реализации планов. Их учет в рамках концепции детерминизма приводит к замене величин технологических ко-
эффициентов |
величинами ^ |
= |
(1 ± ), где — случай- |
248 |
|
|
31523 |
Управление организационными и социально-экономическими системами
|
a) |
|
|
|
b) |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0.5 |
|
|
|
0.5 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
5 |
10 |
|
0 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
|
|
|
d) |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0.5 |
|
|
|
0.5 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
5 |
10 |
|
0 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. График зависимости от числа уровней при = 3: a) = 0.1; 1 = 1; 2 = 1; = {1}; * = 3; b) = 0.01;1 = 1; 2 = 1; = {1}; * = 5; c) = 0.1; 1 = 1; 2 = 1;= [1, 5]; * = 4; d) = 0.01; 1 = 1; 2 = 1; = [1, 5];* = 7;
ная величина (параметр, характеризующий неопределенность) ,
( = 1, − 1, = + 1, , = 1, ).
Значение целевой функции для СП в условиях неопреде-
ленности является решением системы (9)-(11), где 0 |
, 0 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( = |
1, |
, = |
1, |
− |
1 |
) компоненты вектора *( , ) (решение |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачи (8)).
31624 |
249 |
Управление большими системами. Выпуск XX
(9)
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
+ = min |
0 |
|
|
−1 |
^ |
|
1 |
|
, . . . , |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
∑ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
= +1 |
|
|
|
(1 ± ) |
|
|
(1 ± ) |
|
|
− (1 ± ) |
|
||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1, − 1 |
, |
|
|||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= min |
|
0 |
−1 |
|
, |
1 |
|
|
|
|
, . . . , |
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
0 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(1 ± ) |
|
(1 ± ) |
− (1 ± ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.Решение задачи оптимизации структуры специализированного преобразователя в условиях неопределенности
|
|
||
Обозначим = |
|
|
. |
|
−1 |
||
|
+ |
∑ |
|
=1
Результаты решения задачи (9)-(11) для некоторых значений
переменных , ( = 1, − 1), параметров принимаю-
щих случайные значения из отрезка + и некоторых значений параметра = ( = 1, ) представлены на рис.5.
Заключение
Исследование найденных оптимальных структур и оптимальных режимов управления производственной системой предприятия позволяют сделать следующие выводы:
∙поиск оптимальной структуры производственной системы с целевой функцией представимой в виде суперпозиции элементарных производственной функций леонтьевского типа,
250 |
31725 |